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拓扑学教学设计1. 简介在数学和计算机科学中，拓扑学是一门研究空间特征的学科。
它主要关心空间中可以连续变形但不可以剪切或撕裂的性质。
拓扑学的应用十分广泛，包括在地理学、化学、生物学、地质学、经济学等领域都有着重要的作用。
本篇文档旨在探讨如何进行拓扑学的教学设计，帮助教师更好地进行拓扑学课程的教学。
2. 教学目标拓扑学不仅在理论上非常重要，而且也有着广泛的应用。
由此，我们的教学目标是：•学生掌握基本拓扑概念，如连通性、紧性、Hausdorff空间等。
•学生能够使用拓扑学的方法解决问题，例如证明两个空间是同胚、构造一个满足特定性质的空间等。
•学生了解拓扑学在各种领域中的应用，并能够将其运用到自己的研究中。
3. 教学方法3.1 概念讲解拓扑学是一门比较抽象的学科，在教学中需要重视概念的讲解。
可以通过PPT、黑板演示等方式，让学生直观地了解一些基本概念和引理。
3.2 练习与作业拓扑学需要一定的形象思维能力，在教学过程中需要进行大量的练习和作业，让学生熟练掌握有关概念和方法的运用。
可以设计各种类型的题目，如选择题、计算题、证明题等。
3.3 问题解答在教学过程中可以设立问题解答课，让学生提前将问题准备好，再在课堂上与老师和同学进行交流，以加深对知识点的理解和应用。
3.4 实例分析可以选取一些有趣的实例，结合生活和实践，让学生了解拓扑学在不同领域中的应用。
例如可以研究一个城市的地铁线路图，探究它的路线之间是否是同胚的，是否能用少于5条颜色将它涂色。
4. 教学内容4.1 拓扑空间的定义及其性质拓扑空间是拓扑学的基本概念，需要全面了解其定义和性质，掌握连通性、紧性、复合拓扑空间、Hausdorff空间等概念。
4.2 同胚与同伦同胚和同伦是拓扑学中重要的等价关系，需要深入理解它们的定义和性质。
4.3 基本拓扑结构基本拓扑结构包括拓扑基、拓扑闭包和极大连通子集等概念，需要仔细掌握。
4.4 向量场和微分结构拓扑学在微分方程中也有着重要的应用，需要了解向量场和微分结构等概念。
大学四年级数学教案研究拓扑学和复分析大学四年级数学教案研究 - 拓扑学和复分析拓扑学和复分析是数学领域中重要的两个分支，对于大学四年级的数学教学来说，它们具有重要的理论和应用价值。
本文将以拓扑学和复分析为主题，研究大学四年级数学教案的设计与实施。
一、引言数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科。
拓扑学和复分析作为数学中的两个重要分支，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
在大学四年级数学教学中，设计合适的教案能够帮助学生深入理解拓扑学和复分析的概念与方法，提高他们的数学能力和应用能力。
二、拓扑学教案设计与实施拓扑学是研究集合中近似的性质，如连续性、邻近性等的学科。
在大学四年级数学教学中，拓扑学通常作为数学专业的一门选修课程。
设计一份合理的拓扑学教案非常重要。
1. 教学目标在设计拓扑学教案时，首先要确定教学目标。
教学目标应包括知识目标和能力目标。
例如，帮助学生理解拓扑空间的基本概念，掌握拓扑空间中连通性、紧性等重要性质，培养学生分析和解决拓扑学问题的能力等。
2. 教学内容教学内容应围绕教学目标展开。
拓扑学的内容包括拓扑空间、连续映射、拓扑空间中的连通性、同胚等。
在设计教案时，可以合理选择教材资料，结合具体案例进行讲解，帮助学生理解与运用相关概念和定理。
3. 教学方法在拓扑学的教学中，灵活运用多种教学方法可以提高教学效果。
例如，通过讲述、举例、引导学生讨论、解决问题等方式，激发学生的学习兴趣，促进他们主动参与学习。
4. 教学评价教学评价是教学过程中不可或缺的一环。
通过定期组织小测验、作业、课堂讨论和期末考试等方式，对学生的学习情况进行评价，帮助他们巩固知识，发现问题，并及时采取措施进行辅导。
三、复分析教案设计与实施复分析是实变函数论在复数域上的推广，研究复数域上的函数及其性质。
在大学四年级数学教学中，复分析通常是数学专业的一门主要课程。
设计一份合理的复分析教案对于学生的学习至关重要。
拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。
它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。
其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。
它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。
通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。
从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。
【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。
关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。
通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。
二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。
第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。
《点集拓扑学教案》一、引言1.1 点集拓扑学的定义：研究在给定的拓扑空间中，点集的性质、结构以及点集之间的相互关系。
1.2 点集拓扑学的重要性：点集拓扑学是拓扑学的基础，对其他数学分支如代数、分析、微分几何等有重要的影响。
1.3 点集拓扑学与其他学科的联系：与计算机科学、物理学、经济学等领域有密切的联系。
二、拓扑空间的基本概念2.1 拓扑空间的定义：一个拓扑空间是一个集合，along with a collection of subsets of called a topology, which satisfies certn properties.2.2 拓扑空间的性质：拓扑空间具有三个基本性质：开集、闭集和连续性。
2.3 常见拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、仿射空间、辛空间等。
三、拓扑空间的连通性3.1 连通性的定义：一个拓扑空间是连通的，如果它可以通过连续变换连通起来。
3.2 连通性的性质：连通的拓扑空间是自相似的，即它可以通过连续变换变成自身。
3.3 连通性与曲率的关系：通过曲率的定义，可以判断拓扑空间的连通性。
四、拓扑空间的紧性4.1 紧性的定义：一个拓扑空间是紧的，如果它的任何开覆盖都有一个有限子覆盖。
4.2 紧性的性质：紧的拓扑空间是可分的，即它可以被分成有限个开集的并集。
4.3 紧性与连续变换的关系：紧的拓扑空间可以通过连续变换变成自身。
五、拓扑空间的度量5.1 度量的定义：度量是一个函数，它为每个点集赋予一个非负实数，称为度量。
5.2 度量的性质：度量具有正定性、对称性和三角不等式性质。
5.3 度量空间：具有度量的拓扑空间称为度量空间，度量空间中的点集可以通过度量来度量它们之间的距离。
六、连通拓扑空间的同伦6.1 同伦的定义：两个连通拓扑空间之间的同伦是指一个连续映射可以将一个空间连续地变形到另一个空间。
6.2 同伦的性质：同伦关系是等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
6.3 同伦的应用：同伦关系可以用来研究连通拓扑空间的性质和结构，例如通过同伦变换可以将一个空间变形为另一个空间。
幼儿园中班数学教案-《认识拓扑学，让孩子学会拓扑学概念》幼儿园中班数学教案-《认识拓扑学，让孩子学会拓扑学概念》随着社会的不断发展，数学教育在幼儿园中也越来越受到重视。
数学启蒙是数学教育的基础，而拓扑学作为数学中一个重要的分支，其概念对于幼儿数学教育也是必不可少的。
本文将以《认识拓扑学，让孩子学会拓扑学概念》为题，从教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤、教学重点与难点、教学总结等六个方向进行详细阐述。
一、教学目标1.了解拓扑学的基本概念；2.认识不同形状的物体；3.提高孩子的形象思维能力；4.培养孩子的观察力和逻辑思维能力；5.增强孩子对数学的兴趣和学习能力。
二、教学内容1.拓扑学基本概念：点、线、面、圆、正方形等；2.不同形状的物体：球、圆环、立方体、长方体等；3.掌握不同形状物体的特征和区别；4.认识不同形状物体间的关系，如包含、相交、相邻等；5.通过游戏和实物展示帮助孩子理解拓扑学概念。
三、教学方法1.观察法：通过观察不同形状的物体，引导孩子了解其特征和区别；2.游戏法：通过游戏的形式，让孩子体验不同形状物体的包含、相交、相邻等关系；3.实物展示法：通过实物展示，让孩子直观感受不同形状物体的特征和区别；4.讲解法：引导孩子认识拓扑学基本概念，并通过讲解让孩子理解概念。
四、教学步骤1.引导孩子观察不同形状的物体，并通过比较和分类的方式引导孩子认识不同形状物体的特征和区别；2.引导孩子通过游戏的形式体验不同形状物体的包含、相交、相邻等关系；3.通过实物展示，让孩子直观感受不同形状物体的特征和区别；4.引导孩子认识拓扑学基本概念，如点、线、面、圆、正方形等；5.通过讲解让孩子理解概念，并进行复习巩固。
五、教学重点与难点1.教学重点：引导孩子认识不同形状物体的特征和区别，理解不同形状物体间的关系；2.教学难点：让孩子理解拓扑学基本概念，如点、线、面、圆、正方形等，并将其应用到实际生活中。
六、教学总结本次教学通过观察、游戏、实物展示、讲解等多种方式，让孩子认识了拓扑学基本概念，理解不同形状物体间的关系，提高了孩子的形象思维能力和观察力，增强了孩子对数学的兴趣和学习能力。
大学十年级数学教案学习拓扑学和复分析的高级理论和应用一、引言数学作为一门科学和学科体系，有着广泛的分支和深入的理论体系。
在大学数学的学习中，拓扑学和复分析作为数学的两个重要分支之一，具有高级理论和广泛应用的特点。
本文将围绕大学十年级数学教案，探讨拓扑学和复分析的高级理论和应用。
二、拓扑学的高级理论1. 拓扑学的基本概念与性质拓扑学研究的是空间和连续变换的理论，为了深入理解拓扑学的高级理论，首先需要了解拓扑学的基本概念与性质，如拓扑空间、开集、闭集、连通性等。
这些基本概念为后续的高级理论奠定了基础。
2. 拓扑空间的连通性理论研究拓扑空间的连通性理论是拓扑学的重要内容之一。
通过研究连通性理论，可以帮助我们深入理解空间的性质，在实际应用中具有广泛的作用。
例如，连通空间在图像处理和网络连接性等方面有着重要的应用。
3. 同胚与同伦理论同胚与同伦理论是拓扑学中的重要内容，通过对同胚与同伦的研究，可以帮助我们理解空间之间的等价关系和变换关系。
这些理论在几何形状的变换和图像的重建等方面有着广泛的应用。
4. 拓扑学的高级理论研究方法在研究拓扑学的高级理论时，我们还需要了解拓扑学的研究方法。
例如，拓扑学中的证明方法、构造方法和计算方法等，这些方法将帮助我们更好地理解和应用拓扑学的高级理论。
三、复分析的高级理论与应用1. 复分析的基本概念与性质复分析是一门研究复数域上的函数的理论，为了理解复分析的高级理论，我们首先需要了解复分析的基本概念与性质，如解析函数、全纯函数、留数定理等。
这些基本概念为后续的高级理论与应用打下了基础。
2. 解析函数与全纯函数的研究解析函数与全纯函数是复分析中的重要概念，通过研究解析函数与全纯函数的性质，可以帮助我们更好地理解和应用复分析的高级理论。
例如，利用解析函数的性质可以求解复变函数中的积分和微分等问题。
3. Laurent级数与解析延拓Laurent级数是复分析中的一个重要工具，它可以用来表示在复平面上的函数。
《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。
1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。
教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。
教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。
教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。
教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。
点集拓扑讲义教学设计引言点集拓扑学作为数学基础课程的一部分，在数学、物理、计算机等学科中具有较为广泛的应用。
然而，这门课程对于一些学生来说难度较大，需要一定的思维训练和理解。
本文将探讨针对点集拓扑学的教学设计，以期提高学生的学习兴趣和效果。
教学目标点集拓扑学作为一门非常重要的数学基础课程，它的学习目标主要有以下几点：1.理解点集拓扑基本概念和理论体系；2.掌握点集拓扑学中的基本定理；3.培养学生的数学思维能力；4.丰富学生的数学知识，拓宽学生的数学视野。
教学内容课程大纲按照不同教学目标的要求，我们可以将点集拓扑学的课程大纲设计如下：第一章：点集拓扑学基本概念本章主要介绍点集拓扑学的基本概念，包括：1.点集拓扑学的基本概念；2.开集和闭集；3.连通性；4.同胚及其基本性质。
第二章：度量空间与距离本章主要介绍度量空间与距离，包括：1.度量空间的定义及其基本性质；2.距离空间的定义以及基本性质；3.如何从度量定义来描述开、闭集、收敛等性质。
第三章：凝聚性与分离性本章主要介绍凝聚性与分离性，包括：1.集合的锥性、怀堵性、单点性及其中间值性；2.T0、T1、T2、T3、T4公理化条件。
第四章：拓扑群与李群本章主要介绍拓扑群与李群的相关概念，包括：1.拓扑群的定义、同态等概念；2.李群的定义及其重要性质。
教学方法1.理论课主要采取教师授课为主，学生提问为辅；2.实际问题的演示与案例分析；3.通过归纳和演绎形式的语言及数学对问题进行理解。
教学评估教学评估是对课程实施过程、学生学习状态、学习成果等情况进行评估，以指导课程目标的实现。
本课程将采取下面三种评估方法：1.课程评估：从整体上对课程进行评价，听取学生的意见和建议；2.学生评估：对学生的学习过程、学习积极性和学习成果进行评估；3.考核评估：通过考核措施对学生对点集拓扑学的掌握情况进行评估。
结语通过本文的教学设计，我们可以更好地进行点集拓扑学的教学，并且提高学生的学习兴趣和效果。
数学教案引导学生理解数学中的拓扑学概念拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间与形状的性质，而不关注具体的度量。
在数学教学中，引导学生理解数学中的拓扑学概念是培养学生抽象思维和几何直观的重要方式之一。
本教案将以教学导图为主，并结合实例进行讲解，以帮助学生更好地掌握拓扑学概念。
一、引入1. 引出问题：在平面上有两个点，我们如何判断它们是否相邻？2. 提示：通常我们会使用距离来判断，但是拓扑学不关心距离，而是关注于形状的性质。
3. 引导学生思考：如果不考虑距离，有哪些方法可以判断两个点的相邻关系？二、定义点集之间的相邻关系1. 引入定义：两个点集在一个空间中被称为相邻，若它们可以通过一个连续变化而彼此接触，并不需要考虑具体的距离。
2. 示意图：绘制一个闭合曲线，让学生观察其中的点集相邻关系。
三、介绍拓扑学中的拓扑空间1. 引导学生：如果我们把曲线拉伸，甚至变形，形状是否改变了？2. 解释：拓扑学中所研究的是空间的性质，而不关心其具体的度量。
因此，我们把曲线拉伸、变形后仍然被视为同一个形状，即同一个拓扑空间。
3. 示意图：使用图像示例以及实物模型展示拓扑空间的概念。
四、引入拓扑学中的开集和闭集1. 提问：在数学中，我们经常听到开集和闭集，你们对这两个概念有了解吗？2. 解释：开集和闭集是拓扑学中的基本概念，它们与点集的边界有关。
开集表示不包含其边界的集合，闭集则包含其边界。
3. 示例：通过图示以及具体的点集示例，帮助学生理解开集和闭集的概念。
五、解释连通性与紧致性1. 引入连通性：一个空间被称为连通的，如果它不能被划分成两个或更多非空、不相交的开集。
2. 引入紧致性：一个空间被称为紧致的，如果从该空间中的每个开覆盖中都可以选取有限个开集，使得它们也覆盖该空间。
3. 提供示例：通过平面上的图形、曲线以及实际生活中的例子，让学生感受连通性与紧致性的概念。
六、总结与延伸1. 总结：本节课我们介绍了拓扑学中的一些基本概念，包括相邻关系、拓扑空间、开集与闭集、连通性以及紧致性。
拓扑学教案8
第三章 几种特殊类型的拓扑空间
说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。
在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中可能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。
本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。
§ 3-1 第一与第二可数公理
基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。
而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。
所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。
定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和可数局部基。
解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。
定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。
定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。
例1 （1C 空间的例子）
结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。
解释：因为，设(,)x X d ∈，记
1
{(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n 为半径1
n
的球形邻域） 则x B 为x 的邻域族。
设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。
因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。
即X 是1C 空间。
例2 （非1C 空间的例子）
结论：设X 为不可数无穷集，{C
C A
A τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，
(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。
解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），C
x U 是可数集。
利用反证法。
现设x V 是点x 处的可数局部基，由于对X 中每一个异于x 的点y ，有{}C
y 是x 的邻域（因为，{}y 是X 的可数集），故必存在y x V ∈V 使得{}C
y V y ⊂，即{}C
y y V ⊂。
于是，异于x 的全体{}C
y x =，有
{}x x
C
C C
y
x
y x
U x V
U
≠∈⊂
⊂
V
在上式中，左侧{}C
x 是不可数集，而右侧是可数个可数集的并，仍是可数集，而不可能有
“可数集⊃不可数集”
故而是矛盾的，即说明x V 的可数局部基假设是错误的，即X 不满足1C 公理。
例3 （2C 空间的例子） 结论：实数空间R 是2C 空间。
解释：令B 为所有以有理数为端点的开区间构成的集族，可知B 是可数族，并且可以证明B 是
R 的基（留给同学自己证明）。
故R 满足第二可数公理。
例4 （非2C 空间的例子）
结论：设X 为不可数无穷集，(,)X τ是离散拓扑空间，则(,)X τ不是2C 空间。
解释：设 (,)X τ是离散拓扑空间，X 为不可数无穷集。
可知，所有单点集{}x 都属于τ。
又由于单点集不能表示成异于自身的其他τ中成员的并，故单点集必属于基B 中成员。
由于X 为不可数无穷集，则单点集不是可数的。
即，(,)X τ不是2C 空间。
定理1 2C 空间一定也是1C 空间。
事实上，若X 有可数拓扑基B ，则任意点x 有可数局部基{,}B B x B ∈∈B 。
分析： X 是2C ⇒X 是1C ； 反之，X 是1C ⇒X 是2C
X 不是1C ⇒X 不是2C ； 反之，X 不是2C ⇒X 不是1C
例如，任一离散空间X （X 是不可数集），对于每一x X ∈，单点集{}x 就是x 处的局部基（只含{}x 的一个成员，则是可数的），所以满足第一可数性公理；
又由例4知，X 不满足第二可数性公理。
定理2 可分的度量空间是2C 空间。
（注释：若X 存在可数稠密子集，称X 是可分的） 证明： 若(,)X d 是可分的度量空间，A 是它的一个可数稠密子集，记 1
{(,),B a a A n n
=∈B 为自然数}
则B 是一个可数的开集族。
因为a A ∈可数，1N n ∈可数，故1(,)a n
可数。
下面证明B 是(,)X d 的拓扑基。
提示：只要证明X 上的任何开集U 及x U ∈，总存在a A ∈（可数稠密集）和自然数n ，使得1(,)x B a U n
∈⊂。
（如右图所示）
取0ε>，使得(,)B a U ε⊂，取2
n ε
>，a A ∈，使得1
(,)d x a n
<
，则1(,)x B a n
∈。
若1()(,)y y x B a n ≠∈，则1(,)d a y n <
，由三角不等式，有2
(,)d x y n
ε<<，从而(,)y B x ε∈（说明：1
(,)B a n
不仅是x 的局部基，而且是其中任何点的局部基，即是X 的基成员）。
于是
1(,)(,)B a B x U n
ε⊂⊂ 而1(,)B a n
∈B ，即B 是X 的可数基。
定义4 设:f X Y →为拓扑空间X 到Y 中的映射。
如果X 中每一开集（闭集）在f 下的象都是Y 中的开集（闭集），则称f 为开映射（闭映射）。
注释：f 是开映射，意味着1f -是连续的。
定理3 设X ，Y 为拓扑空间，:f X Y →为在上的连续开映射。
若X 是1C （或2C ）空间，则Y 也是1C （或2C ）空间。
证明略。
定理说明：可数性公理是拓扑不变性质。
问 题：在上的连续开映射，是同胚吗？
（缺少一一对应，同胚是开映射，反之不然）
定理4 1C （或2C ）空间的子空间仍是1C （或2C ）空间。
定理4 若12,,,n X X X 是1C （或2C ）空间，则12n X X X ⨯⨯⨯ 也是1C （或2C ）空间。
上述几个定理均不证明，只做解释：
定理4 称为可遗传性；定理5称为可乘性。
有上述定理，我们自然会得出如下结论：
“n 维欧氏空间n E 的任一子空间均满足第一和第二可数公理” 因为，1E 是2C 空间，由定理1知也是1C 空间； 又由定理5，111n E E E E =⨯⨯⨯ 也是2C 空间（1C 空间）；再由定理4，故有此结论。
●（以下为重要结论） 下面的讨论可以看出，在1C 空间中的序列性质与微积分（实分析）中序列的性质有较多相似之处。
定理6 设X 为拓扑空间，且在点x X ∈处有可数局部基，则点x 有可数局部基12{,,}V V 满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。
证明： 设点x 的可数局部基为12{,,}U U ，令
12,
1,2,i i V U U U i =⋂⋂⋂=
显然，12{,,}V V 是x 的可数邻域族，且满足12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。
下面仅需证明它是x 的局部基。
因为，对于x 的任一邻域U ，由于12{,,}U U 是x 的局部基，故存在j U U ⊂。
于是
12j j j V U U U U U =⋂⋂⋂⊂⊂
即j V U ⊂，故12{,,}V V 是x 的局部基。
定理7 设A 是1C 空间X 的子集，则点x X ∈为A 的聚点{}A x ⇔-中有序列收敛于x 。
证明：
（⇐充分性） 设序列{}i i N x ∈在{}A x -中，且lim i i
x x =。
由序列收敛的定义有，若U 是x 的
任一邻域，则存在n N ∈，使得当i n >时，所有的i x U ∈（且{}i x A x ∈-）。
于是({})U A x ⋂-≠∅，
故x 是A 的聚点。
（⇒必要性）设x 是A 的聚点，由于x 处有可数局部基，由定理6，设12{,,}V V 是点x 的局部基，并满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。
因为x 是A 的聚点，于是，对于1,2,i ∀= ，由于({})i V A x ⋂-≠∅。
任取({})i i x V A x ∈⋂-，序列{}i i N x ∈在{}A x -中。
于是，对于x 的每一邻域U ，存在n N ∈，使得n V U ⊂，从而当1i i n V V V U -⊂⊂⊂⊂ 。
于是i n >时，所有i x U ∈，即lim i i
x x =。
定理8 设X ，Y 为拓扑空间，X 满足公理1C ，x X ∈，映射:f X Y →在点x 处连续⇔若
X 中序列{}i i N x ∈收敛于x ，则Y 中序列{()}i i N f x ∈收敛于()f x 。
定理9 设X ，Y 为拓扑空间，X 满足公理1C ，则映射:f X Y →连续⇔若X 中序列{}i i N x ∈收敛于x X ∈，则Y 中序列{()}i i N f x ∈收敛于()f x 。
上述两个定理的证明可详见教材，证略。
定理8说明在点x 处收敛的充要条件，定理9说明f 连续的充要条件。
