正交双复数空间的概念

２００２年１Ｏ月　第２５卷第１Ｏ期　重庆大学学．ｔ良　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｏｎｇｑｍｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｏｃｔ．２００２　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．１０　

文章编号：１１３００—５８２Ｘ（２００２）１０～００８９—０４　

正交双复数空问的概念。　

罗义银　

（重庆大学工程力学系，重庆４０００４４）　

摘要：从物理和力学问题表达需求的角度出友，提出了正交双复数空间的概念及其特定表达：　＝　（戈，Ｙ）＋／ｚ＝Ｐ（ｃｏｓｃｐ，ｓｉｎｃｐ）ｃｏｓｔ７＋ｉｓｉｎ０：ｐ（ｃｏｓ￣，ｓ　）・ｅ　，将平面上的复数和复变函数的概念进行特　

殊构造，扩展到三维空间，并建立了相应的四则运算规则，讨论了它的解析函数和闭路积分概念。所引出　的概念既可包含平面复数及复变函数的全部优点，又能方便地表达空间物理问题的直观特性。　

关键词：双复数；正交双复数空间；运算规则；闭路积分　中图分类号：Ｏ１７４．５　文献标识码：Ａ　

大家知道，平面上的复数及复变函数理论是一个　强有力的基础工具，借用复平面上的特点，可以得到平　

面矢量、指数、谐波分析、调和分析的广泛应用。例如，　Ｗｕ　Ｊ．Ｃ．利用保角变换下的边界元法将平面流体问题　在复平面上进行了完善地分析ｕＩ２Ｊ，从而导致了二维　

流体问题的高效、高精度的边界元的变换计算方法。　但是众多的物理问题必须用更完善的三维空间来表　达，诸如三维非对称流形、裂纹扩展、传导与扩散等等，　

如何将平面复数的理论扩展到三维空间，目前尚无有　用的实例；如果引用一般的三维或ｎ维复数空间概念，　又将问题过于抽象化和复杂化Ｌ３　；如果设想用两个正　

交的复数平面将三维实数空间问题进行处理表达，问　

题将有可能得到明确表现。故针对三维实数空间的物　理问题【４Ｊ，如何借用边界积分方程变换到正交的两个　

复平面内进行拓扑分析，将具有莫大好处，特别是可以　

直观引用一维复数的大部分结果。为此，提出使用一　些特殊标记符号来建立和表达空间正交的复平面，从　

而确立一个表达空间正交复数的特殊坐标函数体系，　推导其相应的运算规则及其微积分原理，得到了一些　

和平面复数相近的初步结果，如果上述理论得到广泛　认可，则对应的空间变换及边界积分将可相应推出。　

１正交双复数空间概念　

定义　正交的空间　，Ｙ，ｚ坐标，以ｚ轴为虚轴，　，Ｙ为实轴，组成两个正交的复平面：（　，ｚ），（Ｙ，ｚ）及　

一个实数平面（　，Ｙ），共同构成正交的双复数空间，标　记：　

＝（　，Ｙ）＋／ｚ　（１）　

＝Ｐ（ｃ０ｓ　，ｓｉｎ　）ｃｏｓ０＋ｉｓｉｎ０　（１　）　＝Ｐ（ｃ０ｓ　，ｓｉｎ　）・ｅ　（１　）　为正交双（二维）复数，或正交双复数空间。　

如图１所示，其中（　，’，）为双复数　的实数坐标　函数标记，它既具有坐标性质，又具有特定函数的特　性，从后面的阐述中可见。（１　）和（１　）式为其三角表示　

和指数表示，・约定为一个由（１　）式到（ｒ）式的特殊　的简化算符。特采用以下特殊符号标记相应信息。　

Ｉ　Ｉ：￣／戈　＋Ｙ　＋ｚ２：Ｐ　为　的模。　

＝　Ｉ　：０＝　＋／ｚ　为（　，ｚ）平面内的一维　

复数。　

＝　Ｉ　：０＝Ｙ＋／ｚ　为（），，ｚ）平面内的一维复　

数。　

＝　Ｉ　：。＝（　，Ｙ）　为（　，Ｙ）平面内的实数　

点。　

＝　Ｉ　：ｙ＝Ｏ＝ｉｚ　为ｚ轴上的纯虚数。　

＝ａｒｃ　ｔｇ（ｚ／ｘ），　为　的幅角，０≤　≤　。　

＝ａｒｃ　ｔｇ（ｚ／ｙ），　为　的幅角，０≤　≤２７ｃ。　

０：（　，　，），　为双复数　的幅角，也即是矢径　

ｐ与（　，Ｙ）平面的夹角，０≤　≤７ｃ，　为ｐ在（　，Ｙ）　

平面上的投影Ｐ对与　轴的夹角，０≤　≤　。　

＝（　，Ｙ）一ｉｚ，　与　互为共轭双复数。　以上是将二维实数平面与两个空间正交的一维复　

・收稿日期．２００２—０６—２７　作者简介：罗义银（￣９４６一），男，重庆市人，重庆大学副教授，主要从事固体力学方面的研究工作。

　维普资讯 http://www.cqvip.com ９０　重庆大学学报　２ＯＯ２生　

数平面在欧式空间中形成了直观的正交组合，目的是　

为了展示物理问题的直观现象，并追求一些简便结果。　采用了一个特殊的符号　＝（　，Ｙ）＋／ｚ＝ｐ（ｃｏｓ￣，　

ｓｉｎ￣ｏ）ｃｏｓＯ＋ｉｓｉｎＯ＝ｐ（ｃｏｓ￣，ｓｉｎｑ￣）・ｅ　来标记正交双　复数概念，从上述可见，它既具有正交双复数与函数的　

９　ｘ　

Ｘ　性质，又具有坐标的部份特征，还具有矢量的一些特　性。采用上述特殊符号来标记，完全是为了后面运算表　

达方便和简洁。至于正交性，从上述空间的构造中明显　可见，从以后的空间变换中也可以证明。　

图１　正交双复数　空间　图２　正交双复变函数ｇ－２＝ｆ（　空间　

２　正交双复数的运算规则　

和平面复数的四则运算规则一样，可以导出正交　双复数的相应规则，以下的四则运算规则，除了按照平　

面复数的运算规则进行而外，也有部分人为的约定法　则。　

一　＝２ｉｚ，为ｚ轴上的纯虚数，　

＋　＝２（　，Ｙ）＝（２ｘ，２ｙ）为实平面（　，Ｙ）内　的一个坐标点，　１±　２＝［（　１，Ｙ１）＋ｉｚ１］±［（　２，Ｙ２）＋ｉｚ２］＝　

（　１±　２，Ｙ１±Ｙ２）＋　（ｚ１±ｚ２），　

１・　２＝［（　１，Ｙ１）＋ｉｚ１］［（　２，Ｙ２）＋ｉｚ２］＝（　１，　

Ｙ１）（　２，Ｙ２）一ｚｌｚ２＋ｉ［ｚ１（　２，Ｙ２）＋Ｚ２（　１，Ｙ１）］＝　

（　１　２，Ｙ１　Ｙ２）一ｚ１　ｚ２＋　［ｚ１（　２，Ｙ２）＋Ｚ２（　ｌ，Ｙ１）］，　

・　＝［（　，ｙ）＋　］［（　，ｙ）一ｉｚ］＝（　，ｙ）　＋　

ｚ　＝　＋Ｙ　＋ｚ　＝Ｉ　Ｉ　＝』Ｄ　，　

＝［（　，Ｙ）＋　］［（　，Ｙ）＋ｉｚ］＝（　，ｙ）　一ｚ　＋　

ｉ２ｚ（　，Ｙ），　

ｌ／０２＝　ｌ・　２／（　２・　２）＝　１　ａ２／（ｘ　＋ｚ　＋Ｙ　）　

Ｉ　Ｉ＝　（　，ｙ）一ｚ　］　＋４ｚ　（　，ｙ）　＝　

：Ｉ　Ｉ　

３　三角表示法及运算规则　

按照上述（１　）式的表达方式，可以导出相应的三　角表示法的运算规则。　

＝（Ｉ　Ｉ　ｃｏｓＯ￣，Ｉ　Ｉ　ｃｏｓＯｙ）＋　Ｉ　Ｉ　ｓｉｎＯ￣＝　

（　ｌ　ＣＯＳ０ｘ，　ｙ　ｌ　ｃｏｓＯ￣）＋ｉ　ｌ　ｌ　ｓｉｎＯｙ＝ｐ（ｃｏｓ￣，　

ｓｉｎ￣）ｃｏｓＯ＋ｉｓｉｎＯ　ｌ・　２＝［１　ｌ　ｌ・ｌ　２　ｌ　ｃｏｓ（０ｌ　＋０２　），Ｉ　ｌ　Ｉ・ｆ　

２ｙ　Ｉ　ｃｏｓ（０１ｙ＋０２　）］＋ｉ　Ｉ　ｌ　Ｉ・Ｉ　２　Ｉ　ｓｉｎ（０ｌ　＋０２　）　

１／０２＝［１　１　ｌ／ｌ　２　ｌ　ｃｏｓ（０ｌ　一０２　，Ｉ　ｌ　ｌ／　

Ｉ　２　Ｉ　ＣＯＳ（０ｌ　一０２　）］＋ｉ　Ｉ　１　Ｉ／Ｉ　２　Ｉ　ｓｉｎ（０ｌ　一０２　）　

４　指数表示法及运算规则　

按照上述（１　）式的表达方式，可以导出相应的　指数表示法的运算规则。　

＝（１　ｌ，ｌ　Ｏｙ　１）ｅ　‘如’竹　＝ｐ（ｃｏｓ￣，ｓｉｎｑ￣）・ｅ　

这儿　＝Ｉ　Ｉ　ｅ　，　＝Ｉ　Ｉ　ｅ　。　

１・０２＝（Ｉ　１　１．Ｉ　２ｌ　Ｉ，Ｉ　１　１．１　０２　Ｉ）ｅｉ‘　ｌ　，Ｏｌｙ＋Ｏ２ｙ　

＝Ｐｌｌ０２［ｏ０６（　＋　），ｓｉｎ（ｑ￣１＋　）］・ｅｉ（Ｏｌ＋Ｏ２’　

０１１０２＝（Ｉ　１　Ｉ／Ｉ　２ｌ　Ｉ，Ｉ　１　Ｉ／Ｉ　Ｉ）ｅ“　一　＇　・，一　，　＝Ｐｌ／ｌ０２［ｏ０６（　一　），ｓｉｎ（ｑ￣。一　）］・ｅｉ（Ｏｌ－ｏ２’　

＝（Ｉ　Ｉ　，Ｉ　Ｉ　）ｅ‘‘　执・’　’＝ｌＤ　［ＣＯＳ（，　），　

ｓｉｎ（　）］・ｅ　“　＝（Ｉ　Ｉ“　，Ｉ　ｖ　Ｉ“　）ｅｌ（Ｏｘｌｎ＋２ｋ￣，ｏｙ　ｈ’　』Ｄ　

［ＣＯＳ（　／ｎ），ｓｉｎ（　，ｎ）］・ｅ“　＋２　）　

和平面复数一样，具体使用时，为了方便，可以灵　

活地采用上述表达形式。　

５　解析函数　

和平面复数及复变函数一样　］，可以方便地导　

出其相应的正交双复变函数、导数、解析函数及相应　

“柯西一黎曼条件”。　５．１正交双复变函数　定义：　

＝　）＝［Ⅱ（　，Ｙ，ｚ），　（

　，Ｙ，ｚ）］＋　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第１Ｏ期　罗义银：　正交双复数空间的概念　９１　

ｉｗ（　，Ｙ，　）＝（ｕ，　）＋ｉｗ　（２）　为双复数　的正交双复变函数，且　是　的连续函数。　其中　＝（　，Ｙ）＋／ｚ；ｕ、　、Ｗ均为　、ｙ、ｚ的实函数。　

这样，在　空间中，定义了三重三维实函数ｕ（　，　Ｙ，　）、ｖ（ｘ，Ｙ，　）、Ｗ（　，Ｙ，　），从而可以研究三维空　

间中的位、势、流形问题。　５．２　导数　

定义：　Ｉ　：　＝　’（　。）＝　

ｌｉｒａ［　一ｆ（ｏ。）１／（ｏ—Ｏｏ）　（３）　

Ｉ　ｆ’（　。）Ｉ称为力：　）在　。点的伸缩系数　’（　。）　

的幅角称为　＝　在　。点的旋转角。　

５．３解析函数　

＝／－（　）＝［ｕ（　，Ｙ，　），　（　，Ｙ，　）］＋ｉｗ（　，Ｙ，　

）在区域Ｄ内处处可微，且　’（　不总是处处为零，　则称　：　为在区域Ｄ内的解析函数。　＝ｆ（　为解析函数，则一定满足下面的‘柯西一黎曼条件’。　５．４柯西一黎曼条件　

对（２）式进行微分表达：　’（　）＝ｄｔ￣／ｄ０＝…ｌｉｍ［｛［ｕ（　＋△　，Ｙ＋△），，　＋△。），　’△洲　’　（　＋△　，Ｙ＋Ａｙ，　＋△　）］＋ｉｗ（　＋　，Ｙ＋Ａｙ，　＋　

△　）｝一｛［ｕ（　，Ｙ，　），　（　，Ｙ，　）］＋ｉｗ（　，Ｙ，　）｝］／　［（　，△），）＋　］　不失一般性，令　分别从　，Ｙ，　轴方向使△　一０，即：　

△　＝（　，Ａｙ）＋　一０，　’（　＝　［Ａ　Ｏ＋△　一　］，△　＝　

！ｉ　［｛［ｕ（　＋△　，，，，　），　（　＋△　，，，，　）］＋　△　

ｉｗ（　＋△　，Ｙ，　）｝一｛［ｕ（　，Ｙ，　），　（　，Ｙ，　）］＋　

ｉｗ（ｘ，Ｙ，　）｝］／　＝　ｕ（　，Ｙ，　），　（　，Ｙ，　）］＋　

ｌ￡『（　，），，　）＝　（ｕ，　）＋泐］　（３’）　

同理　’（　＝　［（ｕ，　）＋洳］　（　）　

’（　＝　｛［Ⅱ（　，Ｙ，　＋　），　（　，Ｙ，　＋　）］一　

ｉｗ（　，Ｙ，ｚ＋　）｝，（　）＝　

一　（ｕ，　）＋　：　［　一ｉ（ｕ，ｖ）］（　）　

由上述表达得到：　

（ｕ　＝　（ｕ　：　（４）　

（ｕ，　）＝一　＝一　（４’）　

即为相应的正交双复变函数的“柯西一黎曼条件”。　满足“柯西一黎曼条件”的正交双复变函数必定　

是解析函数。　

６　积分　

可以证明，若．厂（　在　区域内为解析函数，ｃ为　区域内的空间光滑闭曲线，则　）沿空间闭曲线Ｃ的　

积分可以表示为：　

０）ｄ０＝　［（ｕ，ｖ）ｄｘ—ｗｄｚ］＋　

［（ｕ，ｖ）ｄｚ＋ｗｄｘｌ：　

４）［（ｕ，ｖ）ｄｙ—ｗｄｚ］＋　４）［（ｕ，ｖ）ｄｚ＋ｗｄｙ］＝　

Ⅱ［　（一　）一　（ｕ，圳　＋　

饥　（ｕ’　

其中Ｄ为过闭曲线ｃ的空间光滑闭曲面，根据“柯西一　

黎曼条件”，上述积分为零。故　

ｆ（　ｄ　＝０　（５）　

同样可以计算一个重要的回路积分（如图２）：　

．　。　＝　

ｆ—ｉｒｅ￣　ｄＯ：　ｆ　Ｃ～ｌＵ：４Ｉ——　一　ｚ　Ｉ　ｑ７【　

Ｊ０　Ｊ０　ａ为正交双复常数，ｒ为包含ａ的小球的半径。因此，　ｒ　０　（１ｕ，ｌｖ不包含ａ）　

＝｛１，２（ｚｕ或　不包含。）（６）　

０　１　（１ｕ，ｌｖ均包含ａ）　ｌｕ、ｌｖ分别为过曲线Ｃ平行于ｕ、　轴线的柱面在（　，ｕ）　平面上的投影曲线，如图２所示。　

同样可以得到相应的“柯西公式”为：　

ｆ（０。）＝一　［　（　一　。）ｌｄ０　（７）