第一章事件及其概率1(1)

习题集

第一章 事件与概率

1.在某城市中，公发行三种报纸A,B,C.在这个城市的居民中，订阅A的占45%，订阅B的占35%，订阅C的占30%，同时订阅A及B的占10%，同时订阅A及C的占8%,同时订阅B及C的占5%,同时订阅A,B,C的占3%.试求下列百分率：（1）只订阅A的;(2) 只订阅A及B的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6）不订阅报纸的。

解：

（1）PA｛只订购的｝P{A(BC)}PAPABPACPABC＝

0.450.1.0.080.030.30

（2） P｛只订购A及B的｝PABCPABPABC0.100.030.07｝

（3） P｛只订购A的｝0.30

P｛只订购B的｝P{B(AC)}0.350.100.050.030.23

P｛只订购C的｝P{C(AB)}0.300.050.080.030.20

故P｛只订购一种报纸的｝P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}

. 0.300.230.200.73

（4）P{正好订购两种报纸的}

 P{ABCACBBCA}＝

 PABABCPACABCPBCABC

0.10.030.080.03.0.050.030.070.050.020.14.

（5）P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝

0.730.140.030.

（6）P｛不订任何报纸的｝10.900.10　.

2．若A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)AABC；(2)ACBA；(3)CAB；(4)BCA.

1 / 7

第一章 随机事件与概率

1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。

随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。

统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。

（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。

（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。

在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。

样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。

样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。

3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…

随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。

事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。

基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。

两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ

样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。

空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

4. 随机事件的关系与运算

（1）事件的包含与相等

设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作BA，AB。

①A

②若AB且BA，则称A与B相等，记作A=B。事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B是同一事件的不同表述。

习题一

1．一袋中有标号为1、2、3、4的四只球，现做以下四个随机试验，试写出各随机试验的样本空间：

（1） 现从袋中任取出一球后不放回，再取一球.记录两次取球的结果；

（2） 现从袋中任取出一球后放回袋中，再取出一球.记录两次取球的结果；

（3） 现从袋中一次任取两只球，记录取球的结果；

（4） 现从袋中不放回的一只接一只取球，直到取到一号球为止，记录取球的结果.

2．试用三个随机事件A、B、C的运算关系表示下列事件：

（1）仅A发生；（2）A、B、C都发生；（3）A、B、C都不发生；（4）A、B、C不都发生；（5）A不发生，且B和C中至少有一事件发生；（6）A、B、C中至少有一事件发生；（7）A、B、C中恰有一事件发生；（8）A、B、C中至少有两个事件发生；（9）A、B、C中最多有一个事件发生.

3．袋中有十只球，分别标有号码‘1’至‘10’.现从中任取一球，设A=“取得球的号码是偶数”，B =“取得球的号码是奇数”，C =“取得球的号码小于5”，问下述运算表示什么事件：（1）BA；（2）AB；（3）AC；（4）CA ；（5）CB.

4．从某班任选一名同学，以事件A表示选到的是男同学，事件B表示选到的人不喜欢唱歌，事件C表示选到的人是运动员，

（1）描述事件CAB和CBA的含义； （2）什么条件下成立ABC =A ？

（3）何时成立BC？ （4）何时同时成立BA和CA？

5．化简下列事件：

（1） )()(BAAB； （2）BABA ； （3）) ()()(BABABA；

（4）)()()(ABBABA； （5）ABAAB)()(.

6．（1）已知)(BP0.3，)(BAP0.6，求)(AP；

（2）已知)()(BAPABP，且pAP)(，求)(BP；

（3）已知)(AP)(BP)(CP41，)(ABP0，)()(BCPACP161，求A、B、C全不发生的概率.

第一章随机事件及其概率总结

随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象或结果。在任何随机事件中，我们都可以通过概率来描述它发生的可能性。概率是一个在0到1之间的数字，表示一些随机事件发生的可能性大小。以下是关于随机事件及其概率的总结。

1.随机事件的分类

随机事件可以分为两类：简单事件和复合事件。简单事件是指只有一个结果的随机事件，而复合事件是指有多个结果的随机事件。例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个简单事件；而抛两枚硬币的结果可以是两个正面、两个反面或一个正面一个反面，这就是一个复合事件。

2.样本空间

样本空间是指一些随机事件所有可能结果的集合。通过样本空间，我们可以计算概率。例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，抛两枚硬币的样本空间为{正正，正反，反正，反反}。

3.事件的概率

事件的概率是指一些事件发生的可能性大小。概率可以通过以下公式计算：概率=事件的可能数/样本空间的总数。例如，抛一枚硬币出现正面的概率为1/2，即0.5；抛两枚硬币出现两个正面的概率为1/4，即0.25

4.组合事件的概率

组合事件是指由两个或多个简单事件组成的事件。组合事件的概率可以通过以下公式计算：概率=简单事件1的概率×简单事件2的概率×……×简单事件n的概率。例如，从一副扑克牌中抽出一张红心和一张方块的概率为(26/52)×(13/51)=1/8

5.互斥事件和对立事件

互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。对立事件是指一个事件的发生排除了另一个事件的发生。互斥事件的概率可以通过简单事件的概率之和计算；对立事件的概率可以通过1减去事件的概率计算。

6.大数定律

大数定律是指随着试验次数的增加，事件的相对频率趋近于事件的概率。也就是说，如果一个事件的概率为p，那么在进行n次独立的重复试验后，事件发生的频率将会接近于np。例如，抛1000次硬币，正面出现的频率将会接近于500次。