对偶理论与灵敏度分析1解析

第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析常见疑问解答1、研究线性规划对偶问题的经济意义何在？因为线性规划往往解决原料、设备、资金、人力等资源的最优配置问题，因此了解资源在最优配置下所创造的（边际）价值即机会成本或机会收益对于成本分析、资源计划、投资计划等都有较重要的作用。

此外，对偶规划也常和对资源的灵敏度分析联系在一起，对于更好地在变化环境中配置资源有一定的指导意义。

2、已知原线性规划问题如何写出其对偶问题？（1）如果原问题是MAX问题，则其对偶问题是MIN问题。

按下表可将其对偶问题写出。

（2）如果原问题是MIN问题，则其对偶问题是MAX问题。

按下表可将其对偶问题写出。

3、如何写出下述线性规划问题的对偶模型？min z=2x1+2x2+4x3x1+3x2+4x3≥22x1+x2+3x3≤3x1+4x2+3x3＝5x1≥0, x2≥0, x3无约束。

答：其对偶模型如下，max z=2y1+3y2+5y3y1+2y2+y3≤23y1+y2+4y3≤24y1+3y2+3y3＝4y1≥0, y2≤0, y3无约束。

4、如何快速求出以下只有一个约束方程的线性规划的对偶问题的最优解？Max Z=c1x1＋c1x2＋…＋c n x na1x1＋a1x2＋…＋a n x n≤bx1, x2,…, x n≥0a i, c i, b>0, i=1, 2, …, n.答：利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，写出其对偶问题的模型如下，Min f=bya1y≥c1a2y≥c2……a n y≥c ny≥0因为，y≥, i=1, 2, …, n. 所以，其对偶问题的最优解y*=.5、如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，那么它的对偶问题中变量有何经济含义？原问题的模型形式如下。

其中，变量x j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的产量；c j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的单位利润；b i, i=1, 2,…, m, 是每种资源的总量，a ij表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i种资源的量，i=1, 2,…, m, j=1, 2,…, n.答：其对偶问题即有如下形式，对偶问题中的变量y k, k=1, 2,…, m, 可具有发现某种资源所创造的单位价值并对某种资源定价的经济含义。

第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析主要内容：1、对偶问题及其性质；2、 对偶单纯形法；3、 灵敏度分析。

重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方 法。

要求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够用这些数学方法解决实际问题。

§ 1对偶问题的对称形式一、对偶问题弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利 2元，每生产一件产品乙可获利 3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利最多？解：设X i 、X 2分别为甲、乙两种产品的产量作一比较：若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲，可获利 2元，那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。

即:2力 4y 33将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为则目标函数maxz 二2x 「3x 2x 「2x 2 岂8i4x 1 - 16 i4x 2 兰12约束条件-x 1,x^ 0(1)不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售 3分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料这时要考虑每种资源的定价问题，设A 、B 的附加额。

时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。

即:。

=8y 〔+ 16y 2 + 12y 3对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。

为此，得到如下模型：min =8y 1 16y 212y 3"+4丫2工 2< 2y i +4y ^ 3 J j > 0 , j =1,2,3我们就称（2）为模型（1）的对偶问题。

线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。

在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

1. 对偶问题在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。

它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。

对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。

对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。

该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。

对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。

解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。

对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。

对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。

2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。

它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。

灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。

其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。

这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。

在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。

例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。

灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。

在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。