圆的基本性质
主讲人：永州三中蔡小娟
一、 知识梳理：
1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数
条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边
形的计算都应用到了这个特性。
b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要
抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有
关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的
把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
二、考点问题一：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等
例1：（2011.张家界）如图，在⊙Ｏ中，直径ＡＢ的两侧有定点Ｃ和动点Ｐ，点Ｐ在 弧ＡＢ上运动（不与A、B重合），过点C作ＣＰ的垂线，与ＰＢ的延长线交于点Ｑ.
（１）试猜想：△ＰＣＱ与△ＡＣＢ具有何种关系？（不要求证明）；
（２）当点Ｐ运动到什么位置时，△ABC≌△PCB ,并给出证明.
OBQACP 例2：(2010.永州)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为边BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
圆的基本性质
复习目标
1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。
2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。
3.会用垂径定理进行有关计算。
知识梳理
1.圆的有关概念
（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。
（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。
2.圆周角与圆心角
（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
3.圆的对称性
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。
（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。
易错知识点
1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。
2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。
4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。
课堂内容
考点1 圆的有关概念
1．下列说法：①弦是直径；②半径相等的圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
初中数学圆的基本性质与应用知识点
说起初中数学里的圆，那可真是让我又爱又恨。圆这玩意儿，看起来简单，其实里面的门道可多着呢！
先来说说圆的定义吧。圆就是在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。这定义听起来是不是有点抽象？别急，让我给您细细道来。
比如说，您拿根绳子，一头拴在一个固定的点上，另一头绑上一支笔，然后让笔绕着那个点转一圈，这画出来的图形就是个圆啦！想象一下，您就是那个拿着笔的小画家，随心所欲地画出一个个完美的圆。是不是有点意思？
圆有好多好多的性质，其中最重要的就是半径、直径和圆心。半径就是从圆心到圆上任意一点的距离，直径呢，就是通过圆心并且两端都在圆上的线段，而且直径是半径的两倍哟！这就好像一个圆是个大家庭，圆心是家长，半径和直径就是家里的成员，关系紧密得很呢！
还记得有一次上数学课，老师在黑板上画了一个大大的圆，然后问我们：“同学们，这个圆的半径是 5 厘米，那直径是多少呀？”大家都争着回答，我心里也默默算着，“直径是半径的两倍，那就是 10 厘米呗！”我自信地举起了手，老师点了我回答，我大声说：“老师，直径是 10 厘米！”老师笑着点了点头，那一刻，我心里别提多得意了。 再来说说圆的周长和面积。圆的周长就是绕圆一周的长度，可以用公式 C ＝ 2πr 或者 C ＝ πd 来计算，这里的π可是个神奇的数字，约等于 314。面积呢，就是圆所占平面的大小，公式是 S ＝ πr²。
有一回，我和小伙伴一起做数学作业，遇到了一道求圆面积的题。题目里说一个圆的半径是 3 厘米，让我们算出它的面积。我拿起笔，按照公式 S ＝ πr²开始算，314×3×3 ＝ 2826 平方厘米。小伙伴在旁边看着我算，眼睛一眨不眨的，等我算出答案，他一拍大腿：“哎呀，原来是这样算的，我刚才都算错啦！”
圆还有很多有趣的定理和性质，比如垂径定理。垂径定理说的是垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。这定理听起来有点复杂，其实也不难理解。
专题七 圆
第一讲 圆的基本性质
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考点动态
考点 时间 出处 题号 题型 分值 展示
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 2013 云南红河州 8 选择题 3
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 2013 云南昭通 5 解答题 3
圆的基本性质的综合应用 2011 云南曲靖 23 解答题 8
圆的基本性质的综合应用 2013 云南曲靖 23 选择题 10
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 2013 西双版纳 14 填空题 3
圆周角定理；垂径定理 2013 云南昭通 16 填空题 3
圆周角定理 2013 云南昭通 23 解答题 7
圆的基本性质的综合应用 2013 云南昭通 28 解答题 12
考点解读
考点 目标 解读
圆心角、弧、弦的关系 （1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系.（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念考查时一般以填空、选择的方式进行考查，关键是分清楚题目中已经告诉我们的条件，并进行适当的运用，特别是圆周角定理的运用，更要观察题目中存在的所有有可能要用到的角. 圆的基本性质的综合应用
圆周角定理
考点互动
考点一 圆的有关概念
【必记必背】
1..垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧
2.垂径定理的推论：
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧.
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
