高中数学必修2圆与方程较难题(优选.)

高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程

一、选择题

1．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )

A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0

答案：C

解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y＝0＋33－2(x－3)即3x－y－9＝0，故选C.

2．圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝( )

A．2 B．－32

C．±32 D．不存在

答案：A

解析：由题意得直线kx－y＝4＝0经过圆心C(－12，3)，所以－k2－3＋4＝0，解得k＝2.故选A.

3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则( )

A．这些圆的圆心都在直线y＝x上

B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上

C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝－x上

D．这些圆的圆心不在同一条直线上

答案：A

解析：圆的方程可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，圆心为(－a，－a)，在直线y＝x上．

4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案：D

解析：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－32b)，

则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，其斜率k＝－1a>0，在y轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D.

5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面只为( )

A．52 B．102

C．152 D．202

答案：B

解析：圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝210.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－[1－02＋3－12]＝25.从而四边形ABCD的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝102.

2．2 圆与方程

2．2.1 圆的方程

第1课时 圆的标准方程

1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点)

2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)

3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 圆的定义及标准方程

阅读教材P107～P108例1，完成下列问题．

1．圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．

2．圆的标准方程

圆 特殊情况 一般情况

圆心 (0,0) (a，b)

半径 r(r>0) r(r>0)

标准方程 x2＋y2＝r2 (x－a)2＋(y－b)2＝r2

备注 确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径

1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________． 【★答案★】 (2，－3)，2

2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是________．

【★答案★】 x2＋y2＝4

3．以原点为圆心，且过点(2,2)的圆的标准方程为________________．

【解析】 由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22＝r2，即r2＝8.

故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.

【★答案★】 x2＋y2＝8

教材整理2 点与圆的位置关系

阅读教材P107～P108，完成下列问题．

设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：

位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内

d与r的大小关系 d＞r d＝r d＜r

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)

(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)

(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)

2．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________.

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珍贵文档 圆的一般方程

A组 基础巩固

1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )

A．(1，－1) B．(12，－1)

C．(－1,2) D．(－12，－1)

解析：将圆的方程化为标准方程，得(x＋12)2＋(y＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)．

答案：D

2．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )

A．(x－1)2＋y2＝4

B．(x－1)2＋y2＝2

C．y2＝2x

D．y2＝－2x

解析：由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为2，所以点P在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.

答案：B

3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )

A．x2＋y2－2x－3y＝0

B．x2＋y2＋2x－3y＝0

C．x2＋y2－2x＋3y＝0 专业文档

珍贵文档 D．x2＋y2＋2x＋3y＝0

解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A，B两点坐标代入四个选项，只有A完全符合，故选A.

解法二(待定系数法)：设方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则 F＝0，2D＋F＝－4，3E＋F＝－9，解得 D＝－2，E＝－3，F＝0，

故方程为x2＋y2－2x－3y＝0.

解法三(几何法)：

由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，

由弦AB所对的圆心角为90°，知线段AB为圆的直径，即所求的圆是以AB中点1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y－322＝1322，化为一般式得x2＋y2－2x－3y＝0.

答案：A

4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )

4.1 圆的方程

一、圆的标准方程

1．圆的标准方程

基本

要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径

标准

方程 圆心为(,)Cab，半径为r的圆的标准方程是222()()=xaybr

图示

说明 若点,()Mxy在圆C上，则点M的坐标适合方程222()()xaybr；反之，若点,()Mxy的坐标适合方程222()()xaybr，则点M在圆C上

2．圆的标准方程的推导

如图，设圆的圆心坐标为(,)Cab，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设()，Mxy为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合|PMMCr.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为22()()xaybr ①，①式两边平方，得222()()=xaybr.

3．点与圆的位置关系

圆C：222()(0())xaybrr，其圆心为,()Cab，半径为r，点00(,)Pxy，设2200||()()xadPCyb.

位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 ____dr

22200()()xaybr

点在圆上 ____dr

22200()()xaybr

点在圆内 ____dr

22200()()xaybr

二、圆的一般方程

1．圆的一般方程的定义

当2240DEF时，方程220xyDxEyF表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r.

2．圆的一般方程的推导

把以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程222()()xaybr展开，并整理得22222220xyaxbyabr.取2222,2,DaEbFabr，得：

220xyDxEyF ①.

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224DEDEFxy.