拓扑学课堂小练习(2011-11-27)

网络拓扑练习题及答案当今时代，互联网已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。

而要实现互联网的畅通与稳定，网络拓扑结构的设计和优化显得尤为重要。

网络拓扑是指网络中各个节点之间连接的方式和形式，合理的网络拓扑可以提高网络性能和可靠性。

在学习网络拓扑的过程中，不可避免地需要进行练习题的训练。

下面将提供一些网络拓扑练习题及答案，帮助读者更好地理解和掌握网络拓扑的相关知识。

练习题一：请画出星型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。

答案：星型拓扑结构是指以一个中心节点为核心，其他节点通过直接连接与该节点通信的方式完成网络连接的形式。

示意图如下：A/ \B C/ \D E星型拓扑的特点是中心节点对其他节点有着完全的控制，信息传输依赖于中心节点的稳定性。

这种结构下，如果中心节点出现故障，将影响整个网络的通信。

星型拓扑结构适用于小型网络或者需要中心控制的场景，如家庭网络和小型办公室网络。

练习题二：请画出环型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。

答案：环型拓扑结构是指网络中的各个节点通过相邻节点之间的连接依次循环连接起来，形成一个闭合的环形结构。

示意图如下： D-----E/ \A F\ /C-----B环型拓扑的特点是每个节点都与两个相邻节点直接连接，信息传输的路径相对固定，可以提高网络的可靠性和稳定性。

然而，如果环型拓扑中某个节点出现故障，可能会导致整个网络的通信中断。

环型拓扑结构适用于需要高可靠性的场景，如金融机构的网络和核心数据中心网络。

练习题三：请画出树型拓扑结构的示意图，并解释其特点和应用场景。

答案：树型拓扑结构是指以一个根节点为起点，通过将各个子节点依次连接形成层次化结构的网络拓扑。

示意图如下：A/ \B C/ \ \D E F树型拓扑的特点是具有明显的层次结构，信息传输沿着根节点到各个子节点的路径传播，具有高度的可扩展性和容错性。

当某个节点出现故障时，不会影响整个网络的通信。

树型拓扑结构适用于大型企业网络和数据中心网络。

大学拓扑学入门练习题1. 绘制拓扑空间给定一个拓扑空间X，根据以下要求，绘制出X的拓扑结构图。

1.1 X是一个有限集合，所有的子集都是X的开集。

1.2 X是一个无限集合，空集和X本身是X的开集。

1.3 X是一个无限集合，空集和X本身以外的有限子集都是X的闭集。

2. 判断拓扑关系给定一个拓扑空间X和集合A，判断以下拓扑关系是否成立，并简要说明理由。

2.1 A是X的子集，则A是X中的闭集。

2.2 A是X的子集，则A是X中的开集。

2.3 A是X的闭集，则A是X的子集。

2.4 A是X的开集，则A是X的子集。

2.5 A和X-A都是X的闭集，则A是X的子集。

2.6 A和X-A都是X的开集，则A是X的子集。

3. 证明定理根据拓扑学的基本定理，证明以下定理。

定理：在拓扑空间X中，如果U是X的开集，而A是X的闭集，则U-A是X的开集。

证明：首先，根据定理的前提条件，有U是X的开集，且A是X的闭集。

由定义可知，A的补集X-A是X的开集。

考虑U-A，根据集合的运算法则，U-A = U ∩ (X-A)。

由于U是开集，X-A是开集，根据拓扑学中开集的交集仍为开集的性质，可得U-A是X的开集。

综上所述，定理得证。

4. 寻找连通分量给定下图所示的拓扑空间X，请确定X的所有连通分量。

```A----B----C| | |D----E F|G```根据图示，边连接的节点表示相邻关系，每个节点代表一个集合。

连通分量是指在一个拓扑空间中，由任意两点之间连通的所有点所构成的集合。

请根据图示，列举出X的所有连通分量。

5. 类化空间给定一个拓扑空间X和一个等价关系~，其中a~b代表a和b在拓扑空间X中具有相同的邻域结构。

5.1 证明~是X上的一个等价关系。

证明：为证明~是X上的一个等价关系，需要满足以下条件：（i）自反性：对于任意a∈X，都有a~a。

（ii）对称性：对于任意a, b∈X，如果a~b，则b~a。

（iii）传递性：对于任意a, b, c∈X，如果a~b且b~c，则a~c。

拓扑学课堂小练习（2011-11-27）点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④9、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：④14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（）① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案：①21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（）① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案：①25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（）① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（）① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A =答案: ①29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案：④32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案：①答案：③34、设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集② 闭集③ 即开又闭④ 非开非闭答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集② 闭集③ 即开又闭④ 非开非闭答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集② 闭集③ 既开又闭④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（）① 整数集② [)b a , ③ 有理数集④ 无理数集答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（）① 1个② 2个③ 3个④ 4个答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈③当T T '?时,T T U U '∈∈④ 当T T '?时,T T U U '∈∈答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（）① 开集② 闭集③ 既是开集又是闭集④ 非开非闭答案：③47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案：②53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案：②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对答案：③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对答案：③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对答案：③76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对答案：③78、2维欧氏间空间2R （）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对答案：③79、3维欧氏间空间3R （）① 仅满足第一可数性公理② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理④ 以上都不对答案：③82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）① 第一可数性公理② 可分性③ 第二可数性公理④ 离散性⑤ 平庸性答案：②84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ?∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对答案：①85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 以上都不对答案：①87、设{1,2,3}T，则(,)=X T是( )XφX=，{,,{1}}①T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：④89、设{1,2,3}X T是( )T，则(,)=，XφX=，{,,{13}}①T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：④91、设{1,2,3}X T是( ) X=，{,,{1},{2},{1,2}}T，则(,)=Xφ①T空间②1T空间③2T空间④以上都不对答案：①92、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，则X是（）①正则空间②正规空间③T空间④4T空间1答案：③93、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则X是（）①正则空间②正规空间③T空间④4T空间1答案：③94、设X是一个拓扑空间，若对x X∈及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得V U,则X是（）①正则空间②正规空间③T空间④4T空间1答案：①95、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得V U,则X是（）①正则空间②正规空间③T空间④4T空间1答案：②96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 正规空间答案：④98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间② 1T 空间③ 2T 空间④ 正则空间答案：④二、填空题（每题1分）1、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案：({})U A x φ?-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A=的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：φ20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个；答案：稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个；答案：可分空间38、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个0T 空间;答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间;答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个2T 空间;答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的1T 空间称为；答案：3T 空间42、正规的1T 空间称为；答案：4T 空间三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?；（２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ?,从而()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）答案：×理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）答案：√理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B |x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（）答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B | B Y B Y B =?∈是Y 的一个可数基，从而X 的子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ?∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =?∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.注：也可以说明X 不是1T 空间．14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．注：也可以考虑点２和点３.15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间.注：也可以考虑点２和点３.16、3T 空间一定是2T 空间.（）答案：√理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ?=，所以X 是2T 空间.17、4T 空间一定是3T 空间.（）答案：√理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},=，这说明X是正则空间，因U V使得U Vφx A的开邻域,此X是T空间.3四．名词解释(每题2分)1．同胚映射答案：设X和Y是两个拓扑空间.如果:f X Y→是一个一一映射，并-→都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.且f和1:f Y X2、集合A的内点答案：设X是一个拓扑空间，A X∈的一个邻域，.如果A是点x X则称点x是集合A的一个内点.3、集合A的内部答案：设X是一个拓扑空间，A X.则集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部.4．拓扑空间(,)X的基T答案：设(,)X是一个拓扑空间，B是T的一个子族.如果T中的每T一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基. 5．闭包答案：设X是一个拓扑空间，A X.集合A与集合A的导集()d A的并()称为集合A的闭包.A d A7、导集答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.11、A空间1答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为A空间.112、A空间2答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A空间.213、可分空间答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.14、T空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T空间.15、T空间：1答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T空间.116、T空间：2答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T空2间.17、正则空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.18、正规空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.五．简答题（每题4分）1、设X是一个拓扑空间，,A B是X的子集，且A B.试说明?.()()d A d B答案：对于任意()x d A∈,设U是x的任何一个邻域，则有，从而?-≠,由于A B({})U A xφ({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z → 也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集，所以:g f X Z → 是连续映射.12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.答案：对x X ?∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点y 有一个邻域U 使得x U ?，即{}U x φ?=，故{}y x ?，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.。

拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ⋃是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ⋂是X 的一个拓扑; (C) 21ττ⋃是X 的一个拓扑; (D) 21ττ⋂是X 的某个拓扑的基。

设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（）四、 商映射一定是闭映射或开映射. （）五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （） 六、 连通空间一定是局部连通空间. （）七、 若11:f S →连续，则 1t ∃∈，使1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设{}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑.十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集.十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.答案一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解 例如 {}0,1X =，{},0,X τ=∅，{}{}01'=.2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个：{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}} 5个开集的共有6个：{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} 6个开集的有6个：{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}, {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} … 8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ⊂，只要验证 ()cA '是开集. ()cx A '∀∈，则x 有开邻域U ，使得{}()\U x A =∅，由 1T 公理知， {}\U x 是开集，从而 {}()\cU x A '⊂，于是()cU A '⊂；所以x 是()cA '的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X 是从 2R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ∀∈，若 x y ≠，设L 是线段xy 的中垂线，设 z L ∈,用(,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.3. 证明至少有两个点的4T 空间的连通子集一定是不可数集.证明 设X 是至少有两个点的连通的4T 空间 Y 的子集，设 ,x y 是 X 中的两个不同点，令 {},{}A x B y ==，则 A 和B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数 :[0,1]f X →使得， ()0,()1f x f y ==，又因 X 是连通的，故 ()f X 是 [0,1]中的连通集，而 0,1()f X ∈，因此 ()[0,1]f X =，于是 X一定是不可数集.4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.证明 （必要性）要证 ∆为闭集，只要证它的余集是开集。

点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题2分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 414、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 415、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 316、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 317、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 418、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 419、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q o 就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z o 就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R23、在实数空间中,区间[0,1)的边界就是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)24、在实数空间中,区间[2,3)的边界就是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3)25、在实数空间中,区间[0,1)的内部就是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)26、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中错误的就是( ) ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =27、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中正确的就是( ) ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =28、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中正确的就是( ) ① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃29、已知X 就是一个离散拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中正确的就是( ) ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =30、已知X 就是一个平庸拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中不正确的就是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠31、已知X 就是一个平庸拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中正确的就是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑就是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}33、设X 就是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 就是X 的拓扑,则( )就是T 的基、① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基、① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭37、实数空间R 中的任一单点集就是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A39、在实数空间R 中,下列集合就是闭集的就是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集40、在实数空间R 中,下列集合就是开集的就是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数就是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 442、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 944、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈U ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈I 45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭46、设X 就是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ就是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=53、设R 就是实数空间,Z 就是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =54、设126X X X X =⨯⨯⨯L 就是拓扑空间126,,,X X X L 的积空间、1P 就是X 到1X 的投射,则1P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射55、设126X X X X =⨯⨯⨯L 就是拓扑空间126,,,X X X L 的积空间、2P 就是X 到2X 的投射,则2P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射56、设126X X X X =⨯⨯⨯L 就是拓扑空间126,,,X X X L 的积空间、3P 就是X 到3X 的投射,则3P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射57、设126X X X X =⨯⨯⨯L 就是拓扑空间126,,,X X X L 的积空间、4P 就是X 到4X 的投射,则4P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射58、设126X X X X =⨯⨯⨯L 就是拓扑空间126,,,X X X L 的积空间、5P 就是X 到5X 的投射,则5P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射59、设126X X X X =⨯⨯⨯L 就是拓扑空间126,,,X X X L 的积空间、6P 就是X 到6X 的投射,则6P 就是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射60、设1X 与2X 就是两个拓扑空间,12X X ⨯就是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( )① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯o o o ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂61、有理数集Q 就是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对62、整数集Z 就是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对63、无理数集就是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集65、设12,X X 就是平庸空间,则积空间12X X ⨯就是( )① 离散空间 ② 不一定就是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间66、设12,X X 就是离散空间,则积空间12X X ⨯就是( )① 离散空间 ② 不一定就是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间67、设12,X X 就是连通空间,则积空间12X X ⨯就是( )① 离散空间 ② 不一定就是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 就是连通的; (Ⅱ){0}R -就是连通的 (Ⅲ)2{(0,0)}R -就是连通的 (Ⅳ)2R 与R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 472、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对75、无理数集作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 78、2维欧氏间空间2R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 79、3维欧氏间空间3R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的就是( )① 平庸性 ② 连通性③ 离散性 ④ 第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的就是( )① 第一可数性公理 ② 连通性③ 第二可数性公理 ④ 平庸性82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的就是( )① 第一可数性公理 ② 可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的就是( )① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理84、设X 就是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=，T ,则(,)X T 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=，T ,则(,)X T 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=，T ,则(,)X T 就是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 就是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都就是闭集,则X 就是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间93、设X 就是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都就是闭集,则X 就是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间94、设X 就是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 就是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间95、设X 就是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 就是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间96、设{1,23}X =，,{,,{1},{23}}X φ=，T ,则(,)X T 就是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间97、设{1,23}X =，,{,,{2},{13}}X φ=，T ,则(,)X T 就是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间98、设{1,23}X =，,{,,{3},{12}}X φ=，T ,则(,)X T 就是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =，,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间100、设{1,23}X =，,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间101、设{1,23}X =，,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 就是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 就是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间103、紧致空间中的每一个闭子集都就是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都就是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集就是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都就是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =就是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =就是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都就是闭集,则X 就是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间二、填空题(每题2分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集就是___________、5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;6、设A 就是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;7、设A 就是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;8、设A 就是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;9、设A 就是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;18、:f X Y →就是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它就是一个单射,并且就是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 就是一个 、19、:f X Y →就是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它就是一个满射,并且Y 的拓扑就是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 就是一个 、20、设,X Y 就是两个拓扑空间,:f X Y →就是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 就是Y 中的一个开集,则称映射f 就是一个 ;21、设,X Y 就是两个拓扑空间,:f X Y →就是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 就是Y 中的一个闭集,则称映射f 就是一个 ;22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 就是一个 ;23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 就是一个 ;24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 就是一个 ;25、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也就是X 的一个 ;26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质就是一个 ;27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质就是一个 ;28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X L ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯L 也具有性质P ,则性质P 称为 ;29、设X 就是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 就是一个 ;30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;33、设D 就是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 就是X 的一个 ;34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 就是一个 ;35、设X 就是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 就是一个 ;36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;38、设X 就是一个拓扑空间,如果则称X 就是一个0T 空间;39、设X 就是一个拓扑空间,如果则称X 就是一个1T 空间;40、设X 就是一个拓扑空间,如果则称X 就是一个2T 空间;41、正则的1T 空间称为 ;42、正规的1T 空间称为 ;43、完全正则的1T 空间称为 ;44、设X 就是一个拓扑空间、如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 就是一个 、45、设X 就是一个拓扑空间,Y 就是X 的一个子集、如果Y 作为X 的子空间就是一个紧致空间,则称Y 就是拓扑空间X 的一个 、46、设X 就是一个拓扑空间、 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 就是一个 、47、设X 就是一个拓扑空间、 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 就是一个 、48、设X 就是一个拓扑空间、 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 就是一个 、三.判断(每题3分,判断1分,理由2分)1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都就是连续映射( )2、设12, T T 就是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定就是集合X 的拓扑( )3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都就是连续映射( )4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )7、设X 就是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 就是一个不连通空间( )9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 就是3T 空间、( )13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 就是3T 空间、( )14、设{1,23}X =，,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 就是1T 空间、( ) 15、设{1,23}X =，,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 就是4T 空间、( )16、3T 空间一定就是2T 空间、( )17、4T 空间一定就是3T 空间、( )18、设,A B 就是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃就是一个紧致子集、( )19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都就是闭集、( )四.名词解释(每题2分)1.同胚映射2、集合A 的内点3、集合A 的内部4.拓扑空间(,)T X 的基5.闭包6、序列7、导集8、不连通空间9、连通子集10、不连通子集11、1 A 空间12、2 A 空间13、可分空间14、0T 空间:15、1T 空间:16、2T 空间:17、正则空间:18、正规空间:19、完全正则空间:20、紧致空间21、紧致子集22、可数紧致空间23、列紧空间24、序列紧致空间五.简答题(每题4分)1、设X 就是一个拓扑空间,,A B 就是X 的子集,且A B ⊂、试说明()()d A d B ⊂、2、设,,X Y Z 都就是拓扑空间、:f X Y →, :g Y Z →都就是连续映射,试说明:g f X Z →o 也就是连续映射、3、设X 就是一个拓扑空间,A X ⊂、试说明:若A 就是一个闭集,则A 的补集A '就是一个开集、4、设X 就是一个拓扑空间,A X ⊂、试说明:若A 的补集A '就是一个开集,则A 就是一个闭集、5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T 、6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T 、 7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T 、8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T 、9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T 、 10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T 、 11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T 、12、离散空间就是否为2A 空间?说出您的理由、13、试说明实数空间R 就是可分空间、14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理、15、设X 就是一个1T 空间,试说明X 的每一个单点集就是闭集、16、设X 就是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都就是闭集,试说明X 就是一个1T 空间、17、设(,)X T 就是一个1T 空间,∞就是任何一个不属于X 的元素、令*{}X X =⋃∞与*X =⋃*T T {},试说明拓扑空间*(,)X *T 就是一个0T 空间、18、若X 就是一个正则空间,试说明:对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂、19、若X 就是一个正规空间,试说明:对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂、20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都就是闭集、21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点、22、如果X Y ⨯就是紧致空间,则X 就是紧致空间、23、如果X Y ⨯就是紧致空间,则Y 就是紧致空间、24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都就是紧致子集、六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →就是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射、则()f X 就是Y 的一个连通子集、2、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 与B 就是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂、3、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 与B 就是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂、4、设Y 就是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也就是X 的一个连通子集、5、设{}Y γγ∈Γ就是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族、如果Y γγφ∈Γ≠I ,则Y γγ∈ΓU 就是X 的一个连通子集、6、设A 就是拓扑空间X 的一个连通子集,B 就是X 的一个既开又闭的集合、证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂、7、设A 就是连通空间X 的非空真子集、 证明:A 的边界()A φ∂≠、8、设X 就是一个含有不可数多个点的可数补空间、证明X 不满足第一可数性公理、9、设X 就是一个含有不可数多个点的有限补空间、证明:X 不满足第一可数性公理、10、设,X Y 就是两个拓扑空间,:f X Y →就是一个满的连续开映射、X 满足第二可数性公理,证明:Y 也满足第二可数性公理、11、设,X Y 就是两个拓扑空间,:f X Y →就是一个满的连续开映射、X 满足第一可数性公理,证明:Y 也满足第一可数性公理、12、A 就是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

点集拓扑学练习题（第6章）一、单项选择题1、①2、①3、④4、④5、③6、③7、①8、②9、④ 10、④ 11.C 12. D 二、填空题 1．不一定是， _是 2. 闭子空间，子空间 三．判断题1、×2、×3、√ 4． √ 5． √ 6．× 四．简答题（每题4分）1、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.答案：对x X ∀∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点y 有一个邻域U 使得x U ∉，即{}U x φ⋂=，故{}y x ∉，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.2、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.答案：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x '和{}y '分别是y 和x 的开邻域，并且有{}x x '∉,{}y y '∉.从而X 是一个1T 空间.3、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案: 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.4、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.5、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此()d A 是闭集. 五、证明题1、设X 是一个1T 空间,A X ⊂,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的 无限多个点.（即U A ⋂是无限集）证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =⋂-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域.又易知()({})U B A x φ-⋂-=,从而()x d A ∉，矛盾.故U 含有A 中的无限多个点. 2、设X 是一个正则空间，A 是X 的闭子集,A x ∉，证明：x 和A 分别有开邻域U 和V使得φ=⋂V U .证明：由于X 是一个正则空间，从而x 和A 分别有开邻域W 和V 使得φ=⋂V W ，故W V '⊂，因此W V '⊂.又由正则空间的性质知：存在x 的开邻域U 使得W U ⊂,从而φ=⋂V U . 3、证明：每一个正则且正规的空间都是完全正则的.证明：设X 是一个既正则又正规的空间.设,x X ∈B 是X 中的不含点x 的闭集，从而B '是x 的一个开邻域.再由X 是正则的，故此存在x 的一个开邻域U 使得U B '⊂.于是A U =与B 是两个不相交的闭集.而X 又是正规的，由Urysohn 引理，故存在一个连续函数:[0,1]f X →使得对任意所为a A ∈，()0f a =，特别()0f x =和b B ∈，()1f b =. 这说明X 是完全正则的.4、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一. 证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=. 因1lim i i x y →∞=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.令12m ax{,}N N N =, 则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾， 故{}i x 的极限点唯一.5、X 是4T 空间，B 为X 的一个拓扑基，则对于每一个B ∈B 及x ∈B ,都有一个1B ∈B使得x ∈1B ⊂B .证明：X 是4T 空间，必为1T 的正规空间，对任意x ∈X ,{x }为闭集.对于B ∈B 且x ∈B ,B 就是{x }的一个开邻域.由于X 为正规空间，必存在{x }的一个开邻域U ,使得B U ⊂.U 也是x 的开邻域，一定存在一个1B ∈B ，使得 x ∈1B ⊂U ,且有U B ⊂1，当然就有x B B ⊂∈1.6、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X的闭子集.证明：对于x A '∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设1()W fU V-=⋂，则W 是x 的开邻域，并且x W A '∈⊂,故A '是开集， 从而A 是闭集. 7、设X 为Hausdorff 空间 ,XX f →:是一个连续映射, 且ff f= ．证明:)(X f 是X的闭集．证明：对)(X f X x -∈∀，则x x f ≠)(，由于X 是Hausdorff 空间，存在x 和)(x f 的邻域V U ,1，使得Φ=⋂V U 1.又因为f 连续,故存在x 的邻域2U ,使得V U f ⊂)(2,令21U U U ⋂=,则U 是x 的邻域,且)(X f X U -⊂.事实上,若存在U z ∈使得)(X f z ∈,即 y X ∃∈使得)(y f z =.于是()()()f z f f y f y z ===,而V U f z f ⊂∈)()(,这样,Φ=⋂⊂⋂∈V U V U z 1,矛盾.所以)(X f X U -⊂,即)(X f 是闭集. 8 设X 是一个1T 空间，∈x X 。

点集拓扑练习题及答案点集拓扑练习题及答案点集拓扑练习题一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④ 11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：② 12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④ 13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ②1 ③2 ④3 答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ） ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z是（ ） ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：① 22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ） ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：② 23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ） ① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③ 24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ） ① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A= 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B-=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④()d A X= 答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案：④ 31、已知X是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X=③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ②{X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：② 35、离散空间的任一子集为( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③ 39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案：④ 41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：② 47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③ 48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ= ③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④{,,{1}}T X φ= 答案：① 51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：② 52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ） ① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：② 54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案：② 61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：① 63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：② 65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③ 66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：① 67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④ 68、实数空间R 中的连通子集E 为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：③70、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案：④71、下列叙述中正确的个数为（）（Ⅰ）单位圆周1S是连通的；（Ⅱ）{0}R-是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R-是连通的（Ⅳ）2R和R同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②72、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③73、整数集Z作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③75、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③76、正整数集Z+作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③78、2维欧氏间空间2R （ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③79、3维欧氏间空间3R （ ） ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③ 80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：②81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：② 82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：② 83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ） ① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：②84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案：①87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：① 92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集， 则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③ 93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集， 则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③ 94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：① 95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：②96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案：④99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ） ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③ 106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ） ① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：①二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= 3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X 10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1} 12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ= 15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ= 16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{1} 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入 19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射 20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射 21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射 22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间 23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间 24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间 25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质 28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质 29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间. 30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质 33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集 34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间 35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；答案：Lindel Öff 空间 36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个0T 空间; 答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个1T 空间; 答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点 40、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个2T 空间; 答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的1T 空间称为 ；答案：3T 空间 42、正规的1T 空间称为 ；答案：4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 . 答案：紧致空间 45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案：紧致子集46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .答案：可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .答案：列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂； （２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２； （３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑． 3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：×理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠. 6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√ 理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )案：√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理. 10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理. 11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理. 12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间. 注：也可以说明X 不是1T 空间． 13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：× 理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.注：也可以说明X 不是1T 空间．14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间． 注：也可以考虑点２和点３.15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间. 注：也可以考虑点２和点３.16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√ 理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√ 理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间. 18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案：√理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集. 19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集. 四．名词解释(每题2分) 1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚. 2、集合A 的内点 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4．拓扑空间(,)T X 的基 答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.5．闭包 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包. 6、序列 答案：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列. 7、导集 答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间. 9、连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间，则称Y 是X 的一个不连通子集.11、1 A 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.12、2 A 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间. 13、可分空间 答案：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间. 14、0T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间. 15、1T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间. 17、正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间. 18、正规空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间. 19、完全正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间. 21、紧致子集 答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五．简答题（每题4分） 1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集. 5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T. 答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T 6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=-- 8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:。

'一、选择题.1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ）A 、∅；B 、Q ；C 、R Q -；D 、R .2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ∂是（D ）A 、∅；B 、Q ；C 、R Q -；D 、R .3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ）A 、()()()d AB d A d B =； B 、A B A B -=-；C 、()()()d AB d A d B =； D 、A A =. !4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ）A 、()()()d AB d A d B =； B 、A B A B =；C 、()()()d A B d A d B =；D 、A A =.5、平庸空间的任一非空子集为（D ）A 、开集；B 、闭集；C 、既开又闭；D 、非开非闭.6、离散空间的任一子集为（C ）A 、开集；B 、闭集；C 、既开又闭；D 、非开非闭.7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ）*A 、{,{1},{3},{1,3}}T =∅；B 、{,,{1}}T A =∅；C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =∅；D 、{,,{1}}T X =∅.8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ）A 、{,{3},{2,3}}T =∅；B 、{,,{2},{3}}T A =∅；C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =∅；D 、{,,{3}}T X =∅.9、设126X X X X =⨯⨯⨯…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ）A 、单射；B 、连续的单射；C 、满的连续闭映射；D 、满的连续开映射.10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）。