第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
最新初中数学竞赛试题8个专题汇编目录最值河题二・设元的技巧三・清環应用直线•射线与线段五、困務面积的计算六、立体圈瞬展开七・与角相关的问题八・奇偶分析最新初中数学竞赛试题分类专题汇编：最值问题阅读与思考在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是•求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：K通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解.4、借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可'能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.例题与求解【例1] 若c 为正整数，且a + h = c , h + c = d , d + a = h，则(a + h )( h + c )（c + d ）（d + a）的最小值是 ___________ .（北京市竞赛试题）解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a , b , d及待求式用C的代数式表示.【洌2】已知实数a , b满足/+/=1，则cf+ab + 护的最小值是（）1 9A. —B.OC.1D.—8 8（全国初中数学竞赛试题）思路：对a4+ab + b4进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题"【例3] 如果正整数满足西+兀2 +七+兀+兀5 =兀1兀2兀3兀1乞，求禺的最大值.思路：不妨设x t < x2 < ^3 < x4 < x5 ,由题中条件可1二1.结合题意进行分析.1-+」-------- + --------- + --------- + --------- + --------X2X3X4X5X}X3X4X5 X{X2X4X5兀1兀2兀3无5召兀2® 兀4【例4】已知都为非负数,满足%+ y- z , x + 2y + 3z = 4 ,记w = 3x + 2y + z，求w的最大值与最小值.川省竞赛试题）解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示W.【例51某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为10.00米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）解题思路：要使耗油费用最低，”应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例6］直角三角形的两条直角边长分别为5和12 ,斜边长为13 , P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为4 4，仏，求么+厶+厶的最大值和最小值，并求当取最大值和最小值时，P点的位置.（“创新杯”邀请赛试题）解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.能力训练1. 社a , b , c 满足a2-^-b2 + c2 = 9 ,那么代数式（a-hf + （b-+ （c-aj的最大值是__________ .…（全国初中数学联赛试题）2. _________________________________________________________________ 在满足x + 2y<3,x>0,y> 0的条件下，2x+y能达到的最大值是____________________________ .（“希望杯” 邀请赛试题）3. 已知锐角三角形ABC的三个「内角A ,B ,C满足A>B>C.用Q表示A・B ,B-C，以及90-A 中的最小值，则&的最大值是 __________ .（全国初中数学联赛试题）4. 已知有理数a , b , c满足a>b>c ,且a+b+c=O，.那一么仝的取值范围是.a（•数学夏令营竞赛试题）5•在式子|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.A. 1B.2 ・C.3D.46. 若a , b , c , d是整数，b是正整数,且满足b + c= d , d + c = a , b + a = c ,那么a +b +c + d的最大值是（A. -1B.-5C.OD.1（全国初中数学联赛试题）7. 已知x-y = a, z-y = 10,则代数式x2 + y2 +z2-xy-yz-xz的最小「值是（）.A.75B.80C.100D.105（江苏省竞赛试题）8•已知工，y , z均为非负数，且满足%+y + z =30 , 3x+y-z = 50 ,又设M = 5x + 4y + 2Z ,则M的最小值与最大值分别为( )・A.110 , 120B.120 , 13.0C.130 , 140D.140 , 150r — 1 2 — V 7 — 39•已知非负实数x , y , Z满足——=—=—-，记w = 3x十4y + 5z.求w的最大值2 3 4 ‘和最小值（"希望杯”邀请赛试题）10•某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L , M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生•产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考试题）专题19最值问例 1 24 提示：a = -c.b = 2c,d = 3c ,原式 24<?・例 2 B 提示：/+刃? + 戻=(夕+Z?')-2d 芳+a/? = 1-2°芳+°方=一2 ah- —因此 05——丄]+-<-< 4丿例3 设占5兀2 W 兀3 5兀5兀51 1 1 1 = ---------- + ---------- + ---------- + ----------- + ----------- < ------ +召“£兀 召兀2兀4兀5 召兀2“兀 召兀2兀3兀4 呂兀 兀佗 于是得到x 4x 5 -x 4 -x 5 <3 •即(x 4 -1)(^5 -1)<4 .若 x 4 = 1，则 x l =x 2=x 3=x 4=l ,与题设等式为 4 +% = x 5 矛盾；若 x 4 > 1，则 X. -1 < 4 , 即X 5<5，当X 5=5时，容易找到满足条件的数组(1 ,1,1 ,2,5),所以兀的最大值是5.”,[x+ y-z = 1 (x = 5z-2, [x = 5z-2>0 23例4由 • ,得 ,由W-<z<-,则[x + 2y + 3z = 4 [y = 3-4z [y = 3-4z > 0 54oi (\\69 = 3x + 2y + z = 3(5z-2)+ 2(3-4z) + z = 8z ，当 z =—时，e 有最小值一；当乙二一时， 69有最大值6 .例5提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆 运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法:(1 )四次个4根，一次2根；(2 )三次 各4根，二次各3根.因为 2\ab\ <a 2+b 2=1，所以 (1Y 1 1 3x—£ cib £—,从而—£ ab — 5—,故 05 cib —5 —2 2 4 • •161 1 1 1 3 + 匕 +兀(1 )考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根.①先送2根，再送4根，二次共走行驶：(1000 + 100)x2 + (1100 + 400)x2 = 5200米；②先送4根，再送2根，二次共行驶：(1000 + 300)x2 + (1300 + 200)x2 = 5600米；(2)两次各送3根时，所行路程为(1000 + 200)x2 + (12004-300)x2 = 5400 米.故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：(1000 + 100)x2 + (1100 + 400)x2 + (1500 + 400)x 2 + (1900 + 400)x2 + ( 2300 + 400) = 19000米故所用最少油费为19000m/? -1000 = 19mz2元例6如图所示，在厶ABC中，zC=90° , BC=5 ,力倂13.点P到BC , CA ,力3的距离分别为％, 〃2,仏，连接昭，PB , PC、由三角形的面积公式知：—x5J. + —x 12d)+ —x 13d、= — x5x 12.2 1 2 ・ 23 2即5d} +12d2 +13£ = 60.显然有5(% + Z + £ ) 5 5〃[ 4-12^ +13£ 5 13(% + Z + £ ). 故詈5(%+心+心2 当d2 = dy = 0时，有％ +仏+〃3 =12 ,即％+〃2 +£取最大值时，尸与力重合；当d] = d2 = 0 时,有％+ £ + +〃3 =60li ,即4 +£+〃3取最小值时，P与C重合.A 级1.27r 原式二3（夕+，+C?） —（a + b + c 『<272.6提示:」+ 2" J （90 "） + 2（i ） + （齐 C ）6270° -（A + B + C ） 90°6 6" c 提示：b =-a-c. -a-c<b , /.2a > -c. — > -2，又把b =-a-c ac 1 c 1代入b 〉c 中 J#-^-c<c,.-<--.lK-2<-<--.5. D6.B7.A8.Bx ——I 2 — v z — 39. ---------- 设 ---- = ----- = =k ，贝ijx = 2k + l, y = -3k + 2, z = 4k + 3・2 3 4 ’ 2k + ino/.X, y, z 均为非负实数..•.<一3£ + 2 2 0，解得：一丄5比<彳.4k+3 >0 ‘故力=3 兀+ 4y + 5z = 3（2k + l ） + 4（—3k + 2） + 5（4k + 3）= 14Z: + 26.xl4 + 26<14Z: + 26<-xl4 + 26 ,即 19 <^<35-,2 3 3 3.15° = 15°所以的最小值是19,最大值是35亍10.20套.1800元.提示：设生产厶型号的童装套数为x ，则生产〃型号的童装为（50-对 套，所得利润 5 = 45% + 30（50 - %） = 15x +1500.[0.5x + 0.9（50-x ） < 38[.¥ + 0.2（50-X ）<26得 17.5<x<20 ,兀=1& 19, 20.X•最小表面积的打包方式为2x3.最小表面积为17952mm 2 ,图略.B 级1.27 当b = 2、a = 25时，a + b 的值最大.2.102 提示：/?? = 7?(19H -98), 19zz-98>0.4. B , D , E 93.62 百元5.13800元 提示：设由甲库调运x 吨粮食到3市，总运费为p 元，则y = 5x + 6(600 - x) +6(800-x) +9(600 + %)= 2x+13800(0<x<600) ca+b+c+dM <-^- +——+——+—— a+b a+b c+d c+d故 1 vM v2.3636 7. B 提<J\ : 1S~ X ^^BOC = •故 S 四边形ABCD = 13 + 兀 113 + 2 3.1157提示：a = — 8 Sb t 64b T’r6.C 提示 X —=25. X8. ( 1 ) (q + 禺 + + «2(M)2 y = d/ + + + tz20022 + 2/n = 2012 + 2m.(+ ⑦ + +。
板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理梅涅劳斯定理.如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点,那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线,ABC △叫梅氏三角形． GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一.如左图,过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =,EC FG AE AF= ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=． 证法二.如中图,过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =,BD BD DC DC =,CE DC EA AG= 三式相乘即得.1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三.如右图,分别过A B C 、、作DE 的垂线,分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥,所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理.若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点,如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=,则F 、D 、E 三点共线．知识导航梅涅劳斯定理与塞瓦定理【例1】 如图,在ABC △中,AD 为中线,过点C 任作一直线交AB 于点F ,交AD 于点E ,求证.:2:AE ED AF FB =．EC D B FA【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线,∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =,∴112AE BF ED FA ⋅⋅=,即2AE AF ED BF=．习题1. 在△ABC 中,D 是BC 的中点,经过点D 的直线交AB 于点E ,交CA 的延长线于点F ．求证.FA EAFC EB=． EFBDCA【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点,应用梅氏定理,知1CD BE AFDB EA FC⋅⋅=,又因为BD BC =,所以1BE AF EA FC ⋅=,即FA EAFC EB=．习题2. 如图,在△ABC 中, 90ACB ∠=︒,AC BC =．AM 为BC 边上的中线,CD AM ⊥于点D ,CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． 夯实基础DEBMCA【解析】 由题设,在Rt AMC △中,CD AM ⊥,2AC CM =,由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM ⋅===⋅．对ABM △和截线EDC ,由梅涅劳斯定理,1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=,即21114AE EB ⋅⋅=．所以2AE EB=．【例2】 如图,在ABC △中,D 为AC 中点,BE EF FC ==,求证.::5:3:2BM MN ND =．NMDCF EBA【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线,∴1BM DA CE MD AC EB ⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=,∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD △的梅氏线, ∴1BN DA CF ND AC FB ⋅⋅=, ∴11122BN ND ⋅⋅=,41BN ND =． ∴::5:3:2BM MN ND =．习题3. 如图,在ABC △中,D 为BC 的中点,::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．探索提升CEFD BH GA【解析】 ∵HFC 是ABD △的梅氏线,∴1AH BC DF HB DC FA⋅⋅=． ∵D 为BC 的中点,::4:3:1AE EF FD =, ∴21BC DC =,17DF FA =． ∴21117AH HB ⋅⋅=,∴72AH HB =． ∵GEC 是ABD △的梅氏线, ∴1AG BC DE GB DC EA ⋅⋅=, ∴21111AG GB ⋅⋅=,∴12AG GB =． ∴::3:4:2AG GH HB =． ∴::3:4:9AG GH AB =．【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ,交CB 的延长线于点D ．求证.1BE CFEA FA+=．M DGFECB A【解析】 作直线AG 交BC 于M ,∵:1:2MG GA =,BM MC =． ∴AE BD MG EB DM GA ⋅⋅112AE BD EB DM =⋅⋅=． ∴2EB BD AE DM =． 同理,2CF DC FA DM=, 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+=∴21222BE CF BD DC DMEA FA DM DM DM+=+==．【例4】 如图,点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上, AE EB =,23AD DC =,BD 与CE 交于点F ,40ABC S =△．求AEFD S ．FDEC BA【解析】 对ECA △和截线BFD ,由梅氏定理得.1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=,即32121EF FC ⋅⋅=,所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△,进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△．习题4. 如图,在ABC △中,三个三角形面积分别为5,8,10．四边形AEFD 的面积为x ,求x 的值．x 1085F DE CBA【解析】 对ECA △和截线BFD ,由梅氏定理得.1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=,即1823115152x x +⋅⋅=+,解得22x =．【备选】如图,ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形,其中三个小三角形的面积如图所示,求ABC △的面积．354030O F ECDBA【解析】 对ABD △和截线COF ,由梅氏定理得.1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=,即41132BC CD ⋅⋅=,所以32BC CD =,所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．【例5】 如图, 在ABC △中,A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ,B ∠的平分线与边CA 交于点Q ,C ∠的平分线与边AB 交于点R ,求证.P 、Q 、R 三点共线．P C B QRA【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线,则BP ABPC CA=① BQ 是ABC ∠的平分线,则 CQ BCQA AB=② CR 是ACB ∠的平分线,则 AR CARB BC=③ ⨯⨯①②③得1BP CQ AR AB BC CAPC QA RB CA AB BC⋅⋅=⋅⋅= 因R 在AB 上,Q 在CA 上,P 在BC 的延长线上,则根据梅涅劳斯定理的逆定理得.P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明.不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．F EDCBA非常挑战P F E D CBA【解析】 如图,CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线,分别交AB AC BC 、、于D E F 、、．过C 作BE 的平行线,则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠, 所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．则有.CE PB CB EA BA BA ==． 同理AD AC DB CB =；BF BA FC AC=． 所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ⋅⋅=⋅⋅=．所以D E F 、、共线．板块二 塞瓦定理及其逆定理塞瓦定理.如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ,如图,那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． PFEDCBA证明. ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线,∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=,1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=． 两式相乘即可得.1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理.如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上,并且知识导航1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=,那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． F PF'ED C BAFED CB A证明. ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时,如图,作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得.'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅=',又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=,∴AF AF FB F B '=', ∴AB AB FB F B=',∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交,则AD ∥BE ,如图． ∴BD EA DC AC=,又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=, ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=,即CE FB AC AF =． ∴//BE FC ,∴AD BE FC ∥∥．说明.三线平行的情况在实际题目中很少见．【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线,求证.AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证.AX BY CZ ，，三线共点．探索提升ZYXCBA【解析】 （1）由条件知,BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=,根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点． 这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得.BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘,得.1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点, 这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线,求证.AX BY CZ ，，三线共点．ZYX CBA【解析】 由ABX CBZ △∽△得.BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得.AZ ACAY AB =； 由AXC BYC △∽△可得.YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形,同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】 如图, M 为ABC △内的一点,BM 与AC 交于点E ,CM 与AB 交于点F ,若AM 通过BC 的中点D ,求证.EF BC ∥．FDEMBA【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得.1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =,所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=,所以EF BC ∥．习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ,两条对角线交于N ．求证.直线MN必平分梯形的两底．BQ A NCP DM【解析】 ∵AB CD ∥∴MD CM DA BC = ∴1MD BC DA CM⋅= ∵1MD AQ BC DA QB CM ⋅⋅=（由塞瓦定理得） ∴1AQ QB=,∴AQ QB = ∵DP PC AQ QB =,∴DP PC =．板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合【备选】如图,E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点,且3AE EC =,3BF FA =,BE 、CF 交于点P ,AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．ABCD EFP非常挑战【解析】 ∵P 为ABC △的塞瓦点． ∴11133AF BD CE BD FB DC EA DC ⋅⋅=⋅⋅= ∴91BD DC =,∴910BD BC =． ∵EPB 为ACD △的梅氏线, ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103AP PD =【备选】如图,四边形ABCD 的对边AB 和DC ,DA 和CB 分别相交于点L K ，,对角线AC 与BD交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、．求证.KF KG LF LG=． F G L KM DC BA【解析】 对DKL △与点B 应用塞瓦定理得.1DA KF LC AK FL CD⋅⋅=． 对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得.1DA KG LC AK GL CD⋅⋅=． 进而可得KF KG LF LG =．。
初三数学竞赛题解析数学是一门智力与逻辑的结合体，对于初中生来说，参加数学竞赛是提高数学能力的绝佳途径之一。
在这篇文章中，我们将解析一些初三数学竞赛题，帮助大家理解解题思路与方法。
一、整式的运算整式的运算是数学竞赛中常见的题型之一。
下面我们以一个例题来解析整式的运算方法。
例题：计算多项式的值：P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4，当x = -2时，P(x)的值为多少？解析：将x = -2代入多项式P(x)中，得到P(-2) = 2*(-2)^3 - 3*(-2)^2 + 5*(-2) - 4 = -16 + 12 - 10 - 4 = -18。
因此，当x = -2时，P(x)的值为-18。
二、方程与不等式方程与不等式是数学竞赛中常见的题型之二。
下面我们以一个例题来解析方程与不等式的解法。
例题：求解方程：2x + 3 = 7。
解析：首先，我们将方程化简为一次方程形式，即2x = 7 - 3，得到2x = 4。
然后，将方程两边同时除以2，得到x = 2。
因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
三、几何图形的性质几何图形的性质是数学竞赛中常见的题型之三。
下面我们以一个例题来解析几何图形的性质。
例题：已知△ABC中，AB = AC，∠BAC = 40°，垂直平分线AD与BC交于点D，求∠ADC的度数。
解析：由于AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，即∠BAC = ∠BCA。
又因为垂直平分线AD将△ABC分成两个等腰三角形，所以∠BDA = ∠BAC = 40°。
又由于∠BDA是直角，所以∠ADC = 90° - ∠BDA = 90° - 40° = 50°。
因此，∠ADC的度数为50°。
四、函数与图像函数与图像是数学竞赛中常见的题型之四。
下面我们以一个例题来解析函数与图像的关系。
例题：已知函数y = f(x)的图像如下图所示，求函数f(x)的解析式。
