人教新课标版数学高二-选修2-2练习 模块综合检测A

学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2C ．2＋3i ＜3＋3iD ．2＋2i ＞2＋i 答案 B解析 本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线． 则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B解析 本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D解析 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]答案 B解析 n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案 B解析 由题中图象知ef ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析 由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C.3D ．2 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x＋1)d x －⎠⎛021d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 20＝43.故选B .8．设f(x)＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c ) 答案 A解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A.9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)＜x 2＋1，得f (x 2)－x 2＜1，即g (x 2)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)＜g (2)，∴x 2＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )A.92B.322C.32D.94答案 B解析z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝9 4，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.12．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )A．2x>3sin x B．2x<3sin xC．2x＝3sin x D．与x的取值有关答案 D解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．答案2＋i解析∵1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎪⎫S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 6 12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 632.15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．(1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，某某数m 的值． 解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1， 所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ， 所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ， 所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＞0得x ＜－13或x ＞1，令f ′(x )＜0得－13＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积． 解 作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，某某数k 的取值X 围． 解 f′(x )＝3ax 2－b . (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.21．(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．解 设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ， 又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，所以r ＝15h ，所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3，所以20t ＝π75h 3，所以h ＝31500πt ，于是h ′＝31500π·13·t － 23.当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5π，所以当h ＝10米时，水面上升速度为5π米/分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2k ＋1＋1－2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。

高二数学选修2-2综合测试卷一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--®xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为 （ ））A 2B -1C 1D -22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 1或2B 21-或2 C 21-D 23、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（的导数是（ ））A )(3bx a -B 2)(32bx a b -- C 2)(3bx a b - D 2)(3bx a b --4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（的切线的倾斜角的取值范围是（ ）） A ],0[p B ),43[)2,0(p p pÈ C ]43,2[]2,0[p ppÈ D ),43[]2,0[p p pÈ 5、已知0,,¹Îb a R b a 且，则在①ab b a ³+222；②2³+ba ab ；③2)2(b a a b +£；④2)2(222b a ba +£+这四个式子中，恒成立的个数是（这四个式子中，恒成立的个数是（ ））A 1个B 2个C 3个D 4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n nÎ-´×××´´´=+×××++ ”时，从“k n =”变到”变到 ““1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（”时，左边应增乘的因式是（ ）） A 12+k B112++k k C1)22)(12(+++k k k D132++k k7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+¥内是增函数，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）） A ),3(+¥ B ),3[+¥- C ),3(+¥- D )3,(--¥ 8、当n 取遍正整数时，nnii -+表示不同值得个数是A 1B 2C 3D 49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3[-3，，2]2]上有最大值上有最大值4。

选修2-2综合测试题一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．数列1,4,7,10，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝4nB ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝4n ＋22．(2009·辽宁高考)已知复数z ＝1－2i ，那么1z 等于( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2;B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2 4．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32B ．3C ．6D ．无法确定5．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 6．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，函数y ＝f (x )的图象大致是图中的( )9．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>110．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( ) A ．极大值为427，极小值为0； B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为52712．(2009·安徽高考)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)dx ＝________.14．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系x O y 中，点P 在曲线C ：y ＝x 2－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．15．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于________． 16．已知m ≥2，n ≥2且m 、n 为正整数，对m 的n 次幂进行如下图所示方式的“分裂”： 那么，以下几个关于“分裂”的叙述：①52的“分裂”中最大的数是9；②44的“分裂”中最小的数是13；③若m 3的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为5.其正确的叙述的序号是________．(写出所有正确的叙述的序号)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋ax ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．18．(本小题满分12分)(2009·天津高考)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．20．(本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．(本小题满分12分)(2009·安徽高考)已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝3，求f (x )在区间[1，e 2]上的值域，其中e ＝2.71828…是自然对数的底数．22．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，a 1＝b 1，a 2＝b 2≠a 1，记S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)若b k ＝a m (m ，k 是大于2的正整数)，求证：S k －1＝(m －1)a 1；(2)若b 3＝a i (i 是某个正整数)，求证：q 是整数，且数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项；(3)是否存在这样的正数q ，使等比数列{b n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．选修2-2综合测试题一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．数列1,4,7,10，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝4nB ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝4n ＋2解析：由4－1＝7－4＝10－7＝3，猜想数列为等差数列且公差为3， ∴数列的一个通项公式为a n ＝3n －2. 答案：B2．(2009·辽宁高考)已知复数z ＝1－2i ，那么1z 等于( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i 解析：1z ＝11－2i ＝15＋25i.答案：C3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2;B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A. 答案：A4．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32B ．3C ．6D ．无法确定解析：∵lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x ＝12f ′(1)＝3， ∴f ′(1)＝6.答案：C5．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 答案：A6．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，函数y ＝f (x )的图象大致是图中的( )解析：由y＝xf′(x)的图象可得当x<－1时，f′(x)>0，所以当x<－1时f(x)为增函数；当－1<x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,0)上为减函数；当0<x<1时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上减函数；当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上增函数，所以选择C.答案：C7．物体在地球上做自由落体运动时，下落距离s＝12·gt2，其中t为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若v＝s(1＋Δt)－s(1)Δt＝9.8m/s，则下列说法正确的是()A．0～1 s时间段内的速度为9.8 m/sB．在1 s～(1＋Δt) s时间段内的速度为9.8 m/sC．在1 s末的速度为9.8 m/sD．若Δt>0，则9.8 m/s是1 s～(1＋Δt)s时间段的速度，若Δt<0，则9.8 m/s是(1＋Δt)s～1 s时间段的速度解析：由导数的定义和几何意义可知，v＝s(1＋Δt)－s(1)Δt＝s′(t)|t＝1＝9.8 m/s，即物体在t＝1时的瞬时速度，即在1 s末的速度．故选C.答案：C8．△ABC内有任意三点不共线的2010个点，加上A、B、C三个顶点，共2013个点，把这2013个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为()A．4021 B．4022C．4023 D．4027解析：由题设条件知三角形内一个点，比原来多出两个三角形，如下图所示，由观察分析知a n＋1－a n＝2(a n表示三角形内部有n个点时，组成不重叠的小三角形的个数)，∴数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列．∴a n＝2n＋1(n∈N*)．∴a2010＝2×2010＋1＝4021.故选A.答案：A9．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1解析：f ′(x )＝1－ln xx 2，在(0，e)上f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上为增函数． ∴f (a )<f (b )． 答案：C10．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：由题中图象知e f′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)． 答案：B11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527解析：由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f (13)是极大值．答案：A12．(2009·安徽高考)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：∵f ′(x )＝sin θx 2＋3cos θx .f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]．∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．∴2sin(θ＋π3)∈[2，2]．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)dx ＝________.解析：∵⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)dx ＝x 3－12x 2＋x |a 0＝a 3－12a 2＋a . 答案：a 3－12a 2＋a14．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系x O y 中，点P 在曲线C ：y ＝x 2－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10.设切点P (x 0，y 0)(x 0<0)，则点P 处切线斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2(x 0<0)． ∴P (－2,15)． 答案：(－2,15)15．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于________． 解析：S ＝⎠⎛35[(x －2)2＋1]dx ＝⎠⎛35(x 2－4x ＋5)dx ＝(x 33－2x 2＋5x )|53＝323. 答案：32316．已知m ≥2，n ≥2且m 、n 为正整数，对m 的n 次幂进行如下图所示方式的“分裂”： 那么，以下几个关于“分裂”的叙述：①52的“分裂”中最大的数是9；②44的“分裂”中最小的数是13；③若m 3的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为5.其正确的叙述的序号是________．(写出所有正确的叙述的序号)解析：观察规律可知对m n 进行“分裂”，则m 表示可以分成几项，而右边“分裂”的数，都是相差为2的奇数．设a k 表示右边“分裂”后最小奇数，则有m n ＝ma k ＋(m －1)·m .所以52＝1＋3＋5＋7＋9；44＝4a k ＋12⇒a k ＝61.即44＝61＋63＋65＋67.m 3＝m ×21＋m (m －1)⇒m 2－m －20＝0⇒m ＝5或m ＝－4(舍)．故①③正确．答案：①③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋ax ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i ，将z ＝1－i 代入z 2＋a z ＋b ＝1＋i ，得(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝1＋i ，即(a ＋b)－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)(2009·天津高考)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m ，或x ＝1＋m . 因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：P A ⊥底面ABCD ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的几何意义．解：(1)∵AP →·AB →＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB .又∵AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD .(2)设AB →与AD →的夹角为θ，则 cos θ＝AB →·AD→|AB →|·|AD →|＝8－24＋1＋16·16＋4＝3105.V ＝13|AB →|·|AD →|·sin θ·|AP →|＝23105·1－9105·1＋4＋1＝16. (3)|(AB →×AD →)·AP →|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|(AB →×AD →)·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积)．20．(本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油(1128000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意，得h (x )＝(1128000x 3－380x ＋8)·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∵当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25. ∴h (x )在(0,120]上只有一个极值， ∵它是最小值，即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 21．(本小题满分12分)(2009·安徽高考)已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝3，求f (x )在区间[1，e 2]上的值域，其中e ＝2.71828…是自然对数的底数．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根，x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.此时f (x )在(0)上单调递增．(2)当a ＝3时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝1，x 2＝2.由(1)知，在(1，e 2)内，当x ＝2时f (x )取得极值，f (1)＝0，f (2)＝2－3ln2， f (e 2)＝e 2－2e －2－5.因为f (2)<f (1)<f (e 2)，所以f (x )在区间[1，e 2]上的值域为[2－3ln2，e 2－2e －2－5]．22．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，a 1＝b 1，a 2＝b 2≠a 1，记S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)若b k ＝a m (m ，k 是大于2的正整数)，求证：S k －1＝(m －1)a 1；(2)若b 3＝a i (i 是某个正整数)，求证：q 是整数，且数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项；(3)是否存在这样的正数q ，使等比数列{b n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．解：(1)设{a n }的公差为d . 由a 2＝b 2得a 1＋d ＝a 1q ≠a 1， 知q ≠1且d ＝a 1(q －1)≠0. ∵{b n }为等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q.b k ＝a 1·q k －1＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋(m －1)·a 1(q －1)．∵a 1≠0，∴q k －1＝1＋(m －1)(q －1)． ∴S k －1＝a 1(1－q k －1)1－q ＝a 1(m －1)(1－q )1－q＝a 1(m －1)成立．(2)b 3＝a 1·q 2＝a 1＋(i －1)d ＝a 1＋(i －1)a 1(q －1)， ∴q 2＝1＋(i －1)(q －1)． ∵q ≠1，∴q ＋1＝i －1. ∴q ＝i －2. ∵i 为整数，∴i －2为整数，即q 为整数． 用数学归纳法证明：①由以上推理及题设知{b n }的前三项满足． 即n ＝1,2,3时结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立 即存在p ∈N *使b k ＝a p .。

n（n－ 1）
解析： 若 { an} 是等差数列，则 a1＋ a2＋…＋ an＝ na1＋
2
d，
（ n－ 1） d
d
∴ bn＝ a1＋
2
d＝ 2n＋ a1－2，即 { bn} 为等差数列；
n（n－ 1）
若 { cn} 是等比数列，则 c1· c2·…· cn＝ cn1·q1＋2＋…＋ ( n－1) ＝ cn1· q
13 2，－ 2 ，它到原点的距离为
（1） 2＋（－ 3） 2＝
10 . 故选 D.
2
2
2
31 1 3 3． i 是虚数单位，则 ( i － )( － ＋ i) ＝( D)
2 2 22
13
13
A． 1
B
．－ 2＋ 2 i C. 2－ 2 i
D
13 ．－ 2－ 2 i
解析：
3 2i
1 －2
13 －2＋ 2 i
A．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线
解析： 设 z＝ x＋ yi( x、 y∈R)， | x＋1＋ yi| ＝ （ x＋ 1） 2＋ y2，
|1 ＋ i z| ＝ |1 ＋ i( x＋ yi)| ＝
（
y
－
1
）
2
＋
x
2
，则
（
x＋
1
）
2
＋
y
2
＝
（
y－
1）
2
＋
x
2
.
∴复数 z＝ x＋ yi 对应点 ( x， y) 的轨迹为到点 ( － 1， 0) 和 (0 ， 1) 距离相等的直线．
模块综合检测卷
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有