函数的单调性与凸性的判别方法

第四节 函数的单调 性和曲线的凸凹性
内容提要
1.函数单调性判别法，不等式的各种证明方法； 2.曲线的凸凹性。
教学要求
1.熟练掌握函数单调性判别法，熟练不等式的各 种证明方法； 2.熟练掌握函数极值的概念和必要条件，熟练掌 握极值存在的第一，第二充分条件和求法。
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
解 D : ( , ).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
解
函数定义域为 ( ,).
y
y 3 x2
2 1 f ( x ) 3 , 3 x
当x 0时, 导数不存在 . 用导数不存在 的点x 0划分定义域，
o
x
列表讨论如下：
x f ( x )
y f ( x)
( ,0)

0
不存在
( 0， )
二、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
例1
讨论函数y e x x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : ( ,).
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内,
y 0,
函数单调增加.
例2 讨论函数f ( x ) x 3 3 x的单调性.
解
2 f ( x ) 3x 3 函数的定义域为( ,)，

的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
2) 求拐点可疑点坐标
(0,1)
(
2 3
,
12 17 )
令
y
0
得
x1
0
,
x2
2 3
,
对应
y1
1,
y22
11 27
3) 列表判别
3
x (,0)
0
(0
,
2 3
)
2 3
(32 , )
y 0 0
y
凹
1
凸
11 27
凹
故该曲线在 (,0) 及 (32 , ) 上向上凹, 在(0, 32)上
第二章 一元函数微分学
思考与练习
1. 设在[0,1] 上 f (x) 0, 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
(A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0)
84 3
因为
1 3 1
84 3
1 84
3 3
1
2 3 1 2 3 1
所以三个拐点共线.
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第二章 一元函数微分学
作业：
149页：2（1）（3）、4（3）、5(2) 6（2）、9、10（2）
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第二章 一元函数微分学
练习题
1.试 证 : 方 程sin x x只 有 一 个 实 根. 2.设f ( x)在[a, )内 连 续,当x a时, f ( x) k 0,

x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ), 恒有 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )< , 2 2 那末称曲线 f ( x )在I内是下凸的; 如果对I内任意两点 x1 , x2 ( x1 ≠ x2 ), 恒有 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 那末称曲线 f ( x )在I内是上凸的;
练习题答案
单调增加, − 单调减少； 一、1、( −∞ ,−1], [3,+∞ ) 单调增加,[−1,3]单调减少； 增加, 2、增加, ( −∞ ,−1], [1,+∞ ) 3、( −∞ ,−1],[1,+∞ ) ；[−1,0), (0,1]; ( −∞ ,−1], (0,1]. 1 内单调减少, 二、1、在( −∞ ,0), (0, ], [1,+∞ ) 内单调减少, 2 1 上单调增加； 在[ ,1]上单调增加； 2 2 2、 内单调增加, 2、在( −∞ , a ], [a ,+∞ ) 内单调增加, 3 2 上单调减少； 在[ a , a ]上单调减少； 3
确定下列函数的单调区间： 二、 确定下列函数的单调区间：
10 1、 y = ； 3 2 4x − 9x + 6x 2 2 、 y = 3 ( 2 x − a )( a − x ) 3 、 y = x + sin 2 x .
( a > 0 )；
三、证明下列不等式： 证明下列不等式： 1、当 x > 0 时，1 + x ln( x + 1 + x 2 ) > 1 + x 2 ； 2、当 x > 4 时， 2 x > x 2 ； 1 3 3、若 x > 0 ，则sin x > x − x . 6 有几个实根. 四、方程 ln x = ax (a > 0) 有几个实根. 上连续， 五、设 f ( x ) 在[a, b ]上连续，在(a, b )内 f ′′( x ) ,试证 对于[ 明：对于[a, b ]上任意两 x1 ， x 2 有 x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) 提示：方法（ f( )< [提示：方法（1） 2 2 f ′′( x ) > 0 ， f ′( x ) 单增；方法（2） f ′′( x ) > 0 ， 单增；方法（ 利用泰勒公式] 利用泰勒公式]

例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!

曲线的弯曲方向——凸性;
函数凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点; 曲线凹凸与拐点的判别
思考与练习
1. 设在 [0 , 1] 上 f ( x ) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
证 在 [a , b] 上任取两点 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,
在 [ x1 , x2 ] 上应用拉格朗日中值定 , 得 理
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
( x1 x2 )
x2 x1 0, 若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加.
则称曲线 y f ( x) 在 I 内是上凸的 (或称凸弧) .
(等价的定义）:
设f ( x)在区间 I 内有定义, 若对任意两点 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 及对任一 (0,1) , 恒有 :
f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ),
的单调区间 .
yx
o
3
x
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x3 , 例如, y x 0 0, 但 x 0 时 , y 0 ,
在( , )上单调增加.
例5 讨论函数 f ( x ) x sin x 的单调性.
解
由此定理可证明方程 x sin x 0在R上只有 唯一的根 x 0.

二、曲线的凹凸性及判别法
考察右图中的曲线, 注意到 曲线是向下凸的, 即任取曲线 上两点, 那么连接这两点的弦 总位于这两点间的弧段的上方. 即设点 A x1 , f x1 与点
y
f x1 f x2 2
y f x
x x f 1 2 2
1 1 1 x x x2 x2 F x 1 x 0, 1 x 1 x 1 x
所以 F x 在 0, 上单调增加, 从而
2

F x F 0 0 x 0 . 1 2 由此即得 ln 1 x x x x 0 . 2
在定义域内
是上凸的.
f x ex
1
f x ln x
3
4
5
6
-2
-1
1
2
2 例8 设函数 f x 2 x 5 x , 求曲线的凹凸区间. 3
解
当 x 0 时,
10 x 1 10 2 x 1 x f x , f , 3 3x 9 x3 x 1 当 x 时 f x 0, 而当 x 0 时, 二阶导数不存 2
y 0 x 2k ,
所以, 函数 y 在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由 上面的定理知函数是单调增加的.
水平切线
Y 12 10 8 6 4 2
y x sin x
p p
3p
2
4
p
X
例3 讨论函数 y 解
e x 1 的单调性.
x
x 因 y e 1. 所以当 x ,0 , y 0,
x1 x2 f x0 f . 2

函数单调性，凸性及判定1 单调性判定2凸曲线与凸函数3曲线的渐近线1 函数单调性的判定1212():()().f x x x f x f x <≤单调非减若，则1212():()().f x x x f x f x <<单调增加若，则1212():()().f x x x f x f x <≥单调非增若，则1212():()().f x x x f x f x <>单调减少若，则单调非减单调非增单调增加单调减少命题1I ,f 设在区间处处存在导数1.()0,f x ′≥若()0,f x ′>若().f x 则单调非减().f x 则单调增加证明1.()0,f x ′≥若1212[,],,a b x x x x <则对于中任意满足的两点)()()()(1212x x f x f x f −⋅′=−ξ12(,),x x ξ∈存在使得12()0()().f f x f x ξ′≥≤于是由推出根据拉格朗日定理根据拉格朗日定理，，命题3(),f x 若单调非减或增加()0.f x ′≥则证明证明：：0()()()lim0.x f x x f x f x x+∆→+∆−′=≥∆(),f x 若单调非增或减少()0.f x ′≤则第二个结论可以同样证明第二个结论可以同样证明..只证第一个结论只证第一个结论...)(存在假设x f ′.)()(0x f x x f x ≥∆+>∆时有注意到当所以命题命题444.()0,f x ′≡若()(),f x g x ′′≡若().f x 则恒等于常数.反之亦然()().f x g x c =+则.反之亦然x y tan =π0 ,2x <<求证当时有不等式：.tan 3 3x x x <+例133x x y +=证明;tan x x <首先证明第一个不等式首先证明第一个不等式..()tan f x x x =−令.)2π0(01sec )(2<<>−=′x x x f π()[0,).2f x 于是在单调增加(0)0f =由于，π(0,)()0.2f x >所以在有tan .x x >即xy =3π()tan (0).32x f x x x x =−−≤<令.)2π0(0tan 1sec )(2222<<>−=−−=′x x x x x x f 3tan .3x x x +<再证明π()[0,).2f x 于是在单调增加(0)0f =由于，π(0,)()0.2f x >所以在有21tan .3x x x >+即函数的凸性与曲线的凸性,,,,a b c d 观察同一区间上的四条曲线abcd,,a b 所表示的函数都单调减少,c d 表示的函数都单调增加，;但它们的形态很不相同这给与我们一个提示这给与我们一个提示：：还需要考察函数在区间上的凸性还需要考察函数在区间上的凸性...但它们增加的规律差异很明显仅有单调性不足以精确地反映函数的变化规律仅有单调性不足以精确地反映函数的变化规律..函数下凸严格定义函数下凸严格定义：：.,)(b x a x f y ≤≤=12[,]x x a b ∈如果对于任意两点，，12121()[()()]22x x f f x f x +<+都有.],[)(为下凸函数在则称b a x f a b)(x f y =12()2x x f +121[()()]2f x f x +1x 2x 定理定理11.)(存在导数在区间假设I x f 下凸的充分必要条件是在则I x f )(.)(单调增加在I x f ′证明：只证充分性只证充分性，，略去必要性证明.().f x I ′假设在单调增加)(2121x x x x I <，任取两点在区间)(21210x x x +=))(()()(01101x x f x f x f −′+=ξ根据拉格朗日定理得到20220()()()()f x f x f x x ξ′=+−),(011x x ∈ξ201(,)x x ξ∈))(()()(01101x x f x f x f −′+=ξ20220()()()()f x f x f x x ξ′=+−),(011x x ∈ξ201(,)x x ξ∈12021211()()2()[()()]()2f x f x f x f f x x ξξ′′+=+−⋅−21()()()f x f f ξξ′′′>单调增加推出于是120()()2()f x f x f x +>从而120()()().2f x f x f x +>下凸函数的几何意义下凸函数的图像的特点下凸函数的图像的特点：：ab)(x f y =①弦在上弦在上，，弧在下弧在下..1x 2x 3x ②曲线在上曲线在上，，切线在下这两个结论的证明留给大家研究这两个结论的证明留给大家研究..定理定理22().f x I 假设在区间存在二阶导数()f x I 则在下凸的充分条件是()0.f x ′′>上凸函数定义上凸函数定义：：12121()[()()]22x x f f x f x +>+定理3：()f x 上凸的充要条件：().f x ′单调减少().f x ′若存在定理定理44().f x I 假设在区间存在二阶导数()f x I 则在上凸的充分条件是()0.f x ′′<上凸函数的几何特征上凸函数的几何特征：：2x 1x AB122x x +①弦在下弦在下，，弧在上弧在上..②弧在下弧在下，，切线在上切线在上..1x 2x 3x 4x )1(>=p x y p (1)q y x q =<xy ln =xy e =P >0 下凸下凸；；0<p <1 上凸上凸．．:p x 幂函数(1)x a a >指数函数下凸；(1)x a a >对数函数上凸.xyπ−π；上凸,)π)12(,π2(:sin +=n n x y sin :((21)π,2π),.y x n n =−下凸x yx 拐点的必要条件拐点的必要条件：：，的拐点是曲线假设)())(,(00x f y x f x P =，连续如果)(x f ′′0()0.f x ′′=则必有)2)(1(−−=x x x y )1(6−=′′x y (1)0y ′′=1,6(1)0,x y x ′′<=−<时上凸;1,6(1)0,.x y x ′′>=−>时下凸.)0,1(是拐点P 221e )(x x x f −=例研究单调性和凸性研究单调性和凸性..22112221()e e ()2x x f x x x −−′′=+⋅⋅−2211222()e e x x fx x−−′=−⋅2122e (1)x x −=−2122()[()][e (1)]x f x fx x −′′′′′==−2122e (3)x x x −=−2−4−24xyO221ex x y −=2122()e (1)x f x x −′=−研究单调性研究单调性...0)(:)1,(<′−−∞x f .)(单调减少x f (1,1):()0.f x ′−<().f x 单调增加(1):()0.f x ′+∞<，.)(单调减少x f 研究凸性研究凸性..(,3):()0.f x ′′−∞−<().f x 上凸(30):()0.f x ′′−>，().f x 下凸(0,3):()0.f x ′′<().f x 上凸2122()e(3)x f x x x −′′=−(3):()0.f x ′′+∞>，().f x 下凸拐点拐点：：)3,3(23−−−e A 32(3,3)B e−)0,0(O 2−4−24xyO221ex x y −=自我评估题2302224.limtan xx ex x x−→−+−31−2csc5.lim(cos )xx x →12−016.lim(csc )x x x→+0自我评估题11.,??1y y y x′′′===+sin 2.x y x=3.()ln (0)f x x x x =>?d ?)1(1==′=x y y ??y y ′′′==2)1(sin cos )1(x x x x y +−+=′32)1(sin )12(cos )1(2x xx x x x y +−+++=′′(0)1y ′=2)0(=′′y 研究单调性和凸性研究单调性和凸性．．O12−e xx x x 22ln )ln (−=′。

9
y=2x3−9x2+12x−3
函数的单调性与曲线的凹凸性
例
这个函数的定义域为(−∞, +∞). 解 这个函数的定义域为 −∞, +∞ .
y′ =
33 2 的单调区间. 确定函数 y = x − x 的单调区间. 2
1 − 1, 3 x
驻点 x=1, 不可导点 x=0 , x y′ ′ y (−∞, 0) −∞, － ↘ (0, 1) , ＋ ↗ (1, +∞ , +∞) － ↘
4
定理1(函数单调性的判定法 定理 函数单调性的判定法) 函数单调性的判定法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. 上连续, 内可导. 设函数 在 , 上连续 内可导 (1)如果在 , b)内f ′(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加; 如果在(a, 内 上单调增加; 如果在 , 在 , 上单调增加 (2)如果在 , b)内f ′(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少. 如果在(a, 内 上单调减少. 如果在 , 在 , 上单调减少 的单调性. 例 讨论函数 y=ex −x−1的单调性. = − 的单调性 的定义域为(−∞, . 解 函数y=ex−x−1的定义域为 −∞, ∞). 函数 = − 的定义域为 y′= x−1. ′=e . ′= 因为在(−∞, 内 ′ , 因为在 −∞, 0)内y′<0, 所以函数 y=ex−x−1在(−∞, 0] = − 在 −∞, 上单调减少; 上单调减少; 因为在(0, +∞)内 ′ , 因为在 , +∞ 内y′>0, 所以函数 y=ex−x−1在[0, +∞ = − 在 , +∞) 上单调增加. 上单调增加.

单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用，如果函数在某区间内单调递增或递减，则该函数的导 数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性，并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中，常需要求解函数在开区间 上的最值问题，以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上，函数可能没有最大值或最小 值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性，并考虑无穷远处的情 况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中，常需要研 究函数在无界区间上的最值问题，以深入理 解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时，利用函数的 单调性和凹凸性，可以判断系统的稳定性和 运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中，利用函数的单调性和 凹凸性，可以分析电路的工作状态和性能， 优化电路设计。

3
例5 讨论函数 f ( x ) x sin x 的单调性. 解 f ( x ) 1 cos x 0 ,
除了 x 2k ( k Z )外 , f ( x ) 0,
f ( x )在( ,)上单调增加；
由此定理可证明方程 x sin x 0在R上只有 唯一的根 x 0.
由此可证明： e e .
2 1 x 1 例 当 x 0 时, 试证 ln( x 1 x 2 ) . x 等价于证明: x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 1 ,
证
设 f ( x ) x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2 1 ,
性．
2、单调区间求法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调
的，则该区间称为函数的单调区间，这时也称
函数是该区间的单调函数. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区 间的分界点． 求函数的单调区间的方法:
用方程 f ( x ) 0 的根及 f ( x ) 不存在的点 来划分函数 f ( x ) 的定义区间 , 然后判断各区间 内导数的符号 , 从而确定函数 f ( x ) 在各部分区 间的单调性 .
o
x1
x2
x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义: 设f ( x )在区间 I 内有定义, 若对任意两点 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 及对任一 (0,1) , 恒有 :
f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ),
由可导函数取得极值的条件 ,有 f ( x0 ) 0.

判断函数单调性的常见方法函数的单调性是指函数在自变量的取值范围内是否呈现增加或减少的趋势。

判断函数单调性的常见方法包括函数的导数和函数的凹凸性等。

一、函数的导数判断单调性：当函数在其中一区间内可导时，可以通过判断函数的导数的符号来确定函数在该区间内的单调性。

1.若函数f'(x)>0，即导数大于0，则函数在该区间内是严格递增的。

2.若函数f'(x)<0，即导数小于0，则函数在该区间内是严格递减的。

3.若函数f'(x)=0，即导数等于0，则函数在该点可能有极值点。

4.若函数f'(x)>=0，即导数大于等于0，则函数在该区间内是递增的。

5.若函数f'(x)<=0，即导数小于等于0，则函数在该区间内是递减的。

需要注意的是，一个函数在一些区间上的单调性还需要满足函数在该区间上是连续的，即函数存在于该区间上。

二、函数的凹凸性判断单调性：函数的凹凸性也可以用来判断函数的单调性。

凹凸性表示函数的曲线是向上凸起还是向下凸起。

1.若函数f''(x)>0，即二阶导数大于0，则函数在该区间内是向上凸起的，且在该区间内是递增的。

2.若函数f''(x)<0，即二阶导数小于0，则函数在该区间内是向下凸起的，且在该区间内是递减的。

3.若函数f''(x)=0，即二阶导数等于0，则函数在该点可能存在拐点。

需要注意的是，函数的凹凸性需要函数存在二阶导数，因此这种方法只适用于可导的函数。

综合判断法：有时候，通过综合判断函数在不同区间上的单调性，可以更准确地判断函数的单调性。

这可以通过以下步骤进行：1.确定函数定义的区间，即函数存在的区间。

2.判断函数在每个区间上的导数的符号，根据导数和函数的关系来判断函数的单调性。

3.判断函数在每个区间上的凹凸性，根据凹凸性和函数的关系来判断函数的单调性。

4.将导数和凹凸性的结果综合起来，判断函数在整个定义区间上的单调性。

f ′ ( x ) = cos x 1 ≤ 0
5函数的凸性 函数的凸性 凸性 设 函 数 f ( x ) : [ a , b ] → R .
如 果 x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 不 等 式 f ( λ1 x1 + λ 2 x 2 ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ 2 f ( x 2 ) 对 于 满 足 λ1 + λ 2 = 1 的 任 意 非 负 实 数 λ1和 λ 2 都 成 立 , 则 称 f 在 [a , b ] 上 为 凸 函 数 .
[证] 必要性 证 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ]上为下凸函数
x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 且 x1 < x 2 , x : x1 < x < x 2
有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x 2 ) ≤ x x1 x x2
因为 f ( x )在 x1与 x 2 都可导 , 根据极限的保号 性, 有
4.4函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性
1 问题的提出
y
y = f (x)
A
B
y
A y = f (x) B
o
a
b
x
o a
f ′( x) ≤ 0
b x
在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调上升 上单调上升 在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调下降 上单调下降
f ′( x) ≥ 0 f ′( x) ≤ 0
这就是说 ,函数 f ( x )在区间 [a , b ] 上是 下凸的 .
定理2: 定理 :( 用二阶导数判定函数的凸性 )
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b )内 二阶可导 , 则 f 在 [ a , b ] 为下凸 ( 上凸 ) 函数 的充分必要条件是 : f ′′( x ) ≥ 0 ( f ′′( x ) ≤ 0 ).

2. 函数凹凸性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
y 0
判别法1 设 f ( x ) D( I ) , 且导函数 f ( x ) 在
I 内单调增加 (或单调减少) , 那么函数 f ( x ) 在 I 内是凸的 (凹的) .
f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x ) 在 I 内是凸的 (convex) ;
若对任意两点x1 , x2 I ( x1 x2 ), 及对 任一 (0,1) , 恒有 :
f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ),
3、利用单调性可以证明不等式
证明 f ( x ) g( x ) 或 f ( x ) g( x ) ( x (a , b)) 的步骤 : step1 构造辅助函数 F ( x ) f ( x ) g( x ),
step2 求 F ( x ) , 判断 F ( x ) 在 (a , b) 的单调性 , step3 求初始值 F (a ) ,写出结论 .
由此可证明： e e .
4、利用单调性可以证明根的唯一性
例8 证明方程 x 2 x 1 在 (0,1) 有且仅有一个实根 . 此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性 .
5、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要 应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立.

于弦的上方
x2
x
图形上任意弧段位
图形上任意弧段位
定义1 设函数 f ( x ) 在区间 I 内有定义，若对x1，x2 I，
x1 x2，对任一 (0,1)，总有： f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 则称函数 f ( x ) 在 I 内是凹的 (concave)；若有： f ((1 ) x1 x2 ) (1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 则称函数 f ( x ) 在 I 内是凸的 (convex)。
证明：只证 f ( x ) 0 的情况。
设 x1 , x2 (a , b)， 在 x1 处有带 Lagrange 余项的 Tayler 公式：
f ( ) f ( x ) f ( x1 ) f ( x1 )( x x1 ) ( x x1 )2 2!
其中 x (a , b)， 介于 x1 与 x2 之间.
Nove. 17 Mon.

Review
函数单调性判别法
设 f ( x ) C [a , b]，且 f ( x ) D(a , b )，则 1). f ( x )在[a , b]上升 f ( x ) 0； 2). f ( x )在[a , b]下降 f ( x ) 0。
例4. 证明
证: 令
时, 成立不等式
sin x 2 f ( x) , x
且
证 x cos x sin x cos x f ( x ) 2 ( x tan x ) 0 2 x x
x 1
tan x
因此
从而
* 证明 x tan x 0 令 则
( x ) 1 sec 2 x

(1).若在 (a,b) 内 f ( x) 0 , 则 f (x) 在[a, b] 上 单调 增长. (2).若在 (a,b) 内 f (x) 0 , 则 f (x) 在[a, b] 上 单调 降低.
证 (1). 设 x1 , x2 (a, b), ( x1 x2 ) , 应用拉格朗日中值定理
11
x3
2 5x 1
33
9
9
9 3 x4
令 y 0 得 x1 1/ 5, 当 x2 0 时, y不存在.
列表： x (,1/ 5 ) 1/ 5 (1/ 5,0) 0
(0, )
y
0
不存在
y
有拐点 无拐 点
综上，曲线在(,1/ 5 ) 为上凸旳
点
1 5,Biblioteka 6 53 25是拐点.
在 (-1/5, )上为下凸旳.
上凸旳。
问题：拟定函数在那些区间上图形上凸旳，那些区间上图 形是下凸旳，即求函数旳凸向区间。
8
例1.判断曲线 y x3 旳凸向
解 y 3x2 y 6x
x 0 时, y 0, 曲线 在 (, 0)内是上凸旳. x 0 时, y 0, 曲线 在 (0,)内时是下凸旳.
定义 曲线上上凸弧与下凸弧旳分界点,称为拐点.
如例1中,点(0,0) 是曲线 y x3 旳拐点.
y y x3
0
•
x
注意 1.若点 (x0, f (x0)) 是拐点,则 f ( x0 ) 0.或f ( x0 )不存在
2.由f ( x0 ) 0. 或不存在 所拟定旳点(x0, f (x0 )) 未必是拐点.
如 f ( x) x4 , f (0) 0, 但点 (0,0) 不是拐点.
2
例1. 鉴定函数 y x sin x 在 [0,2 ] 上旳单调性.

那末 f ( x ) 在 称 ( a , b ) 内的图 . 是 凹 (凸形 )的
22
y
yf( x )
y
yf( x )
O
x
O
x
定义2 曲线弧上每一点的切线 都在曲线的下(上) 方,称为凹 (凸)弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f ( x ) 的切线斜率是单增的,即 而 f ( x)是单增的,
凸弧的切线斜率是单减的,即 f ( x)是单减的. 利用二阶导数判断曲线的凹凸性
23
2. 凹凸性的判别法yBiblioteka yf( x )Ay
B
A
yf( x )
B
O a
bx
O a
bx
(x f )0 f(x )递增
(x f )0 f(x )递减
定理2 如 果 (a, b) 内具有 f(x ) 在 [ a ,b ] 上连 ,在 续 (x f )0( 0), 则f ( x) (a,b)内 ,若 二阶导数, 在
0 x 1 , f ( x ) 0 ,f( x ) C [ 0 , 1 ].
2 x x f(x ) 在 [0 , 1 ] 上 单 调. 增 加 f( x ) 1 e s ix n 2 当 0 x 1 时 , 有 f ( x ) f ( 0 ) 0. 2 x x 1 e s ix n 0 2 2 x x 即 e s ix n 1 2
19
b ln a a ln b
四、曲线凹凸性的判别法
(concave and convex)
前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于 了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯 y 曲方向。 B L1 如右图所示L1 ，L2 ，L3 L2 L3 虽然都是从A点单调上升到 B点，但它们的弯曲方向却 不一样。 A o x L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有 凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 20

函数的单调性与凹凸性的判断方法函数的单调性和凹凸性是数学中的重要概念，用于研究函数在定义域上的变化规律。

在这篇文章中，我将介绍函数单调性和凹凸性的判断方法。

1. 单调性的判断方法函数在定义域上的单调性可以分为增函数和减函数。

判断函数的单调性通常通过函数的导数进行分析。

（1）当函数在定义域上的导函数大于0时，函数为增函数。

若函数的导数小于0，则函数为减函数。

例如，如果一个函数的导数在定义域上恒大于0，那么可以判断该函数是严格递增的。

反之，如果导数恒小于0，则可以判断函数是严格递减的。

（2）对于一些特殊函数，可以通过函数的特点进行判断。

例如，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，如果$a>0$，则函数为开口向上的抛物线，为增函数。

如果$a<0$，则函数为开口向下的抛物线，为减函数。

2. 凹凸性的判断方法函数的凹凸性可分为凹函数和凸函数。

通过函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

（1）当函数在定义域上的二阶导数大于0时，函数为凹函数。

若函数的二阶导数小于0，则函数为凸函数。

例如，如果一个函数的二阶导数在定义域上恒大于0，那么可以判断该函数是严格凹的。

反之，如果二阶导数恒小于0，则可以判断函数是严格凸的。

（2）对于一些特殊函数，可以通过函数的特点进行判断。

例如，对于指数函数$y=a^x$，其中$a$为正数，可以判断当$a>1$时，函数为凸函数；当$0<a<1$时，函数为凹函数。

综上所述，判断函数的单调性和凹凸性通常通过函数的导数和二阶导数进行分析。

这些方法在数学研究、经济学、物理学等领域中具有广泛的应用。

正确判断函数的单调性和凹凸性有助于我们深入理解函数的性质及其在实际问题中的应用。