圆的基本性质
一、圆的概念
1、集合形式的概念： （1）、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；
（2）、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
（3）、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
2、轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
PO OCBA
3、圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线
4、圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分
5、曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC︵、BAC︵，其中像弧BC︵这样小于半圆周的圆弧叫做 ，像弧BAC︵这样的大于半圆周的圆弧叫做 ．
6、弦：连接圆上任意两点的线段 经过圆心的弦叫做直径
7．圆心角的概念： ，图中， 都是圆心角．
8．同心圆的概念： ．
9．等圆的概念： ．
10．等弧．．的概念： ．
典型例题：
例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
例2．点P到⊙O上的最近距离为cm3，最远距离为cm5，则⊙O的半径为
cm．
例3．判断：
1 圆的基本性质
1．圆的有关概念
考试内容 考试
要求
圆的定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
b 定义2：圆是到定点的距离 定长的所有点组成的图形．
弦 连结圆上任意两点的 叫做弦．
直径 直径是经过圆心的 ，是圆内最 的弦．
弧 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.
a
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.
同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆．
2.圆的对称性
考试内容 考试
要求
圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 的直线．
c 圆是中心对称图形，对称中心为____________________.
圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
3.圆周角
考试内容 考试
要求
圆周角的定义 顶点在圆上，并且 都和圆相交的角叫做圆周角． b 2 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ．
c 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ．
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是
；90°的圆周角所对的弦是 ．
推论3 圆内接四边形的对角
．
4.点与圆的位置关系
考试内容 考试
要求
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
b 数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d) _________________ _________________ _____________
第六单元 圆
第21讲 圆的基本性质
一、
知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念 关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离. （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立. 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四 ：圆周角定理及其推论
1 第六单元 圆
第21讲 圆的基本性质
考点1 圆的有关概念
圆的定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.
定义2：圆是到定点的距离① 定长的所有点组成的图形.
弦 连接圆上任意两点的② 叫做弦.
直径 直径是经过圆心的③ ，是圆内最④ 的弦.
弧 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤ 之分，能够完全重合的弧叫做⑥ .
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.
同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆.
考点2 圆的对称性
圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦ 的直线.
圆是中心对称图形，对称中心为⑧ .
垂径定理 定理 垂直于弦的直径⑨ 弦，并且平分弦所对的两条⑩ .
推论 平分弦(不是直径)的直径⑪ 弦，并且⑫ 弦所对的两条弧.
圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量⑬ ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
考点3 圆周角
圆周角的定义 顶点在圆上，并且⑭ 都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮ .
推论1 同弧或等弧所对的圆周角⑯ .
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是○17 ；90°的圆周角所对的弦是○18 .
推论3 圆内接四边形的对角○19 .
【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.
1.注意在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.
