【金版学案】2015届高考数学总复习 第六章 第六节直接证明与间接证明课时精练 理
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1 第六节 合情推理与演绎推理
1．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，„这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图)．
则第n个三角形数为( )
A．n B.12n(n＋1)
C．n2－1 D.12n(n－1)
答案：B
2．(2013·福建福州模拟)“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.
答案：A
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”；
④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．
以上类比得到的正确结论的序号是( )
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
解析：由向量的数量积的概念知“a·b＝b·a”正确；由向量的运算法则知“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”正确；当a，b都与c垂直时，“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”不正确；当a⊥b时“|a·b|＝|a|·|b|”不正确．故选C.
答案：C
4．无限循环小数为有理数，如：0.1·，0.2·，0.3·，„，观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝13，„，则可归纳出0.4· 5·＝( )
A.12 B.511 C.120 D.5110
2 解析：观察知0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝39，„，所以可归纳出0.4· 5·＝4599＝511.
答案：B
5．(2013·衡水调研)已知an＝13n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
„„
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝( )
A.1367 B.1368
C.13111 D.13112
解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1,3,5，„，那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝13112，故选D.
答案：D
6．已知3x＋4x＝5x的解为x＝2，类比可知3x＋4x＋5x＝(________)x的解为x＝________.
解析：类比可得3x＋4x＋5x＝6x的解为x＝3.检验知，结论正确．
答案：6 3
7．(2013·佛山一模)观察下列不等式：
①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；„则第5个不等式为__________________________．
解析：由①12＜1；
②12＋16＜2；
③12＋16＋112＜3；
归纳可知第四个不等式应为12＋16＋112＋120<2；
第五个不等式应为12＋16＋112＋120＋130＜5.
故答案为12＋16＋112＋120＋130＜5.
答案：12＋16＋112＋120＋130＜5
8．观察下列等式：
13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，„，根据以上
3 规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝________________(结果用具体数字作答)．
解析：观察前3个等式发现分别从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等于右边的分别是这几个数的和的平方，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝(1＋2＋„＋8)2＝362＝1 296.
答案：1 296
9．(2013·宝鸡检测)考察下列一组不等式：
23＋53＞22×5＋2×52，
34＋64＞3×63＋33×6，
55＋95＞52×93＋53×92，
652＋752＞62×712＋612×72，
„
将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________．
解析：依题意得，推广的不等式为am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a＞0，b＞0，a≠b，m＞0，n＞0)．
答案：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a＞0，b＞0，a≠b，m＞0，n＞0)
10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{}an(n∈N*)的前12项，如下表所示.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6
按如此规律下去，则a2 009＋a2 010＋a2 011＝____________.
解析：通过观察与分析该数列的项有如下规律：
当n＝2k，k∈N*时，an＝k，
当n＝4k－3，k∈N*时，an＝k，
当n＝4k－1，k∈N*时，an＝－k，
∵2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1,2 010＝2×1 005，
∴a2 009＋a2 010＋a2 011＝503＋1 005＋(－503)＝1 005.
答案：1 005
11．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：
1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心
4 圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是________________．
解析：观察前几行可知，实心圆点的个数变化满足裴波那契数列，该数列的前11项是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，所以第11行的实心圆点有55个．
答案：55
12．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
解析：设f(n)为n个点可连的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，„，f(n)＝nn－12.
因此圆周上n个点之间所连的弦共有n()n－12条(n≥2)．
13．(2013·广东中山模拟)设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解析：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，
f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33.
证明：设x1＋x2＝1，
f(x1)＋f(x2)
＝13x1＋3＋13x2＋3
＝3x1＋3＋3x2＋33x1＋33x2＋3
＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3（3x1＋3x2）＋3
＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2）＋2×3
5 ＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2＋23）＝33.
14．已知点M(k，l)，P(m，n)(klmn≠0)是曲线C上的两点，点M，N关于x轴对称，直线MP，NP分别交x轴于点E(xE，0)和点F(xF,0)．
(1)用k，l，m，n分别表示xE和xF;
(2)当曲线C的方程分别为：x2＋y2＝R2(R>0)，x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)时，探究xE·xF的值是否与点M，N，P的位置相关；
(3)类比(2)的探究过程，当曲线C的方程为y2＝2px(p>0)时，探究xE与xF经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论(只要求写出你的探究结论，无须证明)．
解析：(1)依题意N(k，－l)，且klmn≠0及MP，NP与x轴有交点知：M，P，N为不同点，直线PM的方程为y＝n－lm－k(x－m)＋n，
则xE＝nk－mln－l，同理可得xF＝nk＋mln＋l.
(2)∵M，P在圆C：x2＋y2＝R2上，
∴ m2＝R2－n2，k2＝R2－l2，
xE·xF＝n2k2－m2l2n2－l2＝n2（R2－l2）－（R2－n2）l2n2－l2＝R2(定值)．
∴xE·xF的值与点M，N，P位置无关．
同理，∵M，P在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，
∴ m2＝a2－a2n2b2，k2＝a2－a2l2b2，
∴xE·xF＝n2k2－m2l2n2－l2＝n2a2－a2l2b2－a2－a2n2b2l2n2－l2＝a2(定值)．
∴xE·xF的值与点M，N，P位置无关．
(3)一个探究结论是：xE＋xF＝0.
证明如下：依题意，xE＝nk－mln－l，xF＝nk＋mln＋l.
∵M，P在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，
∴n2＝2pm，l2＝2pk.
xE＋xF＝2（n2k－ml2）n2－l2＝2（2pmk－2pmk）n2－l2＝0.
∴xE＋xF为定值．
