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函数的凸性曲线的曲率

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第7章 函数的凸性·曲线的曲率 内容摘要 ①凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。 例如，曲线3xy(图1)在Oy轴左边是向下弯曲的(称为上凸)， 而在Oy轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。 从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦) AB的中点C在弧AB的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线

(弦)AB的中点C在弧AB的下方。

根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义： 称连续函数)(xf在区间),(ba内为下凸(上凸)函数，假若对于),(ba内任意两点

1x和2x，都有

121212()()()()22xxfxfxfxx







(※)

【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。 【注2】还请读者注意，通常说“函数()fx在区间(,)ab内是下(上)凸函数”，若对于(,)ab内任意两点1x和2x12()xx与任意(0,1)t，都满足琴生(Jesen)不等式 1212()(1)()(1)()ftxtxtfxtfx



它等价于不等式 11221122()()()ftxtxtfxtfx

（其中1t和2t为正数且121tt） 显然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式(※)与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式(※)定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。 【注3】若函数)(xf在区间),(ba内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处

图2 A B C

D x

y

O x1 (x1+x2 )/2 x2

y A B C

D

图3 O x1 (x1+x2)/2 x

图1

3xy

x

y

O 的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数)(xf(切线的斜率)是增大(减小)的。我们也可以证明这个结论 (见专题选讲)。

定理 设函数)(xf在区间),(ba内有导数。若导数)(xf在),(ba内是增大(减小)的，则函数)(xf在区间),(ba内是下凸(上凸)的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。

假若函数)(xf在区间(,)ab内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法。 判别法 设函数)(xf在区间),(ba内有二阶导数)(xf ⑴若()0()fxaxb，则)(xf在区间),(ba内是下凸函数[因为导数)(xf是增函数]； ⑵若()0()fxaxb，则)(xf在区间),(ba内是上凸函数[因为导数)(xf是减函数]。 ②拐点(变曲点) 函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图1中原点的两边)。这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点。请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线)的拐点之间的区别! 若点0(,)xab是函数()fx的拐点且有二阶导数0()fx，则00()fx 这是因为，例如函数)(xf在点0x的左边近旁下凸时，由于00()()()fxfxxx(见注3)，所以 0)()(lim)(0000xxxfxfxfxx (极限运算单调性)

且函数)(xf在点0x的右边上凸时，由于)()()(00xxxfxf，所以 0)()(lim)(0000xxxfxfxfxx (极限运算单调性)

因此0()0fx. 同理，若函数)(xf在点0x的左边上凸且在点0x的右边下凸时，也有0)(0xf. 但是要注意，仅有．．0)(0xf时．，点．0x不一定是函数．．．．．．)(xf的拐点．．．。例如函数

4()fxx，尽管有(0)0f，但0不是函数4()fxx

的拐点，

因为 2()120(||0)fxxx

即函数4()fxx在原点0的两边都是下凸的(图5)。

图4 ① 下凸 切线 ② 上凸

切线

图5 O x y 4yx 特别，假若函数()fx在区间00(,)xx内有二阶导数,且()fx在点0x的两边有相反的符号,则0x就是函数()fx的拐点。此时，当然有0)(0xf ③勾画函数图形的方法 在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。 ④函数图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线)。例如，函数xyarctan的图形 有两条渐近线2y(图6)。因为它们与Ox轴平 行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方 法很简单。若存在有穷极限 bxfx)(lim或bxfx)(lim

则曲线)(xfy就有水平渐近线by 函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数xytan的图形(图7)有两条垂直渐近线

2x.求垂直渐近线的方法也很简单。若函数)(xfy有无穷间断点a，即

)(limxfax(左极限) 或 )(limxfax(右极限)

则曲线)(xfy就有垂直渐近线ax.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。

函数图形还可能有斜渐近线bkxy)0(k。如图8，设曲线)(xfy上点(,)Pxy到直线bkxy的距离为d. 在直角三角形PAN中， ()()fxkxbPA222tanddsecd

x y 2

图6 O 2

图7 y x O 2

2

图8 A O θ d

N θ

P ykxb

()yfx

x

y 按定义，直线bkxy是曲线)(xfy的渐近线，当且仅当点P沿曲线)(xfy伸向无穷远时，有0d；而0d，当且仅当有常数k和b，使 lim()()0xfxkxb 或 lim[()]xfxkxb

于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数k和b： 第一步，先求斜率k 因为

xxfkxxxfk)()( 且 ()limlim0xxkxfxbxx



所以()limxfxkx； 第二步，再求截距b，即 lim()xbfxkx ⑤曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用） 曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图9，弧 AB的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏

差. 可是，弧CD的全曲率与弧AB的全曲率相同，但前者显 然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身 的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位 那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长 度为s的弧的全曲率同弧长s的比值/s，称为该弧的 平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限

sssKsddlimlim0ABA



定义为弧AB在点A处的曲率 (其中为弧AB的全曲率, s为弧AB的长度)。

对于半径为R的圆周来说 (图10)，由于Rs， 所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为

RssKs1ddlim0





(半径的倒数)

对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A处的曲率0AK时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切 (即有公切线)且

半径1/AARK. 这样的圆周就称为弧上点A处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A处的曲率中心。如图11中那个抛物线在原点O或点(1,)Aa的曲率圆。请读者注意，因为曲率有可．．．．．．

能是负数．．．．(在实际应用中，有时把绝对值AK称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正．．．．．．．．．．．．．．．



A



s

R

图10

O

B



B

A 图9

C s D

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参数方程下的曲率公式

参数方程下的曲率公式

参数方程下的曲率公式曲率的定义是物体的曲度，即当物体在特定的参数方程中，其表面自变量的变化程度。

曲率公式是求取曲率的重要工具，它可以帮助我们计算物体表面的曲度，也可以用于曲面的平面展开，以及几何学中的微分几何。

在几何学中，曲率是一个重要的度量，用它可以衡量曲面、曲线在不同空间上的弯曲程度。

它有助于研究曲面、曲线在空间中的特性和轨迹，也可以应用于其他科学研究中。

在参数方程下，可以计算出曲率的一个公式，即曲率公式。

曲率公式可以表示为：κ = R（1 + h^2）^( 3/2)其中，R是曲率半径，h是曲面中自变量的变化率。

曲率公式的求取基础是参数方程，参数方程是由物体表面的参数方程求取的，因此，了解参数方程是非常重要的。

参数方程有三类：抛物面参数方程、凸反平面参数方程和椭圆回形参数方程。

抛物面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2sin2θ + V2cos2θ其中，A，B，C是物体表面的常数参数，U，V是物体表面的自变量，θ是变量θ的参数值。

凸反平面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + V2cos2θ U2sin2θ它和抛物面参数方程的区别是负号的使用。

椭圆回形参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2cos2θ + V2sin2θ它与抛物面参数方程的区别在于自变量的变化率是相反的。

这三类参数方程可以用来求取曲率公式。

我们可以准备三类参数之后，将物体表面的自变量U、V和参数θ代入曲率公式，就可以计算出物体表面的曲率值了。

由于曲率公式可以用来测量物体表面的曲度，因此，在工程中有着广泛的应用。

例如，它可以应用于构件的强度评估，也可以用于测量地形和气象环境的精细变化；它可以用于太阳能电池板的制造，也可以用于油藏的勘察中。

二阶导数几何意义

二阶导数几何意义

二阶导数几何意义
二阶导数是对函数的曲率进行描述的数学工具。

在几何意义上，二阶导数表示了函数曲线的弯曲程度。

具体来说，二阶导数的正负号可以告诉我们曲线的凸性和凹性，而二阶导数的数值大小则可以告诉我们曲线的弯曲程度，即曲率的大小。

在二阶导数的几何意义中，还有一个重要的概念，即拐点。

拐点是指曲线从凸性转变为凹性，或从凹性转变为凸性的点。

在拐点处，二阶导数为零，这表示曲线的弯曲程度达到了最大值或最小值。

因此，拐点是曲线弯曲程度变化最为剧烈的地方，也是曲线形态变化的一个重要标志。

总之，二阶导数的几何意义与曲线的弯曲程度、凸凹性以及拐点等几何特征密切相关，对于理解曲线的形态和特性具有重要的作用。

- 1 -。

函数的凸性与拐点

函数的凸性与拐点


f ( x1 (1 ) x3 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x3 ),
所以 f 为 I 上的凸函数.
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 x2 x3 , 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) . (4) x2 x1 x3 x1 x3 x2
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定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价：
(i) f ( x ) 为 I 上的凸函数 ; (ii) f ( x ) 为 I 上的增函数 ;
(iii) 对于 I 上的任意两点 x1 , x2 , 有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ).
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将(6)式乘以， (7) 式乘以(1 )作和，并注意到
x1 (1 ) x2 x0 0, 故
f ( x0 ) f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ).
我们在这里再一次强调，
f ( x0 h ) f ( x 0 ) 令 F ( h) , 则 F ( h) 在 (0, b x0 ) h
上递增. 取 x (a, b), x x0 , 由引理又得
f ( x0 ) f ( x ) f ( x 0 h) f ( x 0 ) , h (0, b x0 ). x0 x h
y
B
函数 f 是凸函数的几何意
义是:曲线 y = f (x) 的弦位 于相应曲线段的上方;而它 的切线位于曲线的下方.
函数单调与凸性

函数单调与凸性

函数单调性，凸性及判定1 单调性判定2凸曲线与凸函数3曲线的渐近线1 函数单调性的判定1212():()().f x x x f x f x <≤单调非减若，则1212():()().f x x x f x f x <<单调增加若，则1212():()().f x x x f x f x <≥单调非增若，则1212():()().f x x x f x f x <>单调减少若，则单调非减单调非增单调增加单调减少命题1I ,f 设在区间处处存在导数1.()0,f x ′≥若()0,f x ′>若().f x 则单调非减().f x 则单调增加证明1.()0,f x ′≥若1212[,],,a b x x x x <则对于中任意满足的两点)()()()(1212x x f x f x f −⋅′=−ξ12(,),x x ξ∈存在使得12()0()().f f x f x ξ′≥≤于是由推出根据拉格朗日定理根据拉格朗日定理，，命题3(),f x 若单调非减或增加()0.f x ′≥则证明证明：：0()()()lim0.x f x x f x f x x+∆→+∆−′=≥∆(),f x 若单调非增或减少()0.f x ′≤则第二个结论可以同样证明第二个结论可以同样证明..只证第一个结论只证第一个结论...)(存在假设x f ′.)()(0x f x x f x ≥∆+>∆时有注意到当所以命题命题444.()0,f x ′≡若()(),f x g x ′′≡若().f x 则恒等于常数.反之亦然()().f x g x c =+则.反之亦然x y tan =π0 ,2x <<求证当时有不等式：.tan 3 3x x x <+例133x x y +=证明;tan x x <首先证明第一个不等式首先证明第一个不等式..()tan f x x x =−令.)2π0(01sec )(2<<>−=′x x x f π()[0,).2f x 于是在单调增加(0)0f =由于，π(0,)()0.2f x >所以在有tan .x x >即xy =3π()tan (0).32x f x x x x =−−≤<令.)2π0(0tan 1sec )(2222<<>−=−−=′x x x x x x f 3tan .3x x x +<再证明π()[0,).2f x 于是在单调增加(0)0f =由于，π(0,)()0.2f x >所以在有21tan .3x x x >+即函数的凸性与曲线的凸性,,,,a b c d 观察同一区间上的四条曲线abcd,,a b 所表示的函数都单调减少,c d 表示的函数都单调增加，;但它们的形态很不相同这给与我们一个提示这给与我们一个提示：：还需要考察函数在区间上的凸性还需要考察函数在区间上的凸性...但它们增加的规律差异很明显仅有单调性不足以精确地反映函数的变化规律仅有单调性不足以精确地反映函数的变化规律..函数下凸严格定义函数下凸严格定义：：.,)(b x a x f y ≤≤=12[,]x x a b ∈如果对于任意两点，，12121()[()()]22x x f f x f x +<+都有.],[)(为下凸函数在则称b a x f a b)(x f y =12()2x x f +121[()()]2f x f x +1x 2x 定理定理11.)(存在导数在区间假设I x f 下凸的充分必要条件是在则I x f )(.)(单调增加在I x f ′证明：只证充分性只证充分性，，略去必要性证明.().f x I ′假设在单调增加)(2121x x x x I <，任取两点在区间)(21210x x x +=))(()()(01101x x f x f x f −′+=ξ根据拉格朗日定理得到20220()()()()f x f x f x x ξ′=+−),(011x x ∈ξ201(,)x x ξ∈))(()()(01101x x f x f x f −′+=ξ20220()()()()f x f x f x x ξ′=+−),(011x x ∈ξ201(,)x x ξ∈12021211()()2()[()()]()2f x f x f x f f x x ξξ′′+=+−⋅−21()()()f x f f ξξ′′′>单调增加推出于是120()()2()f x f x f x +>从而120()()().2f x f x f x +>下凸函数的几何意义下凸函数的图像的特点下凸函数的图像的特点：：ab)(x f y =①弦在上弦在上，，弧在下弧在下..1x 2x 3x ②曲线在上曲线在上，，切线在下这两个结论的证明留给大家研究这两个结论的证明留给大家研究..定理定理22().f x I 假设在区间存在二阶导数()f x I 则在下凸的充分条件是()0.f x ′′>上凸函数定义上凸函数定义：：12121()[()()]22x x f f x f x +>+定理3：()f x 上凸的充要条件：().f x ′单调减少().f x ′若存在定理定理44().f x I 假设在区间存在二阶导数()f x I 则在上凸的充分条件是()0.f x ′′<上凸函数的几何特征上凸函数的几何特征：：2x 1x AB122x x +①弦在下弦在下，，弧在上弧在上..②弧在下弧在下，，切线在上切线在上..1x 2x 3x 4x )1(>=p x y p (1)q y x q =<xy ln =xy e =P >0 下凸下凸；；0<p <1 上凸上凸．．:p x 幂函数(1)x a a >指数函数下凸；(1)x a a >对数函数上凸.xyπ−π；上凸,)π)12(,π2(:sin +=n n x y sin :((21)π,2π),.y x n n =−下凸x yx 拐点的必要条件拐点的必要条件：：，的拐点是曲线假设)())(,(00x f y x f x P =，连续如果)(x f ′′0()0.f x ′′=则必有)2)(1(−−=x x x y )1(6−=′′x y (1)0y ′′=1,6(1)0,x y x ′′<=−<时上凸;1,6(1)0,.x y x ′′>=−>时下凸.)0,1(是拐点P 221e )(x x x f −=例研究单调性和凸性研究单调性和凸性..22112221()e e ()2x x f x x x −−′′=+⋅⋅−2211222()e e x x fx x−−′=−⋅2122e (1)x x −=−2122()[()][e (1)]x f x fx x −′′′′′==−2122e (3)x x x −=−2−4−24xyO221ex x y −=2122()e (1)x f x x −′=−研究单调性研究单调性...0)(:)1,(<′−−∞x f .)(单调减少x f (1,1):()0.f x ′−<().f x 单调增加(1):()0.f x ′+∞<，.)(单调减少x f 研究凸性研究凸性..(,3):()0.f x ′′−∞−<().f x 上凸(30):()0.f x ′′−>，().f x 下凸(0,3):()0.f x ′′<().f x 上凸2122()e(3)x f x x x −′′=−(3):()0.f x ′′+∞>，().f x 下凸拐点拐点：：)3,3(23−−−e A 32(3,3)B e−)0,0(O 2−4−24xyO221ex x y −=自我评估题2302224.limtan xx ex x x−→−+−31−2csc5.lim(cos )xx x →12−016.lim(csc )x x x→+0自我评估题11.,??1y y y x′′′===+sin 2.x y x=3.()ln (0)f x x x x =>?d ?)1(1==′=x y y ??y y ′′′==2)1(sin cos )1(x x x x y +−+=′32)1(sin )12(cos )1(2x xx x x x y +−+++=′′(0)1y ′=2)0(=′′y 研究单调性和凸性研究单调性和凸性．．O12−e xx x x 22ln )ln (−=′。