拓扑习题

网络拓扑练习题及答案当今时代，互联网已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。

而要实现互联网的畅通与稳定，网络拓扑结构的设计和优化显得尤为重要。

网络拓扑是指网络中各个节点之间连接的方式和形式，合理的网络拓扑可以提高网络性能和可靠性。

在学习网络拓扑的过程中，不可避免地需要进行练习题的训练。

下面将提供一些网络拓扑练习题及答案，帮助读者更好地理解和掌握网络拓扑的相关知识。

练习题一：请画出星型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。

答案：星型拓扑结构是指以一个中心节点为核心，其他节点通过直接连接与该节点通信的方式完成网络连接的形式。

示意图如下：A/ \B C/ \D E星型拓扑的特点是中心节点对其他节点有着完全的控制，信息传输依赖于中心节点的稳定性。

这种结构下，如果中心节点出现故障，将影响整个网络的通信。

星型拓扑结构适用于小型网络或者需要中心控制的场景，如家庭网络和小型办公室网络。

练习题二：请画出环型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。

答案：环型拓扑结构是指网络中的各个节点通过相邻节点之间的连接依次循环连接起来，形成一个闭合的环形结构。

示意图如下： D-----E/ \A F\ /C-----B环型拓扑的特点是每个节点都与两个相邻节点直接连接，信息传输的路径相对固定，可以提高网络的可靠性和稳定性。

然而，如果环型拓扑中某个节点出现故障，可能会导致整个网络的通信中断。

环型拓扑结构适用于需要高可靠性的场景，如金融机构的网络和核心数据中心网络。

练习题三：请画出树型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。

答案：树型拓扑结构是指以一个根节点为起点，通过将各个子节点依次连接形成层次化结构的网络拓扑。

示意图如下：A/ \B C/ \ \D E F树型拓扑的特点是具有明显的层次结构，信息传输沿着根节点到各个子节点的路径传播，具有高度的可扩展性和容错性。

当某个节点出现故障时，不会影响整个网络的通信。

树型拓扑结构适用于大型企业网络和数据中心网络。

大学拓扑学入门练习题1. 绘制拓扑空间给定一个拓扑空间X，根据以下要求，绘制出X的拓扑结构图。

1.1 X是一个有限集合，所有的子集都是X的开集。

1.2 X是一个无限集合，空集和X本身是X的开集。

1.3 X是一个无限集合，空集和X本身以外的有限子集都是X的闭集。

2. 判断拓扑关系给定一个拓扑空间X和集合A，判断以下拓扑关系是否成立，并简要说明理由。

2.1 A是X的子集，则A是X中的闭集。

2.2 A是X的子集，则A是X中的开集。

2.3 A是X的闭集，则A是X的子集。

2.4 A是X的开集，则A是X的子集。

2.5 A和X-A都是X的闭集，则A是X的子集。

2.6 A和X-A都是X的开集，则A是X的子集。

3. 证明定理根据拓扑学的基本定理，证明以下定理。

定理：在拓扑空间X中，如果U是X的开集，而A是X的闭集，则U-A是X的开集。

证明：首先，根据定理的前提条件，有U是X的开集，且A是X的闭集。

由定义可知，A的补集X-A是X的开集。

考虑U-A，根据集合的运算法则，U-A = U ∩ (X-A)。

由于U是开集，X-A是开集，根据拓扑学中开集的交集仍为开集的性质，可得U-A是X的开集。

综上所述，定理得证。

4. 寻找连通分量给定下图所示的拓扑空间X，请确定X的所有连通分量。

```A----B----C| | |D----E F|G```根据图示，边连接的节点表示相邻关系，每个节点代表一个集合。

连通分量是指在一个拓扑空间中，由任意两点之间连通的所有点所构成的集合。

请根据图示，列举出X的所有连通分量。

5. 类化空间给定一个拓扑空间X和一个等价关系~，其中a~b代表a和b在拓扑空间X中具有相同的邻域结构。

5.1 证明~是X上的一个等价关系。

证明：为证明~是X上的一个等价关系，需要满足以下条件：（i）自反性：对于任意a∈X，都有a~a。

（ii）对称性：对于任意a, b∈X，如果a~b，则b~a。

（iii）传递性：对于任意a, b, c∈X，如果a~b且b~c，则a~c。

网络拓扑练习题在计算机网络中，网络拓扑是指计算机网络中各个节点和连接线之间的布局形式，它决定了数据在网络中传输的路径和方式。

熟悉和理解网络拓扑对于设计、优化和维护网络都非常重要。

下面将给出一些关于网络拓扑的练习题，帮助读者巩固对网络拓扑的理解和应用。

第一题：假设有一个包含四台计算机和一个交换机的局域网，计算机A、B、C、D分别连接到交换机的端口1、2、3、4。

请问，在这个局域网中，若计算机A向计算机B发送数据，数据的传输路径是什么？请画出相应的拓扑图，并说明数据传输的过程。

解析：在这个局域网中，计算机A和计算机B直接通过交换机连接，因此数据的传输路径是A→交换机→B。

下面是相应的拓扑图：```A B\ /\ /\ /Switch```计算机A首先将数据包发送到交换机，交换机根据MAC地址表将数据包转发给计算机B。

第二题：现有一个拓扑结构如下图所示：```A C\ /\ /\ /Switch/ \/ \/ \B D```其中，计算机A、B、C、D分别连接到交换机的端口1、2、3、4。

假设计算机A向计算机D发送数据，数据的传输路径是什么？请画出相应的拓扑图，并说明数据传输的过程。

解析：在这个拓扑中，计算机A和计算机D之间有两条路径：A→交换机→D 和A→交换机→C→交换机→D。

在选择传输路径时，网络中的路由算法会选择最短路径。

因此，数据的传输路径是A→交换机→D。

下面是相应的拓扑图：```A C\ /\ /\ /Switch///B D```计算机A首先将数据包发送到交换机，交换机根据MAC地址表将数据包转发给交换机的端口3。

然后，交换机将数据包转发给计算机D。

第三题：现有一个拓扑结构如下图所示：```A C\ /\ /\ /Switch/ \/ \/ \B D```其中，计算机A、B、C、D分别连接到交换机的端口1、2、3、4。

假设计算机A向计算机B发送数据，数据的传输路径是什么？请画出相应的拓扑图，并说明数据传输的过程。

拓扑习题及答案拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间的性质和变形。

在拓扑学中，习题是帮助我们理解和掌握基本概念和定理的重要工具。

在本文中，我将为大家提供一些拓扑学的习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解这门学科。

1. 问题：什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合，其中包含一些特定的子集，这些子集被称为开集，满足一些特定的性质。

拓扑空间中的开集可以用来描述集合中元素之间的相互关系。

2. 问题：什么是连通性？答案：在拓扑空间中，如果存在一条路径将空间中的任意两点连接起来，那么这个空间就是连通的。

换句话说，连通性描述了空间中不存在分离的部分。

3. 问题：什么是紧致性？答案：在拓扑空间中，如果空间中的任意开覆盖都可以找到有限个开集作为子覆盖，那么这个空间就是紧致的。

紧致性描述了空间中的元素有限性质。

4. 问题：什么是同胚？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间之间存在一个双射函数，并且这个函数和其逆函数都是连续的，那么这两个空间就是同胚的。

同胚关系描述了两个空间之间的拓扑性质相同。

5. 问题：什么是拓扑不变量？答案：拓扑不变量是指在同胚变换下保持不变的性质。

例如，欧拉数是一个拓扑不变量，它描述了一个拓扑空间中的曲面的特征。

6. 问题：什么是连续映射？答案：在拓扑学中，如果一个函数将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间中的开集，那么这个函数就是连续的。

连续映射描述了空间中元素之间的连续性。

7. 问题：什么是同伦等价？答案：在拓扑学中，如果两个拓扑空间中的映射可以通过连续变形相互转化，那么这两个空间就是同伦等价的。

同伦等价关系描述了空间中的元素可以通过连续变形相互转化。

通过以上几个习题及其答案，我们可以初步了解拓扑学的基本概念和性质。

拓扑学作为一门抽象的数学学科，其应用范围非常广泛。

例如，在计算机科学中，拓扑学可以用来描述网络的结构和连接方式；在物理学中，拓扑学可以用来研究物质的性质和相变；在生物学中，拓扑学可以用来研究分子的结构和相互作用等等。

一、证明下列是否为拓扑1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集}满足①全集、空集包含于Tf②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。

若不是，（A∩B）′=A′∪B′，A∪B∈T③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。

显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。

设T2≠空集。

任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。

所以为拓扑。

2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集}3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X}二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。

求A在Y、R中的闭包、内部。

Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2）R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2）三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。

若A包含于Y则A为X中闭集。

Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。

四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。

2、A∪B= A∪B。

3、∪Aa包含∪Aa。

1、五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。

七、1、f:X Y连续。

2、任意B∈Y闭，f-1（B）闭。

3、任意A包含于X，f（A）包含于f（A）。

4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。

5、任意B包含于Y，f-1（B°）包含于（f-1（B））°证明1~5等价。

八、连续的满的闭映射为商映射。

九、商映射可以既不为开映射又不为闭映射。

十、连通子集在连续映射下的像是联通的。

十一、连通子集的闭包为连通子集。

道路连通则连通,而且R^n中连通就是道路连通.A的闭包是对的,因为任意开覆盖有有限子覆盖,闭包的点可以用无穷点列逼近,自然可以每个点取个领域,组成开覆盖.十二、设A、B为（X,T）的紧致子集，则A∪B为紧致子集。

《拓扑学基础》复习题单项选择题下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ）A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()fB -是X 中的一个闭集C 、Y 中的任何一个子集A ，有11()()f A f A --⊂ D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，则()A ∂=（ D ）A 、A A -'⋂B 、00A A ''⋃C 、0()A ∂D 、()X A ∂-下列拓扑性质中，没有继承性的是( D )A 、1T 空间B 、2T 空间C 、3T 空间D 、4T 空间下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ）A 、它满足第一可数性公理B 、它满足第二可数性公理C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ）A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-=B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ=C 、对x A ∀∈，且有(,)B x A εφ⋂≠，则A 为X 中的一个开集D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ=填空题若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。

拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。

实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。

设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。

实数空间 的一个基是 {(,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。

设X 是一个拓扑空间，D X ⊂，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。

设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。

名词解释紧致空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

代数拓扑习题答案代数拓扑习题答案在代数拓扑学中，习题是学习和理解概念和定理的重要途径。

通过解答习题，我们可以加深对代数拓扑学原理的理解，并且提高解决问题的能力。

在本篇文章中，我将为你提供一些代数拓扑学习题的答案，希望能对你的学习有所帮助。

1. 证明：任意两个同伦的空间具有相同的同伦群。

解答：设X和Y是两个同伦的空间，即存在连续映射f: X -> Y和g: Y -> X，使得f∘g和g∘f分别同伦于恒等映射id_X和id_Y。

我们需要证明X和Y的同伦群是同构的。

首先，我们定义一个映射h: [0, 1] × X -> Y，其中h(t, x) = f(g(x, t))，其中g(x, t)是X到X的一个路径，t∈[0, 1]。

显然，h是一个连续映射，并且满足h(0, x) =f(g(x, 0)) = f(x)和h(1, x) = f(g(x, 1)) = f(g(x))。

接下来，我们定义一个映射k: [0, 1] × Y -> X，其中k(t, y) = g(f(y, t))，其中f(y, t)是Y到Y的一个路径，t∈[0, 1]。

同样地，k是一个连续映射，并且满足k(0, y) = g(f(y, 0)) = g(y)和k(1, y) = g(f(y, 1)) = g(f(y))。

现在我们来证明h和k分别是X和Y的同伦。

对于任意的x∈X，我们有h(0, x) = f(g(x, 0)) = f(x)和h(1, x) = f(g(x, 1)) = f(g(x))。

由于f∘g同伦于id_X，所以h同伦于id_X。

同样地，对于任意的y∈Y，我们有k(0, y) = g(f(y, 0)) = g(y)和k(1, y) = g(f(y, 1)) = g(f(y))。

由于g∘f同伦于id_Y，所以k同伦于id_Y。

综上所述，我们可以得出结论：X和Y的同伦群是同构的。

2. 证明：一个连续映射f: X -> Y是一个同伦等价当且仅当它诱导了同构的同伦群同态。

拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理？A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案：C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是：A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案：A3. 在拓扑空间中，以下哪个概念与开集密切相关？A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案：B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件：\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \)，任意个开集的并集仍属于 \( \tau \)，以及任意有限个开集的\( \)________。

答案：交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中，如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \)，则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。

答案：闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射，并给出一个例子。

答案：连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间，如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足：对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集，则 \( f \) 是连续的。

例如，考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑，映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的，因为对于任意开区间 \( V \)，其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。

2. 什么是紧性？请给出一个紧空间的例子。

答案：紧性是拓扑空间的一个性质，指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。

点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ② ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②3、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②5、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②6、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③7、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②8、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④9、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④10、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①12、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④13、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①14、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④15、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①16、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①17、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③18、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②19、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③20、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④21、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③22、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④23、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④24、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④25、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈U ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈I 答案：③ 26、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③27、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①28、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④29、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①30、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②二、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=11、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;答案：{3}13、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入14、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射15、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射16、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射17、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间18、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集19、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而Y U ∈T ’U ∈T 1, Y U ∈T ’U ∈T 2,故Y U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=I ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.四． 名词解释1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的聚点 答案：设A 是拓扑空间X 的一个子集，如果x X ∈的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点，即({})U A x -≠ΦI ，则称点x 是集合A 的一个凝聚点。