首先,B 首先 1 ⊗ B2 ⊆ T1 ⊗ T2 ,因此 B1 ⊗ B2 是乘积拓扑空 因此 间的一个开集族,其次设 间的一个开集族 其次设 W 是 X1 × X 2上的任意一个开 集,对 x∈W,由于 T1 ⊗ T2 是空间 X1 × X2的一个基,因此 对 ∈ 由于 的一个基 因此 存在 U1 ∈ T1 ,U2 ∈ T2 使得 x= ( x1 , x2 ) ∈ U 1 × U 2 ⊆ W , 又 Bi 是 Ti 的 拓 扑 基 , 因 此 对 x ∈ U 存 在 B ∈ Bi 使 得
1 2
Bρ1 ( x1,
2
2
ε ) × Bρ ( x2 ,
2
2
2
ε ) ⊆ Bρ ( x,ε ) ⊆ Bρ ( x1,ε )×Bρ ( x2 , ε ).
1
2
2 2 对于任意 y= ( y1, y2 ) ∈Bρ1 (x1, ε ) × Bρ2 (x2, ε ), 2 2 2 2 ε , ρ2 ( x2 , y2 ) < ε , 有 ρ1 ( x1 , y1 ) < 2 2
1 2
扑是由度量 ρ 诱导的拓扑 Tρ .
乘积拓扑空间X× §4.1 乘积拓扑空间 ×Y
下面这个定理说明这两种拓扑是一致的. 下面这个定理说明这两种拓扑是一致的 是两个拓扑空间, 定理 4.1.5 设 ( X 1 , ρ1 ), 和 ( X 2 , ρ 2 ) 是两个拓扑空间 则将 X 1 × X 2 作为 Tρ , Tρ 的拓扑积空间和将 X 1 × X 2 作为 度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的. 度量积空间时所生成的两种拓扑是一致的 ρ : X 2 → R 如定义 4.1.2 所定义 首先我 所定义,首先我 证明:度量 证明 度量 我们有: 们验证对于任意 x= ( x1 , x2 )∈ X 2 和任意ε > 0 ,我们有 我们有
