运筹学 第二章对偶理论灵敏度分析

MaxZ x1 2 x2 x3
x1 x2 x3
ST
:

x1 2 x1

x2 x2
x3 x3
2 1 2
x1 0, x2 0, x3无约束
MinW

2u1 u1 u2
u22u23 u3
1
ST
:


u1 u2 u3 u1 u2 u3
Min W =600y1+400y2+300y3+200y4
s.t. 3y1+2y2+ y3+ y4≥2000
4y1+ y2+3y3+2y4≥4000 2y1+2y2+3y3+4y4≥3000

y1, y2, y3, y4≥0
2
二、对偶问题
（1）对称LP问题的定义
第一类对称形式
MaxZ CT X
解：用x2= -x2’, x3=x3’-x3’’ 代入上述LP问题，并将其
Max
Z
= x1
x1-2x2’ +x3’-x3’’ -x2’ -x3’+x3’’ ≤ 2
化为第一类对称形式
x1+x2’+x3’ -x3’’ ≤ 1
s.t. -x1 -x2’ -x3’+x3’’ ≤-1
-2x1+x2’ -x3’+x3’’ ≤-2 x1, x2’, x3’, x3’’ ≥0
Max Z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2≤8
4x1 ≤ 16 4x2≤ 12 x1 ,x2 ≥0
对偶
Min W =8y1+16y2+12y3

17
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1

x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本a1jy1+ a2jy2+ …… aijyi+ ……amjym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
4、产品的差额成本（Reduced Cost）
机会成本
差额成本
利润
min w b1y1 b2 y2 bm ym
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
min w=YTb
ATY ≥ CT st.
Y ≥0
1,若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是 极小化，反之亦然。
特对 点偶
问 题 的
2,原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩 阵互为转置矩阵。
3,极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个 变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。
6 y2 + y3 ≥2
题对 偶
St. 5y1 + 2y2 + y3 ≥1
问
y1、y2 、y3 ≥0
最终表
210 0
CB 基 b x1 x2 x3 x4
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4
cj－zj
0 0 0 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
≤
≥
约束条件
≥
≤
变量
=
无约束
≥
≥
变量
≤
≤
无约束
=
运筹学第二章对偶理论与灵敏度分析
约束条件
§2.2 对偶问题的基本性质
性质1 弱对偶性

建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变