一个说题比赛的案例_陈芝飞

一个说题比赛的案例

●陈芝飞（温州市第十四高级中学浙江温州32500）

2014年12月18日，浙江省第2届高中数学说题比赛在宁波市鄞州中学落下帷幕，本次比赛分个人赛、接力赛，共6道精彩纷呈的题目．笔者有幸聆听，感慨良多，受益匪浅．说题的对象尽管是教师，但醉翁之意不在酒，说题的目的是为了学生，正所谓此时无“生”胜有“生”．笔者就其中个人赛的第2题谈谈如何“说题”．题目在非等腰直角△ABC中，已知∠C=90°，D是BC的一个三等分点．若cos∠BAD=槡255，求sin∠BAC的值．

1说解法解法1设BC=3a，AC=b，∠BAD=α，∠BAC=β，因为∠C=90°，所以α为锐角，又

cosα=槡255，可得tanα=12．由题意知D是BC的三

等分点，可得：1）如图1，若DC=a，则

tanβ=BCAC=3ab，tan（β－α）=DCAC=ab，即tanβ=3tan（β－α）=3tanβ－tanα1+tanαtanβ．

又tanα=12，解得tanβ=3或tanβ=1（舍去），于是

sinβ=槡31010．

2）若DC=2a，则易得2tanβ=3tan（β－α），又tanα=12，得

tan2β－tanβ+32=0，

从而Δ=1－4×32＜0，无解．

综上所述，sin∠BAC=槡31010．

图1图2

点评先通过伸缩变换化归为有关圆的问题，就是这样一道题：如图4，过点A（0，－2）的直线l与圆x2+y2=1相交于点P，Q，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．此时非常简单，由于

S△OPQ=12OP×OQ×sin∠POQ=12sin∠POQ，

故当∠POQ=90°时，

（S△OPQ）max=12．

设直线l：y=kx－2，则由∠POQ=90°得d=槡22r，解

得k槡=±7，再从圆变换为椭圆．根据上面的性质1

可得，变换后椭圆中的k'=±槡72，故直线l的方程为y=±槡72x－2．

6反思感悟利用伸缩变换将圆与椭圆进行互化，通过圆的问题产生椭圆的问题，将椭圆的问题化归为圆的问题来解决，这实际上正是关系映射反演方法的一个具体应用，其中的关系可用图5表示：

图5·32·第4期陈芝飞：一个说题比赛的案例解法2（解析法）如图2建立直角坐标系，D

是BC的三等分点．若DC=13BC，则kAB=3kAD，又

cos∠BAD=槡255，从而

tan∠BAD=12，

由到角公式知tan∠BAD=kAB－kAD1+kABkAD，解得kAD=1

或kAD=13，于是kAB=3或kAB=1（舍去）．

若DC=23BC，则2kAB=3kAD，又cos∠BAD=槡255，得tan∠BAD=12，由到角公式知

tan∠BAD=kAB－kAD1+kABkAD，

无解．

综上所述，sin∠BAC=槡31010．

解法3不妨假设BC=3a，AC=1，D是BC的三等分点．若DC=13BC，则

AD=a2槡+1，AB=9a2槡+1，BD=2a．在△ABD中，由余弦定理得AD2+AB2－2AD·AB·cos∠BAD=BD2，

解得a=1或a=13（舍去），从而

sin∠BAC=槡31010．

若DC=23BC，则

AD=4a2槡+1，AB=9a2槡+1，BD=a，由余弦定理得AD2+AB2－2AD·AB·cos∠BAD=BD2，无解．

综上所述，sin∠BAC=槡31010．

解法4（等面积法）不妨假设BC=3a，AC=1，

D是BC的三等分点．若DC=13BC，则

AD=a2槡+1，AB=9a2槡+1，BD=2a．

又cos∠BAD=槡255，则sin∠BAD=槡55．在△ABD

中，由等面积法得12AD·AB·sin∠BAD=12BD·AC，化简得9a4－10a2+1=0，

解得a=1或a=13（舍去），从而

sin∠BAC=槡31010．

若DC=23BC，则

AD=4a2槡+1，AB=9a2槡+1，BD=a，由等面积法得12AD·AB·sin∠BAD=12BD·AC，

化简无解．此外，本题还有向量法、正弦定理法、构造直角三角形法等．2说背景及本质

图3本题源于2013年浙江省数学高考理科试题第16题：如图3，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=13，则sin∠BAC=

．其本质是解三角形问题，即求三角形的3条边及3个角的问题．将中点改为一个三等分点后，情况变复杂了，sin∠BAC的值的个数也发生了变化．3说教学功能本题解法多样，是培养学生一题多解、训练和培养学生优秀思维品质的好题．既考查了学生数学思维的灵活性、发散性，也考查了学生数学思维的敏锐性与创新性．体现了浙江省客观题命制“起点低，入口宽，重通解，有内涵，能力立意，重视思想，讲究策略，小题不大做”的高考导向．既能帮助学生梳理关于解三角形问题的常用解法（如正弦、余弦定理法，向量法等），也能培养学生优化运算能力与渗透解方程思想（如解法3、解法4，先固定AC=1，化两元为一元，再分别用余弦定理、等面积法建立关于a的一元方程求解），既能培养学生的转化化归能力（如解法1），也能培养学生发散思维与优化解题策略（如解法2，联想到直线斜率与倾斜角，解析法建系用到角公式解题等）．4拓展与延伸变式1（一解到多解）在△ABC中，已知∠C=90°，D是BC的一个三等分点．若

cos∠BAD=槡31010，求tan∠BAC的值．

解设BC=3a，AC=b，∠BAD=α，∠BAC=·42·中学教研（数学）2015年β，因为∠C=90°，所以α为锐角，又cosα=槡31010，

从而tanα=13．由题意知D是BC的三等分点，可

得：1）若DC=a，则tanβ=BCAC=3ab，tan（β－α）=DCAC=ab，

从而tanβ=3tan（β－α）=3tanβ－tanα1+tanαtanβ．

又tanα=13，解得tanβ槡=3+6或tanβ槡=3－6．

2）若DC=2a，则2tanβ=3tan（β－α），

又tanα=13，得

2tan2β－3tanβ+3=0，从而Δ=9－4×2×3＜0，无解．综上所述，tan∠BAC槡=3+6或tan∠BAC=槡3－6．延伸cos∠BAD的值将影响tan∠BAC的解的个数，为方便交流，将tan∠BAD记为m，tan∠BAC记为n，其中m＞0，n＞0，变式1也就是探讨m对n的解的个数的影响，用解析法易得：

1）当BC=3DC时，m=2n3+n2≤槡33．若m＞槡33，

n无解；若m=槡33，n有唯一解；若0＜m＜槡33，n有2

个解．

2）当BC=3DB时，m=n3+2n2≤槡612．若m＞

槡612，n无解；若m=槡612，n有唯一解；若0＜m＜槡612，n

有2个解．

综合1），2）可得：当m＞槡33时，n无解；当m=

槡33时，n有唯一解；当槡612＜m＜槡33时，n有2个解；当m=槡612时，n有3个解；当0＜m＜槡612时，n有4个

解．变式2（定值到最值）在△ABC中，已知∠C=90°，D是边BC上的一个点（不含点B，C）．若CD=λBC，求tan∠BAD的最大值．解设∠BAD=α，∠BAC=β．由于∠C=90°，CD=λBC，D是边BC上的一个点（不含点B，C），得tanβ＞0，λ∈（0，1）．又由CD=λBC得tan（β－α）=λtanβ，

即tanβ－tanα1+tanβtanα=λtanβ，

化简得tanα=（1－λ）tanβ1+λtan2β，

从而tanα=（1－λ）tanβ1+λtan2β≤1－λ2槡λ，

当且仅当tanβ=1槡λ时取到等号．

综上所述，tan∠BAD的最大值为1－λ2槡λ．

延伸本题也可以逆向设问改为求值问题：在△ABC中，已知∠C=90°，D是边BC上的一个点（不含点B，C）．若CD=λBC，且tan∠BAD的最大

值为槡24，求λ的值．

（解略，答案为λ=12．）

关于说题的功能，笔者认为：一是能提高教师的解题素养；二是能提高教师的教学素养．这2者都是为了学生更好地学．因此，说题具有教学功能．反思学生不喜欢数学，其中一个重要原因是我们不能有效地帮助学生开窍，从而失去了数学对于学生的教育功能．通过说题，至少需要解决以下5个问题：1）解答严密吗？有没有重复和遗漏？2）这道题还有没有其他解法？3）你会变式吗，甚至把这道题目变得面目全非？4）你会用类比的方法把这道题的结论进行推广吗？5）这道题是怎么构造出来的，它的背景是什么？这些问题分别从纵向研究挖掘思维的深度、横向联系培养思维的宽度、延伸拓展成就思维的高度．触及数学本质的教学更能激发学生的学习兴趣，才能实现“减负提质”的有效教学．

参考文献

［1］葛建华．让“研题”成为数学教师的解题习惯［J］．中小学教学研究，2013（7）：55-57．［2］陆学政．数学教师更需培养研题意识与研题能力［J］．中学数学，2010（5）：6-8．［3］陈柏良．中学数学教学中开展说题活动的实践与思考［J］．数学教学通讯，2002（6）：20-22．·52·第4期陈芝飞：一个说题比赛的案例