2018-2019学年下学期高二数学(新人教A版选修2-3) 模块综合测试题课后巩固

课时跟踪检测（六） 组合的综合应用层级一 学业水平达标1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A ．C 32197·C 23B ．C 33C 2197＋C 23C 3197 C ．C 5200－C 5197D ．C 5200－C 13C 4197解析：选B 至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共C 23C 3197种，(2)3件次品，2件正品，共C 33C 2197种，由分类加法计数原理得抽法共有C 23C 3197＋C 33C 2197，故选B ．2．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 设男生人数为x ，则女生有(6－x )人．依题意：C 36－C 3x ＝16．即x (x －1)(x －2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2．∴x ＝4，即女生有2人．3．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( )A ．C 25C 26种B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种解析：选B 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C 25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A 26种．故有C 25A 26种．4．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有( ) A ．120 B ．5 C ．240D ．180解析：选C 先从5本中选出2本，有C 25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A 44种分法，故共有C 25·A 44＝240种不同的分法．5．(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A ．144个 B ．120个 C ．96个D ．72个解析：选B 当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A 34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C 13A 34个偶数．故符合条件的偶数共有2A 34＋C 13A 34＝120(个)．6．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种．解析：先分医生有A 22种，再分护士有C 24种(因为只要一个学校选2人，剩下的2人一定去另一学校)，故共有A 22C 24＝2×4×32＝12种． 答案：127．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．解析：每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C 25＝10种．答案：108．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有________个．解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有C14·C25种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有C24·C15种方法．∴满足条件的三角形共有C14·C25＋C24·C15＝70个．答案：709．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解：(1)正方体8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C48－12＝58个．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C14＝48个．10．7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．解：(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有C36种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案C36＝20种．(2)第一步从7人中选取6人，有C67种选法；第二步从6人中选2人排一列有C26种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有C24种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法C67·C26·C24＝630种．层级二应试能力达标1．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25解析：选C从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26，故选C．2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为()A．76 B．78C．81 D．84解析：选A如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C39－8＝76．故选A．3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：选D若选1男3女有C14C33＝4种；若选2男2女有C24C23＝18种；若选3男1女有C34C13＝12种，所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．4．编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为() A．120 B．119C．110 D．109解析：选D5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A55种，其中3个号码一致的坐法有C35种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A55－C35－1＝109．5．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法(用数字作答)．解析：设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112．答案：1126．已知集合A＝{4}，B＝{1,2}，C＝{1,3,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C11C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由4,1,1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33．答案：337．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成．第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的2本书给丙，有C22种方法．根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C49·C35·C22＝1 260(种)．所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1 260种．(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C49C35C22A33＝7 560(种)．所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560种．8．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9．将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。

第三章 统计案例[A 基础达标]1．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －,y －) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C.R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C. 2．下列说法中正确的有：( ) ①若r ＞0，则x 增大时，y 也相应增大； ②若r ＜0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③解析：选C.若r ＞0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确，r ＜0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．3．若两个变量的残差平方和是325， i ＝1n（y i －y ―）2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( ) A ．64.8% B ．60% C ．35.2%D ．40%解析：选C.由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为325923≈0.352.4．有下列数据x 1 2 3 y35.9912.01A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：选A .分别把x ＝1，2，3，代入求值，求最接近y 的值，即为模拟效果最好，故选A . 5．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由K 2＝n （ad （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算得K 2＝250×50×30×70≈4.762.参照附表，得到的正确结论为( )A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”解析：选A .因为K 2≈4.762>3.841，P (K 2>3.841)＝0.05.所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A .6．某种活性细胞的存活率y (%)与存放温度x (℃)之间有如下几组样本数据：6 ℃时，该种细胞的存活率的预报值为________%.解析：设回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋a ^，因为x ―＝1，y ―＝50，则a ^＝y ―＋3.2x ―＝53.2.当x ＝6时，y ^＝－3.2×6＋53.2＝34. 答案：347．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x ＋1的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________． 解析：由y ＝3e2x ＋1，得ln y ＝ln (3e2x ＋1)，即ln y ＝ln 3＋2x ＋1，令u ＝ln y ，v ＝x ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2v . 答案：u ＝1＋ln 3＋2x (其中u ＝ln y )8．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：________的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关． 附：K 2＝n （ad －（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解析：K 2的观测值k ＝100×（20×55－20×5）240×60×25×75≈22.2＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关． 答案：22.2 0.0019．某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 c m 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K 2的观测值精确到0.001)? 解：(1)填写列联表如下：身高达标 身高不达标总计 经常参加体育锻炼 40 35 75 不经常参加体育锻炼10 15 25 总计5050100(2)由列联表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝100×（40×15－35×10）275×25×50×50≈1.333＜3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系． 10．某城市理论预测2011年到2015年人口总数与年份的关系如表所示：年份2011＋x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2018年该城市人口总数． 解：(1)散点图如图：(2)因为x ―＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ―＝5＋7＋8＋11＋195＝10，a ^＝y ―－b ^x ―＝3.6；所以线性回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝7，则y ^＝3.2×7＋3.6＝26.即估计2018年该城市人口总数为26十万．[B 能力提升]11．(2018·河南洛阳3月模拟)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损.东部 西部 9 8 83 3 72 1 09 · 9(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并整理了如下对照表：年龄x20 30 40 50 周均学习成语知识时间y2.5344.5根据表中数据，试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间．解：(1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99，得a <8，所以有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数， 所求概率为810＝45.a ^＝y －b ^x ＝3.5－7100×35＝2120.所以y ^＝7100x ＋2120.当x ＝60时，y ^＝5.25.即预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间为5.25小时．12．(选做题)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？(2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ，P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 k 05.0246.6357.879解：(1)由茎叶图可得正常 偏高 合计 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计281240K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝40×（16×8－4×12）220×20×28×12≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0，1，2，3，4，P (X ＝0)＝(1－45)2(1－35)2＝4625， P (X ＝1)＝C 1245(1－45)(1－35)2＋(1－45)2C 1235(1－35)＝44625， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝169625， P (X ＝3)＝C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝264625，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫352 ＝144625， 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.8， 即此项血液指标为正常的人数X 的数学期望为2.8.。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若a>b>c,则的值()A.大于0B.小于0C.小于或等于0D.大于或等于0解析因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.所以,所以>0,故选A.答案A2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.答案C3.若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是()A.P≤3B.P<3C.P≥3D.P>3解析因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,所以=3,即P<3.答案B4.不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为()A. B.C. D.解析由已知2∉M,可得2∈∁R M,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.答案B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时等号成立.答案C6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a的取值范围是()A.a<-1或a>3B.a<0或a>3C.-1<a<3D.-1≤a≤3解析|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,则它的最小值为2.∵原不等式的解集为⌀,∴a2-2a-1<2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.故选C.答案C7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A. B.C. D.6解析由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2×=62×.答案C8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n∈N+时,f(n)能被m(m∈N+)整除,猜想m的最大值为()A.9B.18C.27D.36解析当n=1时,f(1)=(2×1+9)·31+1+9=108.当n=2时,f(2)=(2×2+9)·32+1+9=360.故猜想m的最大值为36.(1)当n=1时,猜想成立.(2)当n=k(k≥1)时猜想成立,即f(k)=(2k+9)·3k+1+9能被36整除.当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+9]·3k+2+9=(2k+9+2)·3·3k+1+9=3[(2k+9)·3k+1+9]+6·3k+1-18=3[(2k+9)·3k+1+9]+18(3k-1).∵(2k+9)·3k+1+9,18(3k-1)均能被36整除,∴猜想成立.综上,m的最大值为36.答案D9.(2017 山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为()A.4B.6C.8D.9解析=(a-1,1),=(-b-1,2),∵A,B,C三点共线,∴2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得2a+b=1.又a>0,b>0,则=(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当b=2a=时,等号成立.故选C.答案C10.用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<”,假设正确的是()A.B是锐角B.B不是锐角C.B是直角D.B是钝角答案B11.实数a i(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为()A.3B.2C. D.1解析因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1+(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,所以[(a6+a5)-(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2.答案B12.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k=()A. B.C.3D.9解析因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,当且仅当=k时,等号成立,则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90,得k2(x2+y2+z2)=90,于是k=3.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为.解析2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7(当且仅当(x-a)2=1时,等号成立), 则a≥,即实数a的最小值为.答案14.不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是.解析不等式a≥|x-4|+|x-3|有解⇔a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.答案a≥115.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9当且仅当,即x=-1,y=-4,z=2时,等号成立.答案916.导学号26394074对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立,则实数x的取值范围是.解析依题意只需不等式的左边的最小值≥|a||x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解2|a|≥|a||x-1|即可,解得-1≤x≤3.答案[-1,3]三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.18.(本小题满分12分)已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.解(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵其解集为[0,4],∴解得m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.(方法二:利用柯西不等式)∵(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9,∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.(方法三:消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a.∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为.19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:>n!(n>1,n∈N+).(n!=n×(n-1)×…×2×1)证明(1)当n=2时,>2!=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即>k!.当n=k+1时,=+…+(k+1)·=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对n>1的一切自然数,不等式成立.20.(本小题满分12分)已知x+y>0,且xy≠0.(1)求证:x3+y3≥x2y+y2x;(2)如果恒成立,试求实数m的取值范围.(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)2≥0,所以x3+y3-(x2y+y2x)≥0,故x3+y3≥x2y+y2x.(2)解①若xy<0,则等价于.又因为=-3,即<-3,因此m>-6.②若xy>0,则等价于.因为=1,即≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故m≤2.综上所述,实数m的取值范围是(-6,2].21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)≥2;(2)当x∈R,0<y<1时,求证:|x+2|-|x-2|≤.(1)解由已知可得,f(x)=故f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4.∵0<y<1,∴0<1-y<1.∴[y+(1-y)]=2+≥4,当且仅当,即y=时,等号成立.∴|x+2|-|x-2|≤.22.(本小题满分12分)已知a,b,c为非零实数,且a2+b2+c2+1-m=0,+1-2m=0.(1)求证:;(2)求实数m的取值范围.(1)证明由柯西不等式得(a2+b2+c2)≥,即(a2+b2+c2)≥36.∴.(2)解由已知得a2+b2+c2=m-1,=2m-1,∴(m-1)(2m-1)≥36,即2m2-3m-35≥0,解得m≤-或m≥5.又a2+b2+c2=m-1>0,=2m-1>0,∴m≥5,即实数m的取值范围是[5,+∞).。