2.2.2 圆的一般方程课件(北师大必修2)

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2.2.2 圆的一般方程课件(北师大必修2)

可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时，方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.

2. 2.2 圆的一般方程课件(北师大版必修二)

方程 x2＋y2＋＋F＝0
条件
图形
D2＋E2－ Dx＋Ey 4F>0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示以为圆心， 1 D2＋E2－4F 以2 为半径的圆
1．圆的一般方程与标准方程可以互化
形式
转化对应关系
标准方程
一般方程
D＝－，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2
形式圆心半径
标准方程 (a，b) r
标准方程(x－
一般方程x2－b)2
＝r2(r>0)
＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0) E＝F＝0 D2－4F＝0 E2－4F＝0
圆心在y轴上
且过原点与x轴相切与y轴相切 a＝0且|b|＝r
|b|＝r |a|＝r
因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定理等可简化过程．
一般方程 D E (－ 2 ，－ 2 ) 1 2 r＝2 D ＋E2－4F
2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2 －4F>0的条件下才表示圆．
[例1]
判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝
0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨] 解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是
法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10.
∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10 ＝20－40＝－20<0. ∴此方程不能表示圆．
法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0. 配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆． (4)∵2x2＋2y2－4x＝0， ∴x2＋y2－2x＝0， ∴(x－1)2＋y2＝1. ∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．

「精品」高中数学第二章解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.2 圆的一般方程课件北师大版必修2-精品资料

所以点 N 的轨迹是以(1，0)为圆心，2 为半径的圆．
规范解答
圆的一般方程的应用
(本题满分12分)已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－ 1＝0. (1)若此方程表示圆，求实数a的取值范围； (2)求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程．
[解] (1)由条件知 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0. 2 分
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
所以圆心为(2，－3)．
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于y＝x对称，那么必有( A ) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：由题得该方程表示圆，且圆心在y＝x上，再结合一般方程的意义，可得D＝E.
第二章解析几何初步
2．2 圆的一般方程
1．问题导航 (1)当 m 为何值时，方程 x2＋y2＋mxy－2x＝0 表示圆？ (2)任何圆的方程都可以写成二元二次方程的形成吗？ (3)如何选择圆的方程形式？
2．例题导读 P80例4.通过本例学习，学会利用待定系数法求圆的一般方程的方法,解答本例时要注意，利用待定系数法求圆的方程时，如何选择圆的方程形式要视题目中所给条件而定．
综合应用
已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求
顶点C的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a，0)，B(a，0)，设 C(x，y)，BC 中点为 D(x0，y0)，则 x0＝x＋2 a，y0＝2y，① 因为|AD|＝m，所以(x0＋a)2＋y20＝m2.② 将①式代入②式整理得 (x＋3a)2＋y2＝4m2. 因为 C 不能在 x 轴上，所以 y≠0，故所求轨迹方程为(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0)．

2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)

）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d= |1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆，则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时，求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标，再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定系数法求（2）.

2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)

-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
5 ） 4
）
(B)(-∞,
5 ］ 4
(C)(
5 ,+∞) 4
(D)［
5 ,+∞) 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
一、选择题（每题4分，共16分）
Байду номын сангаас
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（

高中数学北师大版必修二《圆的一般方程》课件

是不是所有X2+Y2+Dx+Ey+F=0情势的方程都可以表示一个圆？？
x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得：
(x-D/2)2+(y-E/2)2=(D2+E2-4F)/4
（1）当D2+E2-4F>0，方程表示以（-D/2, -E/2）为圆心，以 r D2 E 2 4F 为半径的圆。
2
(2)当D2+E2-4F＝0，方程表示一个点（-D/2, -E/2）。
分析：我们可以利用配方法，解答这些类型的题，同样我们也可以利用圆的一般方程的判定式来解决。
(3) x2+y2+2ax-b2=0 D=2a, E=0, F=-b2, 所以，D2+E2-4F=4(a2+b2) a=b=0时，4(a2+b2)=0，表示点 a≠0或b≠0时， 4(a2+b2) >0，表示圆。
解得：D=-8,E=6,F=0; 所以圆的一般方程为：
x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(x+3)2=52
圆心为(4,-3)，半径为5
比较圆的一般方程求解这题和圆的标准方程求解这题。
可以看出：
(1) 求圆的方程有配方法和待定系数法； (2) 正确选择圆的方程求解问题。
例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为1／2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，不表示任何图形。
因此，形如二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0， D2+E2-4F>0时，方程叫做圆的一般方程。

北师大版高中数学必修二 2.2 圆的一般方程.ppt(共20张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
1
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2
(1)已知 x2+ 圆 y2+D+ xE+ yF=0的圆心
(-2,3),半径 4,则为 D=_4 _E_=-_6_F_=_-3__
(2)x2 +y2 -2ax-y+a=0表示 ,
1 则 a的取值_范 a_R_围 ,a_ _是
2
(3)圆 x2+y2+4x+2b+ yb2 =0与 x轴切 ,则 b=2_或-_ 2 _
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8

高中数学第2章 2.2 圆的一般方程优质课件北师大版必修2

答案:D=4,E=4.求经过6,三F=点-3(sān diǎn)A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程
待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
第十六页，共19页。
1.圆的一般方程的形式(xíngshì)及特点:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F (D2 E2 4F 0)
待定系数
D E F 2 0,
4D 2E F 20 0,
(xìshù)
解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0, 法
半径为 r 1 D2 E2 4F 5 2
圆心坐标为(4,-3).
第十三页，共19页。
【提升(tíshēng) 用待总定结系】数(xìshù)法求圆的方程的步
一般方程）
第十八页，共19页。
不是什么(shén me)人都可以交往的，慎交朋友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.
第十九页，共19页。
2
2
4
2.利用待定系数(xìshù)法求圆的方
程：
第十七页，共19页。
设方程为 (x - a)2 +(y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
列关于(guānyú)a，b，r（或D， E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准(biāozhǔn)方程（或
（ 2 ）当 D2 E2 4F 0 时，方程 ( ) 只有一个实数解
x

D,y
E ，所以方程 ( ) 表示一个点 ( D , E ) .

北师大版数学必修二：2.2.2圆的一般方程ppt课件

= -95
所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
1
2
3
4
5
解法 2:由 A(1,12),B(7,10),得
1
AB 的中点坐标为(4,11),k AB=- ,
3
那么AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.
3--1 = 0
=1
联立
,得
,

=
2
+ -3 = 0
探求三
易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得
- + 5 + + 26 = 0,
-2-2 + + 8 = 0,
5 + 5 + + 50 = 0,
= -4,
解得 = -2,
= -20.
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
方程
条件
图形
D2+E2-4F<0
不表示任何图形
2
2
D +E -4F=0
x2+y2+Dx+Ey
D
E
2
2
D
E
2
2
表示点 - ,表示以 - ,-
+F=0
2
2
D +E -4F>0
为
圆心,以
1
2
D2 + E 2 -4F为半
径的圆
做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,那么k的取值范围是

【数学】2.2.2 圆的一般方程课件(北师大必修2)

2 2
2
2
（1）当
D E 4F 0
2 2
时，表示圆，
D E 4F
2 2
E D 圆心 - , 2 2
r
2
（2）当（3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
E D - , 2 2
D E 4F 0
2 2
时，不表示任何图形
8
2
8E F 0
D 6, E 8， F 0.
所求圆的方程为：
2 y2 6x 8y 0 x
若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
设方程为
2 2 2
求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
( x a ) ( y b) r
2 2
(或x y Dx Ey F 0)
求半径（圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
.
.
（-1，0）
O
.
A(3,0)
x
[简单的思考与应用] (1)已知圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 (D)
( A ) 4 , 6 ,3
( B ) 4 , 6 ,3 ( C ) 4 , 6 , 3
( D ) 4, 6, 3

高一数学：2.2.2圆的一般方程课件(北师大必修2)

圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
x + y - 8x + 6 y = 0
2 2
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
x + y + Dx + Ey + F = 0 26 - D + 5 E + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
+ y + 2ax - b = 0
2 2
2
D = 2a , E = 0, F = - b

高中数学北师大版必修二2.2.2【教学课件】《圆的一般方程》

北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，
求它的外接圆的方程，并求其外心坐标。
解析：法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。
把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，
整理得 �� + �� + �� = �� 解之得 �� = ��
北京师范大学出版社 | 必修二
（2）圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
为圆的一般方程。
注意：圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有以下特征： ①x2项和y2项的系数相等，且不为零。 ②是二元二次方程且没有xy这样的二次项。 ③参数D、E、F满足D2＋E2－4F>0。
∴AB ∵BC
的边中的点垂为直(平－分1，线－的3方)，程斜为率�� −为��=��=(��−−−��+−��)
即x－7y＋10＝0。
�� = ��
∴BC 边的垂直平分线方程为y＋3＝－2(x＋1)，即2x＋y＋7＝0。
�� − �� + �� + �� = ��
�� = −��
�� + �� − �� − �� = ��

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1 5．已知一曲线为与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离比为 2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
解：在给定的坐标系里，设点M(x，y)是曲线上的 |OM| 1 任意一点，也就是点M(x，y)满足 |AM| ＝ 2 ，即 x2＋y2 x2＋y2 1 1 ＝， 2 2＝ . x－32＋y2 2 x－3 ＋y 4
整理得x2＋y2＋2x－3＝0， ∴所求曲线方程即为x2＋y2＋2x－3＝0. 将其左边配方，得(x＋1)2＋y2＝4，
∴此曲线是以点C(－1,0)为圆心，2为半径的圆．如图.
[例3]
如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置
时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水
面宽多少米？
[思路点拨]
3t＋9＝36. 9 3 3.
3 ∴t＝ 2 >－2 9 ∴t＝2 3.
圆的一般方程的求法，主要是待定系数法，需要确
定D、E、F的值．
对于一些特殊条件下圆的标准方程和圆的一般方程对比如下：
条件圆心在原点 a＝b＝0 D＝E＝0 标准方程(x－a)2＋(y 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey
－b)2＝r2(r>0)
① ② ③
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F
由|x1－x2|＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
有D2－4F＝36.
④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，
E＝－8，F＝0，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0 或x2＋y2－6x－8y＝0.
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，
F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．
[精解详析] Dx＋Ey＋F＝0.
法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋
把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，整理得 5E＋F＋25＝0， D－2E＋F＋5＝0， 3D＋4E－F－25＝0. D＝6，解之，得E＝－2， F＝－15.
则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
一般方程 D E (－ 2 ，－ 2 ) 1 2 r＝2 D ＋E2－4F
2．一个二元二次方程表示圆需要一定的条件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0 的条件下才表示圆．
[例1]
判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否
表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨] 解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成
[一点通]
在解决圆在实际生活中的应用问题时，
借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．
6．一辆卡车宽3米，要经过一个半径为5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的距离不得超过4米，试用数学知识进行验证．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝25(y>0)，当x＝3时，y＝4，即高度不得超过4米．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
[精解详析]
法一：由方程x2＋y2－4mx＋
2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝ 20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 1 半径为r＝2 D2＋E2－4F＝ 5|m－2|.
＋F＝0(D2＋E2－>0)
条件
标准方程(x－a)2＋ (y－b)2＝r2(r>0) a2+b2=r2 b＝0
一般方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0(D2 ＋E2－4F>0) F＝0 E＝0
过原点圆心在x轴上
圆心在y轴上
圆心在x轴上且过原点
a＝0
b＝0且|a|＝r
b＝0
E＝F＝0
标准方程(x－a)2 条件＋(y－b)2＝ r2(r>0) 圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切 a＝0且|b|＝r
第二章解析几何初步
§2 圆与圆的方程
2. 2
圆的一般方程
理解教材新知
把握热点考向
考点一考点二考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
－4＋2 1 kBC＝＝ . －3－1 2 ∴BC边的垂直平分线方程为y＋3＝－2(x＋1)，即2x＋y＋7＝0.
x－7y＋10＝0，由 2x＋y＋5＝0， x＝－3，解得 y＝1.
∴圆心为(－3,1)．半径r＝ 0＋32＋5－12＝5. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)．问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．
方程 x2＋y2＋ Dx＋Ey ＋F＝0
条件
图形
D2＋E2－4F>0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示以为圆心， 1 D2＋E2－4F 以2 为半径的圆
1．圆的一般方程与标准方程可以互化
形式
转化
标准方程
一般方程
对应关系
D＝－，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2
形式圆心半径
标准方程 (a，b) r
法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10.
∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10 ＝20－40＝－20<0. ∴此方程不能表示圆．
法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0. 配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆． (4)∵2x2＋2y2－4x＝0， ∴x2＋y2－2x＝0， ∴(x－1)2＋y2＝1. ∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 x ＋y ＋Dx ＋Ey＋F＝0
2 2
条件
图形不表示任何图形
D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F=0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示一个点
[一点通]
一般地，已知圆上的三个点的坐标或已
知圆上的两点的坐标以及其他条件求圆的方程时，一般采用圆的一般方程求解．
4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的
弦长等于6的圆的方程．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P、Q点的坐标分别代入，
2D－4E－F＝20，得 3D－E＋F＝－10.
7．已知x2＋y2＋( 3t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)若圆的直径为6，求t的值．
解：(1)∵方程表示一个圆，则有D2＋E2－4F>0， ∴( 3t＋1)2＋t2－4(t2－2)>0. ∴2 3t>－9， 3 3
即t>－ 2 .
(2)由条件知，圆的半径是3， 1 ∴3＝2 ∴2 3t＋12＋t2－4t2－2.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0.
解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，
x2的系数为2，y2的系数为1.
∵2≠1，∴不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0， ∵方程中含xy项， ∴此方程不能表示圆． (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.

2.2.2 圆的一般方程课件(北师大必修2)

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