保持函数凸性的几种变换

有关函数的凸性问题柴全水（新绛中学 山西 043100）在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数）一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜）恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。

函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ）有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。

若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。

例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0<x 1 <x 2 <1时，使f ( ) > 恒成立的函数个数是（ ） A 、0 B 、1C 、2D 、3解析：B 做四个函数图象，观察在（0，1）上的凹凸性，最后发现只有y=log 2x 函数满足条件，故选B 。

例2：如图，f i (x) (i = 1, 2, 3, 4 ) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的 x 1和x 2，任意λ∈（0，1），f [λx 1 + (1—λ) x 2]< λf (x 1) + (1—λ)f (x 2 ) 恒成立”的只有（ ）A 、f 1(x)B 、f 2 (x)C 、 f 3 (x)D 、f 4 (x)x ＋λx1＋λ1 2 f (x )＋λf (x )1＋λ1 2 ① ② ③ ④x +x 2f (x )+f (x )21 2 12解析：A 。

凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。

本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。

一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。

简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。

如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。

（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。

（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。

这个性质在优化问题中非常有用。

3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。

此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。

二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。

也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。

如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。

（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。

（3）凸集的闭包也是凸集。

（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。

3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。

凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。

函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。

通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。

图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。

设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。

若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。

函数的凸性与拐点解读第一篇：函数的凸性与拐点解读九江学院理学院《数学分析》教案§ 5 函数的凸性与拐点一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对∀x1,x2∈I 和λ∈(0,1)恒有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线 y=f(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线y=f(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1≠x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1<x2<x3 , 总有f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x2)≤x2-x1x3-x2定理6.13 设函数f(x)在区间I 上可导, 则下面条件等价:(i)为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)2．利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内⑴ f''(x)<0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f''(x)>0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对∀x1,x2∈(a,b), 设x0=x1+x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院《数学分析》教案x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有f(x1)=f(x0)+f'(x0)(x1-x0)+f''(ξ1)(x1-x0)2, 2f''(ξ2)(x2-x0)2.2f(x2)=f(x0)+f'(x0)(x2-x0)+其中ξ1 和ξ2在x1 与x2 之间.注意到x1-x0=-(x2-x0), 就有f(x1)+f(x2)=2f(x0)+1f''(ξ1)(x1-x0)2+f''(ξ2)(x2-x0)2, 2[]于是, 若有f''(x)<0, ⇒上式中[Λ]<0, ⇒ f(x1)+f(x2)<2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f''(x)>0, ⇒上式中[Λ]>0, ⇒f(x1)+f(x2)>2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f''(x)>0, 则有f'(x)↗↗.不妨设 x1<x2, 并设 x0=x1+x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有∃ξ1∈(x1,x0), ∍f(x0)-f(x1)=f'(ξ1)(x0-x1), ∃ξ2∈(x0,x2), ∍f(x2)-f(x0)=f'(ξ2)(x2-x0).有x1<ξ1<x0<ξ2<x2, ⇒f'(ξ1)<f'(ξ2), 又由x0-x1=x2-x0>0，⇒f'(ξ1)(x0-x1)⎛x1+x2⎫⎪，f(x)严格下凸.⎝2⎭九江学院理学院《数学分析》教案3．凸区间的分离: f''(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)=xe-x的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为(-∞, +∞)，f'(x)=e-x(1-2x2), f''(x)=2x(2x2-3)e-x.令f''(x)=0, 解得x1=-2223 , x2=0 , x3=23.2在区间(-∞ , -3333),(- , 0),(0 ,),(, +∞)内f''的符号依次为 222233⎛⎛333-2⎫32⎫⎪⎪- , + , - , +，⇒Λ.拐点为: -2 , -2e⎪ ,(0 , 0), 2 , 2e⎪.⎝⎭⎝⎭倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi∈[a,b], λi>0,i=1,Λ,∑λi=1, 有Jensen 不等式: i=1nf(∑λixi)≤∑λif(xi)，i=1i=1nn且等号当且仅当x1=x2=Λ=xn 时成立.1n证令x0=∑xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk=1前述定理的证明，注意∑(xk=1nk-x0)=0, 即得所证.九江学院理学院《数学分析》教案例2 证明: 对∀x,y∈R, 有不等式 ex+y2≤1x(e+ey).2例3 证明均值不等式: 对∀a1,a2,Λ,an∈R+, 有均值不等式a+a2+Λ+an≤na1a2Λan ≤1.111n++Λ+a1a2ann证先证不等式na1a2Λan ≤ a1+a2+Λ+an.n 取f(x)=lnx.f(x)在(0 , +∞)内严格上凸, 由Jensen不等式, 有1n1n⎛1n⎫⎛1n⎫lnn∏xk=∑lnxk=∑f(xk)≤f ∑xk⎪=ln ∑xk⎪.nk=1nk=1 k=1⎝nk=1⎭⎝nk=1⎭由f(x)↗↗ ⇒ na1a2Λan ≤ na1+a2+Λ+an.n对111，Λ,∈R+用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对∀x1,x2,Λ,xn∈R, 有不等式22x1+x2+Λ+xnx12+x2+Λ+xn ≤.(平方根平均值)nn222例5 设x+y+z=6，证明x+y+z≥12.2解取f(x)=x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinA+sinB+sinC≤33.2解考虑函数f(x)=sinx, 0≤x≤π.f''=-sinx< 0 , 0<x π.⇒ sinx在区间(0 , π)内凹, 由Jensen不等式, 有九江学院理学院《数学分析》教案sinA+sinB+sinCf(A)+f(B)+f(C)π3⎛A+B+C⎫.∴=≤f ⎪=sin=33332⎝⎭⇒sinA+sinB+sinC≤33.2例7 已知a,b,c∈R+, a+b+c=1.求证 33a+7+33b+7+33c+7≤6.解考虑函数f(x)=3x, f(x)在(0 , +∞)内严格上凸.由Jensen不等式, 有3a+7+33b+7+33c+7f(3a+7)+f(3b+7)+f(3c+7)=≤≤f 3⎛3a+7+3b+7+3c+7⎫⎪=f(a+b+c+7)=f(8)=38=2.⇒3⎝⎭ 33a+7+33b+7+33c+7≤6.例8 已知α>0 , β>0 , α3+β3≤2.求证α+β≤2.(解函数f(x)=x在(0 , +∞)内严格下凸.由Jensen不等式, 有33332(α+β)3⎛α+β⎫⎛α+β⎫f(α)+f(β)α+β≤=1, ⇒==f≤=⎪⎪2282⎝2⎭⎝2⎭(α+β)3≤8 , ⇒α+β≤2.)第二篇：二阶导数与函数凹凸性证明证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

凸函数简介凸函数简介凸函数凸函数是⼀个定义在某个向量空间的凸⼦集C（区间）上的实值函数f，⽽且对于凸⼦集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。

于是容易得出对于任意(0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2)≤pf(x1)+(1-p)f(x2)。

如果f连续，那么p可以改成任意(0,1)中实数。

若这⾥凸集C即某个区间I,那么就是：设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则f称为Ｉ上的凸函数。

判定⽅法可利⽤定义法、已知结论法以及函数的⼆阶导数对于实数集上的凸函数，⼀般的判别⽅法是求它的⼆阶导数，如果其⼆阶导数在区间上恒⼤于等于0，就称为凸函数。

（向下凸）如果其⼆阶导数在区间上恒⼤于0，就称为严格凸函数。

性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。

如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

⼀元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。

⼀元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上⽅：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y x)。

特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最⼩值。

⼀元⼆阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的⼆阶导数是⾮负的；这可以⽤来判断某个函数是不是凸函数。

如果它的⼆阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成⽴。

例如，f(x) = x4的⼆阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。

更⼀般地，多元⼆次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的⿊塞矩阵在凸集的内部是正定的。

凸函数的任何极⼩值也是最⼩值。

严格凸函数最多有⼀个最⼩值。

对于凸函数f，⽔平⼦集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。

经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。

一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。

凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。

凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。

若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。