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第十一章 无穷级数

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第十一章 无穷级数
第三讲 常数项级数习题课
教学目的 使学生灵活掌握各种正项级数的审敛法和交错级数的莱布尼兹审敛法，解决关于
数项级数收敛性判别的具体问题．
教学重点 1．一般项趋于零是级数收敛的必要条件，否则级数发散．
2．掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式，并能选择合适的参照级数（如P-
级数）．
3．掌握正项级数的比值审敛法和根值审敛法，并能根据题型，合理选择两方法
之一．
4．掌握交错级数的莱布尼兹审敛法．
5．熟悉绝对收敛与条件收敛的概念．
教学时数 2学时
教学过程

一、知识要求回顾
1.数项级数收敛的基本性质和必要条件.
2.几何级数和级数的收敛与发散的条件.
3.正项级数的比较审敛法及极限形式.
4.正项级数的比值审敛法和根值审敛法.
5.交错级数的莱布尼兹审敛法.

二、练习

1. 根据定义，判别级数的敛散性．

分析 由于级数的一般项==．根据定义，我们
只需判别部分和=是否有极限即可．
解 部分和 ==
=
=
故,根据级数的收敛定义知此级数收敛．

2. 判别级数的敛散性
分析 首先判别级数的一般项是否趋于零．由级数收敛的必要条件知当不趋于零

时，级数发散．若有，则再用其它的审敛法判断级数是否收敛．

解 由于=
根据上述分析，由级数收敛的必要条件知级数发散．
小结 判别是否趋于零，是首先要采用的措施，是判别级数发散性的简单而实用的方
法．

3. 判别级数的敛散性．
分析 一般项=显然趋于零，又知分子sin(n+1)当n时无极限，但
有0，故可用比较审敛法，选择合适的参照级数做比较．
解 由于，而由P-级数的结论知级数收敛．根据正项级数的比
较审敛法知级数收敛．
4. 判别级数的敛散性
分析 显然有，考虑到该级数的一般项为n的有理分式函数，
分子的次数为1．分母的次数为3．故取P-级数作为参考级数，取P=3-1=2,即采用为
参考级数．

解 取级数作为参考级数，由于，且P-级数 收
敛．根据比较判别法的极限形式知级数级数同样收敛．
小结 采用比较判别法（或极限形式）时，应对正项级数的一般项进行分析，作适当
的放大或缩小，或者确定的等价无穷小或同阶无穷小的具体形式，通常选择P-级数或几
何级数做参照比较．这就需要我们能熟练掌握一些无穷小的等价关系．

(1) 对于通项为n的有理分式函数，可取P-级数做参照级数，其中P=分母的次数减
去分子的次数．
(2) 记住下列等价关系，能帮助我们比较容易的找到参照级数．
当 时，有

～, ～, ～, , ～, ～

等等
例如 利用上述等价关系，我们很容易地知道：

(1) 正项级数 收敛，
(2) 正项级数 收敛，
(3) 正项级数 发散．
其它类似的问题也可根据等价关系得出相应结论．
5. 判别级数的敛散性．
分析 此级数的中含有因式乘积和阶乘项，故首先应考虑采用比值审敛法．

解
=
根据比值审敛法知此级数收敛．

6. 判别级数的敛散性，
分析 由于此级数一般项为的幂指函数形式，用比值审敛法会比较麻
烦，故考虑采用根值审敛法．

解
根据根值审敛法知此级数收敛．

小结 通过例5，例6说明，对于正项级数，若一般项中含有项，则首先
应采用比值审敛法，若为的幂指函数形式时，则应采用根值审敛法．

7. 判别级数的敛散性．
分析 由于，而调和级数发散，故由比较审敛法知级数发
散，所以下一步需用莱布尼兹审敛法，来确定所给的交错级数是否满足条件收
敛的两个条件．

解 显然有，下面只需验证级数是否满足即可．
由于故有，即有，根据交错级数的莱布尼
兹审敛法，知此级数收敛．且由于非绝对收敛，故此级数为条件收敛．
小结 (1) 判别任意项级数条件收敛，必须证明两个方面的问题；
1) 1) 取绝对值后的正项级数发散（非绝对收敛）
2）任意级数本身收敛．
(2) 当交错级数非绝对收敛时，通常我们用莱布尼兹审敛法来判别其条件收敛．
8. 判别下列级数的敛散性．

1）， 2）
分析 本题两个级数都是交错级数（或任意项级数），故首先应确定一般项取绝对值

后所得正项级数是否收敛或发散．

解

由比值判别法知，级数收敛，故原级数绝对收敛．
设则有
由比值判别法知，故发散，并且知，因而，
所以原级数也发散．

小结 如果用比值审敛法或根值审敛法可以判别的收敛或发散，则立刻得知任意
项级数的敛散性，故也是判别任意项级数敛散性的方法之一．
作业 习题11-2(206页) 4(4，5)，5(1，2，3，5)．

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常数项级数的概念和性质

常数项级数的概念和性质


n uk 1 uk 2 uk n sk n sk
当 n 时， 部分和序列 n 与 sk n 必同时收敛， 或同时发散，即级数①和级数②有相同的敛散性。
同理可证，在级数前添 加有限项，不改变级数 的 敛散性。
#
性质 3 在收敛级数的相邻项间 任意加括号后 （不改变项的原来顺序 ）所得新级数仍然 收敛，且两个级数收敛 于同一个和。
k 1 k 1 k 1
n
n
n
故 lim l n lim As n lim B n
n n n
A s B ( Aun Bv n )
n 1

#
想一想： 1 若对
o
u
n 1

n
加括号后所得新级数发 散，

那么级数 un 是否可能收敛？
2 若对
o
u
n 1

n 1
n
加括号后所得新级数收 敛，

那么级数 un 是否一定收敛？
n 1
三、级数收敛的必要条件
定理： 若 un 收敛，则必有 lim un 0
n 1


n

1 （2 ）调和级数 发散 . n １n
返回

证：
设 sn uk ， n vk ，
k 1 k 1
n
n
据题示条件可知 l i msn s ， l i m n 均存在
n n
令 l n ( Ask B k ) A uk B vk Asn B n
n n n
n
当 q 1 时，limq ，此时 limsn 不存在，级数发散；
12-1(A)无穷级数-常数项级数的审敛法

12-1(A)无穷级数-常数项级数的审敛法


四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证 设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
。
解an
6
cos
n
6
6
6
0 , 原 式 发 散 。
16/26
*例 7 试把循环小数2.317 2.3171717表示
成分数的形式.
解 2.317
2.3 0.017 0.00017 0.0000017
2.3
17 103
17 105
17 107
2.3
17 103
n0
1 100
n
2.3
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见， 要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
Sn
19/26
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
十无穷数常数项数的概念与性质

十无穷数常数项数的概念与性质

第十一章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质教学目标：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件. 课时安排：2课时重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件； 2、 掌握收敛级数的性质； 难点：级数概念及其敛散性 教学法：讲授法一、问题的引出：1、用正多边形的面积逼近园的面积；①.S ≈6A ②.S ≈＋612A A S ≈＋61224....A A A ++S ≈⨯1621limi nn i A -=å二、常数项无穷级数定义1、定义: 设1u ，2u ，. . . 是常数列, 算式简称为级数 。

记为1nN u∞=∑，称为一般项或通项。

2、部分和与部分数列. ①部分和：前几项的和②部分和数列：()③1n n n u s s -=-④n n n n 1u lim S ¥==å3、敛散定义（充要条件）①设1nN u∞=∑若lim n n S →∞∃，称1n N u ∞=∑收敛，否则称发散。

（判别敛散的方法）。

②若收敛，如何求和。

（收敛，求和的方法）（求数列的极限） 1lim n n n n S S u ¥==å@4、例子.n n n 1n1u n S n 1¥=+å=例 . 设前项部分的和为问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛） ②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ） ③.写出（求出）该级数.()()n 1n n n 1n n 1n 1n 11S u S S nn n+11u n n 1--ゥ==-=\=-=\=+邋例 2. 判别 ()n 11n n 1¥=+å 是否收敛，若收敛，求和。

(用定义)。

()n1111 S ...1223n n 1=+++创+解：）. ()()()111111...223n n 1=-+-++-+ 1n=1n 1n 1-=++2）.. 收敛。

111常数项级数的概念和性质

111常数项级数的概念和性质


二、收敛级数的基本性质


性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.


性质 2 设两收敛级数s un , vn ,
n1
n1

则级数 (un vn )收敛,其和为 s .
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
n1
都是正项级数, 且存在自然数N,

使当 n
N
时有 u n

kv (k n

0)
成立,若级数 vn n1
收敛，
则级数

un
n1

收敛；若级数 un n1
发散，则级数


vn
n1
也发散。
例 1 讨论 P-级数
1
1 2p

1 3p

1 4p

1 np
的收敛性.(
234
n1
2.必要条件不充分.
例如调和级数 1 1 1 1
23
n
有
lim
n
un
0,
但级数是否收敛?
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 )
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16



(
1 2m
1 1 1 1 发散
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.
性质5（级数收敛的必要条件）

如果级数
un 收敛，则它的一般项趋于零，即
n 1