《矩阵分析与应用》专题报告
QR分解及应用——
学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩 日月年20151125
目录 1 引言..............................................................
3
2 QR分解 ...........................................................
4
2.1QR分解的性质 ................................................ 4
2.2 QR分解算法 ................................................. 5
2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解...................... 5
2.2.2 Householder QR分解 ................................... 6
2.2.3 采用Givens旋转的QR分解.............................. 8
3 QR分解在参数估计中的应用 .........................................
9
QR 分解的参数估计问题 ................................ 93．1 基于
Householder 变换的快速时变参数估计 .................... 3. 2基于12
Givens 旋转的时变参数估计 ............................. 3. 3基于14
4 QR分解在通信系统中的应用 ........................................
16
4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法.............................. 16
CG算法的预处理技术：、
为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布
特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性
特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）
求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI)
产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。
什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。
如何取正定矩阵Mk为：
Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）
什么是Jacobi迭代法：
什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》
什么是SOR迭代法：
什么是收敛速度：
什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible
matrix）两个相对的概念。
定义1：对于 n 阶方阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。
勒让德多项式[编辑]
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伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。
数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：
为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:
上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。
勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：
目录 [隐藏]
1 正交性
2 部分实例
3 在物理学中的应用
4 其他性质
4.1 奇偶性
4.2 递推关系
5 移位勒让德多项式
6 分数阶勒让德多项式
7 参见
8 外部链接
9 参考文献
正交性[编辑]
勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤ x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：
其中 δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。 事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：
其中本征值 λ 对应于原方程中的 n(n+1)。
部分实例[编辑]
下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：
n
0
1 2
3
4
5
6
hermite biehler定理
Hermite-Biehler定理是一种关于复数多项式因式分解的定理，它在数学分析领域中起着重要的作用。该定理也常被称为亨利·埃尔米特与路德维希·彼勒的名字来命名，他们分别在1872年和1890年独立地发现并证明了这一定理。
Hermite-Biehler定理主要用于解决线性自回归(Hahn recursion)序列的逆问题，即给定一个复数多项式P(z)，如何找到一个复数多项式Q(z)，满足Q(z)的所有根都在单位圆内，并且P(z)与Q(z)的乘积的特定线性自回归序列的性质是已知的。
该定理可以被描述为以下形式：假设P(z)是一个复数多项式，且其所有根都在单位圆内，假设其首项系数为1，并且P(z)的次数为n，则存在一个次数为n的复数多项式Q(z)，其所有根也都在单位圆内，并且P(z)和Q(z)的乘积满足以下条件：
1. P(z)和Q(z)的所有根都是简单根（即没有重根）。
2. P(z)和Q(z)的所有根是互补根（conjugate roots），即P(z)的根的共轭也是Q(z)的根。 3. P(z)和Q(z)的系数具有特定的对称性。
Hermite-Biehler定理的一个重要应用是用于寻找全纯函数的特殊性质。在复分析中，全纯函数（holomorphic function）是指能够在某个开集上解析地表示的函数。通过使用Hermite-Biehler定理，可以得到一些关于全纯函数的性质，这在解决某些数学问题中非常有用。
证明Hermite-Biehler定理的一个重要步骤是利用所谓的Schur-Cohn判别法。这种方法通过计算多项式的导数序列的特定线性组合，可以确定所考虑的多项式的所有根都在单位圆内。然后，使用重根分解和共轭根分解，可以得到对应的Q(z)。最后，通过对P(z)和Q(z)的系数进行适当的对称性操作，可以证明所得到的Q(z)是满足Hermite-Biehler定理的。
