2018年高中数学人教版选修2-3课件：2.3.2 离散型随机变量的方差

0.2 0.3 0.2 0.1
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
2 ( x － E ( X )) 则 i 描述了 x (i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的
i
偏离程度，而 D(X)＝
i＝1
xi－EX2pi
n
为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度． 我 们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变 量 X 的 标准差．
[答案]
[ 解析 ]
B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
B
∵ X ～ B(10,0.6) ，∴ E(X) ＝ 10×0.6 ＝ 6 ， D(X) ＝
10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
建模应用引路
方差的实际应用
A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组 进行对比实验． 每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用 A， 另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组． 设 2 1 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．

C5k(13)k(23)5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，则 D(3ξ)＝(
)
A．10
B．30
C．15
D．5
[答案] A
[解析] 由 ξ 的分布列知 ξ～B(5，13)，
∴D(ξ)＝5×13(1－13)＝190， ∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故选 A.
5．随机变量 X 的分布列如下表：
X
解之得，a＝152，b＝14.
离散型随机变量的方差的性质
已知随机变量 X 的分布列是
X0
1
2
3
4
P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 试求 D(X)和 D(2X－1)．
[分析] 已知分布列求方差，可先求出均值， 再套用公式计算．求D(2X－1)可利用方差的 性质计算．
[解析] E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋ 3×0.2＋4×0.1＝1.8.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲 类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
[分析] 先弄清楚每个试验组成为甲类组的情 况：即服A有效的个数为2时，服B有效的个 数可为0、1两种；当服A有效的个数为1时， 服B有效的个数只能是0个．
(2)中，先确定ξ的可能取值，ξ＝0、1、2、3， 然后分别求出每个变量对应的概率．
(2013·景德镇市高二质检)已知离散型随机变量 X 的分布列
如下表，若 E(X)＝0，D(X)＝1，则 a＝________________，b
＝________.
X －1 0 1
2
P
a
bc
1 12
[答案]
5 12
1 4
[解析] 由期望、方差的定义和条件知，

D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2
×0.3＝12. (6分)
x 100－ x (2)f(x)＝ D Y1＋ D Y 2 100 100 x 2 4 100－ x 2 2 2 D(Y1) ＋ ＝ D ( Y ) ＝ [ x ＋ 3(100 － x ) ]＝ 2 2 100 100 100
a＝ 2， a＝－ 2， 所以 或 即为所求． b＝－ 2 b＝ 4
规律方法
求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分
布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能 出现的结果．同时还能正确求出每一个结果出现的概率．
【变式1】 已知X的分布列为
X
P
－1
1 2
0
1 3
[规范解答] (1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 ，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4. E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， (4分)
题型三
均值与方差的综合应用
【例3】 A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2. 根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投 资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项 目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得 利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时， f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))

0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
1400 , E（X 2） 1400 解： E（X1）
D（X1） 40000 , D（X 2） 160000
因为 E( X1 ) E( X 2 ), D( X1 ) D( X 2 )， 所以两家单位的工资均值相 等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相 对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲 单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．
布、二项分布的方差的求法． 难点：离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系．
回 顾
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
E （X） xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
2、均值的性质
E (aX b) aE （X） b
3、特殊分布的均值
（X） p （1）若随机变量X服从两点分布，则 E （X） np （2）若 X ~ B(n, p) ，则 E
2.3.2离散型 随机变量的方差
【学习目标 】 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的
概念和计算．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实
际问题． 3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的 求法，会利用公式求它们的方差．
【重点难点 】 难点：离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算及两点分
课堂练习
1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不 中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7， 那么他罚球一次得分的方差是多少？
X P
X P
0 0.3
1 0.7
探究：若X服从两点分布：
0 1 1-p p