下载文档原格式
第十一章 无穷级数(一)1．解：∵()∑=∞→-+=+-+=nk n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数发散。
2．解：∵()∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=nk n k n n k k k k S 1141221212122121212221，(∞→n )，∴原级数收敛且和为41。
3．解：∵4121511511513113113151315131111+→-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑===n n nk k n k n k k k k n S43=，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。
4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n nn n ，∴由比值判别法知原级数发散。
5．解：∵()1111lim 1lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U en e n n en nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
6．解：∵02121limlim ≠=+=∞→∞→n n U n n n ，∴原级数发散。
7．解：∵()()2332lim 1lim=++=∞→∞→n n n n nU n n n ，而∑∞=11n n发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵()()0111lim !!11lim lim 4441=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n U U n n nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵13113lim 13lim lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→n n n n U n n nn n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵≤，而2121l i m 21l i m =-=+∞→∞→nn n n n n ，故121l i m <=∞→n n n U ，∴由根值判别法知，原级数收敛。
第十一章无穷级数教学内容目录：§1—§8本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数,P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。
幂级数：幂级数概念,阿贝尔(Abel)定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算,和的连续性、逐项积分与逐项微分。
泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、e x cossin ln（1+x）、（1+x）m等）的幂级数展开式,幂级数在近似计算中的应用举例，“欧、x、x拉（Euler）公式。
函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数.教学目的与要求：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3、掌握正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。
4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。
5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。
8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10、掌握应用e x，sinx，cox,en(1+x）和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。
11、了解函数展开为傅里叶（Fourier)级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π，π)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(—π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。
本章重点与难点：重点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数难点：应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、本章计划学时：16学时(2节习题课）教学手段：课堂讲授、习题课、讨论,同时结合多媒体教学推荐阅读文献：1。
第十一章 级 数§1 常数项级数1. 根据定义判断级数的敛散性，若级数收敛，求出级数的和. （1）1n ∞=∑解：11nn k S ===∑，故lim 1]n n n S →∞→∞==∞故级数发散。
（2）11(21)(21)n n n ∞=-+∑ 解：111111111111()()(1)(21)(21)2212122121221nnn n k k k S k k k k k k n =====-=-=--+-+-++∑∑∑，故111lim lim(1)2212n n n S n →∞→∞=-=+，故级数收敛。
（3）111(1)2n n n -∞-=-∑解： 11111()(1)2121()12321()2nk n n n k k S --=---⎡⎤===--⎢⎥⎣⎦--∑， 故212lim lim1()323n n n n S →∞→∞⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，故级数收敛。
（4）111(1)5n nn -∞=+-∑ 解：11111111()1()1(1)1(1)11111155[1()][1()]55555456511()55n nk k n n nn n n k k kk k k S --===---+--==+=+=-+-----∑∑∑故11115lim lim [1()][1()]456512n n n n n S →∞→∞=-+--=，故级数收敛。
2．判断下列级数的敛散性： （1）114(1)5nn n n ∞-=-∑解：该级数为公比45-的等比级数，又415-<，故级数收敛。
（2）151()23n n n ∞=+∑ 解：因为1115151()2323n n n n n n n ∞∞∞===+=+∑∑∑，又1151,23n n n n ∞∞==∑∑是公比绝对值小于1的等比级数收敛，故151()23n n n ∞=+∑收敛。
（3）111(1)nn n∞=+∑ 解：因为11lim01(1)n n en→∞=≠+，所以级数发散。
第十一章 级数1．写出下列级数的前5项：(1) 11(1)3n nn -∞=-∑；(2) 113(21)242n n n ∞=⨯-⨯∑L L ；(3) 21(ln )nn n ∞=∑；(4) 1!n n n n ∞=∑ 解答：(1)23451111133333-+-+-L ； (2) 1131351357135792242462468246810••••••••••+++++••••••••••L ；(3) 2345611111(ln 2)(ln 3)(ln 4)(ln 5)(ln 6)+++++L ； (4)234511212312341234512345••••••••••+++++L 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级2．写出下列级数的通项：(1)2341357++++L ；(2)+L ；(3)2242468x x ++⨯⨯⨯⨯L 解答：(1) 21nn -；(2) 1(1)n --(3)2242n xn•L 。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级3．已知级数的部分和S n ，写出该级数，并求和：(1) 1n n S n+=；(2) 212n n n S -=；解答：(1) 一般项为111121u S +===，111,2,3,1(1)n n n n n u S S n n n n n -+-=-=-==--L ，故该级数为212(1)n n n∞=--∑，该级数的和为1lim lim1n n n n S n→∞→∞+==；(2) 一般项为1112u S ==，11121211,2,3,222n n n n n n n n u S S n -----=-=-==L ，故该级数为112n n ∞=∑，该级数的和为21lim lim 12n n n n n S →∞→∞-== 。
所属章节：第十一章第一节难度：一级4．根据定义求出下列级数的和： (1)1326n n n n ∞=+∑；(2)11(2)n n n ∞=+∑；(3)1(1)(2)(3)n nn n n ∞=+++∑；(4)1n ∞=∑解答：(1) 111113211332()()1162321123nnn n n n n n ∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑； (2) 1111111111113()(1)(2)222324354n n n n nn ∞∞===-=-+-+-+=++∑∑L ； (3)111123111111[()]()()2(1)(2)(3)2122322334n n n n n n n n n ∞∞===-+-⋅=-++⨯=++++++∑∑；(4)11n n ∞∞===-∑∑1n ∞==∑1==-所属章节：第十一章第一节难度：一级5．证明下列级数发散：(1)121n nn ∞=+∑；(2) 12nn n ∞=∑；(3) 11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(4)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑解答：(1) 由于10212n n u n =→≠+，所以级数121n n n ∞=+∑发散； (2) 由于20n n u n =→+∞≠，所以级数12nn n ∞=∑发散； (3) 由于1()01n n n u n e =→≠+，所以级数11nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散； (4) 由于1111011(1)()(1)n n nn nn n nn nn n u n e n nn ++=≥=→≠+++，所以级数111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散。
所属章节：第十一章第一节 难度：一级6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 11ln(1)n n ∞=+∑；(2)1πsin 2nn ∞=∑；(3) 2111n n n ∞=++∑；(4) n ∞=(5)1n ∞= (6) 11sin n n ∞=∑；(7)11(0)1nn a a∞=>+∑；(8) 1ln(1n ∞=+∑；(9) 1!(0)n n n a n a n∞=>∑ （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a >1时收敛，当a ≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当a <e 时收敛，当a ≥e 时发散解答：(1) 由于11ln(1)n n >+，而级数11n n ∞=∑发散，故正项级数11ln(1)n n ∞=+∑发散；(2) 由于sin 22n n ππ≤，而级数1π2n n ∞=∑收敛，故正项级数1πsin 2n n ∞=∑收敛；(3) 由于2111n n n +⋅→+，所以正项级数2111n n n ∞=++∑发散；(4)由于321n →，所以正项级数1n ∞=(5)由于1n ≥，而级数11n n ∞=∑发散，所以正项级数1n ∞=(6) 由于1sin 1n n ⋅→，所以正项级数11sin n n ∞=∑发散；(7) 当1a >时，由于2101n n a ⋅→+，所以正项级数111nn a ∞=+∑收敛， 当1a ≤时，由于1112na ≥+，所以正项级数111n n a∞=+∑发散； (8)由于1n→，而调和级数11n n ∞=∑发散，所以正项级数1ln(1n ∞=+∑发散；(9) 当a e <时，由于111(1)!lim lim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n n n u a n n a au n a n e n+++→∞→∞→∞+=⋅==<++，所以原级数收敛，当a e ≥时，由于111(1)!11(1)!(1)n n n n n n n u a n n a au n a n en++++=⋅=≥>++，所以原级数发散。
（注：本题已改用比值判别法所属章节：第十一章第二节 难度：二级7．用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1(21)!!3!nn n n ∞=-∑；(2) 213nn n ∞=∑；(3) 11ln (1)nn n ∞=+∑；(4) 132nnn n ∞=•∑；(5) 1!n n n n ∞=∑； (6)211()3n n n n n∞=+∑；(7) 211arcsin n n ∞=∑；(8) 11πtan 2n n n ∞+=•∑；(9) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a (n →∞)，a n 、b 、a 均为正数参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛（参考答案有误？）；(7) 收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；(8) 收敛；(9) 当b <a 时收敛，当b >a 时发散，当b =a 时不能判定解答：(1) 由于11(21)!!3!212lim lim lim 13(1)!(21)!!3(1)3n n n n n n nu n n n u n n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<+-+，所以正项级数1(21)!!3!nn n n ∞=-∑收敛； (2) 由于221122(1)3(1)1lim lim lim 1333n n n n n n nu n n u n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<， 所以正项级数213n n n ∞=∑收敛；(3)由于1lim01ln(1)n n n →∞==<+，所以正项级数11ln (1)nn n ∞=+∑收敛； (4)由于312n n ==>， 所以正项级数132nnn n ∞=•∑发散； (5) 由于11(1)!11limlim lim 11(1)!(1)n n n n n n n n u n n u n n en++→∞→∞→∞+=⋅==<++， 所以正项级数1!nn n n∞=∑收敛； (6)由于1(1)1nn n e +==>，所以正项级数211()3n n n n n∞=+∑发散； (7) 由于221arcsin 11n n→，而级数211n n ∞=∑收敛，所以211arcsin n n ∞=∑收敛；（注：由于本题用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法）(8) 由于11(1)tan12limlim12tan 2n n n n nn n u u n ππ++→∞→∞+==<， 所以正项级数11πtan2n n n ∞+=•∑收敛； (9) 当a b >时，由于lim 1n n n b ba a →∞==<，所以1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，当a b <时，由于lim 1n n nb b a a →∞==>，所以1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，当a b =时，由于lim 1n n nb ba a →∞===，所以1n n nb a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑的敛散性无法判定。
所属章节：第十一章第二节难度：二级8．用积分判别法判别下列级数的敛散性：(1)1n ∞=(2) 21en n n ∞-=∑；(3) 21arctan 1n nn ∞=+∑；(4)11(1)ln(1)pn n n ∞=++∑参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p >1时收敛，当p ≤1时发散 解答：(1)由于积分23113x +∞+∞==+∞⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散；(2) 由于积分22111122x x xe dx e +∞--+∞=-=⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (3) 由于积分22121arctan 13arctan 1232x dx x x π+∞+∞==+⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛； (4) 当p >1时，由于积分1111111ln (1)(1)ln (1)1(1)ln 2p pp dx x x x p p +∞-++∞-=+=++-+-⎰收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛。
当1p =时，由于积分111ln ln(1)(1)ln (1)pdx x x x +∞+∞=+=+∞++⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散。
当1p <时，由于积分11111ln (1)(1)ln (1)1p pdx x x x p +∞-++∞=+=∞++-+⎰发散，所以由积分判别法知，原级数发散。
综合知，原级数当p >1时收敛，当p ≤1时发散。
所属章节：第十一章第二节 难度：二级9．利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：(1) lim0!n n a n →∞=；(2) !lim 0n n n n→∞=；(3) 3lim 0!2n n n n →∞=• 解答：(1) 由于1limlim 011n n n nu au n +→∞→∞==<+，所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知lim 0!nn a n →∞=； (2) 由于11(1)!1lim lim 1(1)!n n n n n nu n n u n n e ++→∞→∞+=⋅=<+，所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知!lim0nn n n →∞=； (3) 由于1113!2lim lim 01(1)!23n nn n n n n nu n u n +++→∞→∞⋅=⋅=<+⋅， 所以由比值判别法知正项级数级数1!nn a n ∞=∑收敛，于是由级数收敛的必要条件知3lim0!2nnn n →∞=•。
