第 1 页 共 4 页 高中数学：与圆有关的最值问题
角度1 借助几何性质求最值的问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则
①yx的最大值为3 ；
②y－x的最大值和最小值分别为－2＋6，－2－6 ；
③x2＋y2的最大值和最小值分别为7＋43，7－43
.
解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．
①yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.
所以yx的最大值为3.
②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．
如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值， 第 2 页 共 4 页
此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6，
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
③方法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.
方法二：由x2＋y2－4x＋1＝0，得(x－2)2＋y2＝3.
设 x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，
则x2＋y2＝(2＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝7＋43cosθ.
所以当cosθ＝－1时，(x2＋y2)min＝7－43，
当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝7＋43.
角度2 建立函数关系求最值的问题
(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则PA→·PB→的最大值为12__.
解析：由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，
数学圆和(面积)的最值问题
数学圆的最值问题
引言
数学中，圆是一个重要的几何概念。在研究圆的性质和应用时，我们经常会遇到关于圆的最值问题，即在一定的条件下，如何找到圆的面积或其他性质的最大值或最小值。本文将探讨数学圆的最值问题，并介绍一些解决这类问题的方法和策略。
圆的面积最值问题
在圆的最值问题中，我们常常涉及到最大面积和最小面积两种情况。下面分别讨论这两种情况。
圆的最大面积
当我们固定圆的半径时，要找到圆的最大面积，需要确定这个半径的取值范围。根据数学知识，圆的面积公式为：A = πr²，其中π是一个常数，r代表半径。
当半径r取值为正数时，圆的面积是一个关于r的增函数。因此，我们可以通过求导数的方法来找到最大面积。具体步骤如下：
1.对面积公式A = πr²求导，得到A' = 2πr。
2.令A' = 0，解方程得到r的临界点。
3.将临界点带入面积公式，找到最大面积。
圆的最小面积
当我们固定圆的周长时，要找到圆的最小面积，也需要确定周长的取值范围。根据数学知识，圆的周长公式为：C = 2πr。
由于周长是一个固定值，我们可以将周长公式改写为：r = C /
(2π)，然后将该式代入圆的面积公式A = πr²中，得到面积的表达式只包含C一个变量。
通过对这个新的面积表达式进行求导和求临界点，可以找到圆的最小面积。
结论
数学圆的最值问题是一个有趣且实用的数学问题。通过应用求导等数学方法，我们可以找到圆的最大面积和最小面积。在实际应用中，我们可以将这些方法应用于设计圆形物体的最优尺寸、优化圆形线路的长度等问题中，为实际生活带来便利和效益。
参考文献：
数学圆的性质与应用，XXX，XX出版社，20XX年。
数学分析教程，XXX，XX出版社，20XX年。
以上是本文对数学圆的最值问题的讨论和总结，希望对读者有所帮助。
专题11
最值模型-
阿氏圆问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考
查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本
专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个
圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，
已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3
所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而
当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9
，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则1
3AP＋BP的最小值为
（
）
A．7 B．
5
2 C
．
410+ D
．
213
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相
似三角形的性质证明MP1
3=
PA，可得1
3AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出
BM即可
解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2
＝CM•CA，∴PCCM
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八种隐圆类最值问题，圆来如此简单
在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中
必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个
“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！
知识点梳理
题型一 定点定长得圆
2023年湖北省鄂州市中考数学真题
2023·邵阳市中考真题
2023·广西南宁市二模
2022·辽宁抚顺·中考真题
2022·长春·中考真题
题型二 直角的对边是直径
2023·菏泽市中考真题
2022·通辽·中考真题
2023·汕头市金平区一模
2023·广州市天河区三模
2022·成都市成华区二诊
题型三 对角互补得圆
2023年·广元市一模
题型四 定弦定角得圆
2023·成都市新都区二模
2023·成都市金牛区二模
2023·达州·中考真题
题型五 四点共圆
题型六 相切时取到最值
2023·随州市中考真题
2022·江苏无锡·中考真题
2022扬州中考真题
题型七 定角定高面积最小、周长最小问题
题型八 米勒角（最大张角）模型
徐州中考
01题型·解读
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知识点梳理
一、定点定长得圆
在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，
并进行计算
二、直角的对边是直径
前世：在⊙O
中，AB
为直径，则始终有AB
所对的∠C=90
°
今生：若有AB
是固定线段，且总有∠ACB
＝90°，则C
在以AB
为直径径的圆上．(
此类型本来属于
定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)
满分·技巧02
xy
C
A
BOM
B
OAC
B
OAC 3 / 28 三、对角互补
前世：在⊙O
上任意四点A
，B
，C
，D
所围成的四边形对角互补
今生：若四边形ABCD
对角互补，则A
，B
，C
，D
四点共圆
四、定弦定角模型
