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2017_2018学年高中数学模块综合检测(二)(含解析)新人教A版必修2

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模块综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a ＝( ) A ．3 B ．－2 C ．－2或3D ．－3或2解析：选A 因两直线平行，所以a (a －1)－2×3＝0，解得a ＝3或a ＝－2.经检验，当a ＝－2时，两直线重合，故选A.2．若空间直角坐标系中，x 轴上一点P 到点Q (3,1,1)的距离为3，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0,0) B ．(2,0,0)C ．(4,0,0)D ．(2,0,0)或(4,0,0)解析：选D 由题意，设P (a,0,0)，则|PQ |＝a －2＋1＋1＝3，解得a ＝2或a ＝4.3．直线l ：ax ＋by ＝0和圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0在同一坐标系的图形只能是( )解析：选 D 可知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，－b 2，半径r ＝12a 2＋b 2，则圆心到直线的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2＋b2＝12a 2＋b 2＝r ，∴直线与圆相切，由此排除A ，B ，C ，选D.4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线l ：x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 可知C 1(－1,1)，直线l 的斜率为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，则kC 1C 2＝b －1a ＋1，线段C 1C 2的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12.∵圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，∴线段C 1C 2被直线l 垂直平分，∴有⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1·1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，故选A.5．面积为Q 的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( ) A ．πQ B ．2πQ C ．3πQD ．4πQ解析：选B 设正方形边长为a ，则a ＝Q ，S 侧＝2π·a ·a ＝2πQ . 6．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③解析：选D 对于①，m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，所以①是假命题；②是真命题；对于③，m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β，若n ∥β，必有m ⊥n ，所以③是真命题，从而④是假命题，故选D.7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A.2π3B.π3C.2π9D.16π9解析：选D 由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为V ＝13×13×π×22×4＝16π9. 8．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为( ) A ．4(33＋4) B ．12(3＋2) C ．12(23＋1)D ．3(3＋8)解析：选B 如图所示，S ＝12×34×22＋6×2×2＝123＋24 ＝12(3＋2)．9．三棱锥P ­ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 一定为△ABC 的( ) A ．垂心 B ．外心 C ．内心D ．重心解析：选A 若三棱柱的三个侧面两两垂直，则三条侧棱两两垂直(可以证明，略)，根据线面垂直的判定与性质可知，H 一定为△ABC 的垂心．10．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，D 为垂足，以AD 为折痕，将△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD ⊥CD ；②BD ⊥AC ；③AD ⊥面BCD ；④△ABC 是等边三角形． 其中正确的结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D ∵AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，∴∠BDC 是二面角B ­AD ­C 的平面角．又平面ABD ⊥平面ACD ，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD ，同时，AD ⊥平面BCD, BD ⊥平面ACD ，∴BD ⊥AC ，∵DA ＝DB＝DC ，∴Rt △ABD 、Rt △BCD 、Rt △ACD 全等， ∴△ABC 是等边三角形，故①②③④均正确．二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．圆x 2＋y 2－4x －2y －11＝0上的点到直线x ＋y －13＝0的最大距离与最小距离之差是________．解析：圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝16，圆心到直线的距离为d ＝|2＋1－13|12＋12＝52，所以，圆上的点到直线的最大距离为52＋4，圆上的点到直线的最小距离为52－4，所以，最大距离与最小距离之差是8.答案：812．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：60°13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为________．解析：此几何体是三棱锥P ­ABC (直观图如图)，底面是斜边长为4的等腰直角三角形ACB ，且顶点在底面内的射影D 是底面直角三角形斜边AB 的中点．易知，三棱锥P ­ABC 的外接球的球心O 在PD 上．设球O 的半径为r ，则OD ＝23－r ，∵CD ＝2，OC ＝r ，∴(23－r )2＋22＝r 2，解得r ＝43，∴外接球的表面积为4πr 2＝64π3.答案：64π314．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则实数m 的取值范围是________.解析：∵直线y ＝kx ＋2k 即y ＝k (x ＋2)，∴直线经过定点M (－2,0)，因为直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则点M 在圆上或圆内，所以将M 的坐标代入，得(－2)2＋02＋(－2)m ＋4≤0，解之得m ≥4，又因为方程x 2＋y 2＋mx ＋4＝0表示圆，所以m 2＋02－16>0，解之得m <4，或m >4，综上所述，实数m 的取值范围是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分10分)求与点P (4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程． 解：设所求直线方程为y ＝kx 或x a ＋y a＝1(a ≠0)． 对于y ＝kx,5＝|4k －3|k 2＋－2，9k 2＋24k ＋16＝0，解之得k ＝－43.对于x ＋y ＝a,5＝|4＋3－a |12＋12， 解之得a ＝7＋52或7－5 2.故所求直线方程为y ＝－43x 或x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0.16．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0，直线l 1：x －3y －3＝0.(1)求证：不论m 取何值，圆心必在直线l 1上； (2)与l 1平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离． 解：(1)证明：将圆的方程化为标准方程为 (x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25， ∴圆心是(3m ，m －1)． ∵3m －3(m －1)－3＝0，∴不论m 取何值，圆心必在直线l 1上．(2)设与直线l 1平行的直线l 2的方程为x －3y ＋b ＝0(b ≠－3)， 则圆心到直线l 2的距离为d ＝|3m －m －＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径r ＝5， ∴当d ＜r ，即|3＋b |10<5，亦即－510－3<b <510－3且b ≠－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即|3＋b |10＝5，b ＝－510－3或b ＝510－3时，直线与圆相切；当d ＞r ，即|3＋b |10>5，b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．17．(本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心C 在直线x ＋3y －15＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)设点Q (－1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积．解：(1)法一：依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x ＋3y －15＝0的交点， ∵AB 中点为(1,2)，斜率为1，∴AB 垂直平分线方程为y －2＝－(x －1)， 即y ＝－x ＋3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6.即圆心C (－3,6)，半径r ＝4＋36＝210， 所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40. 法二：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意求出a ＝－3，b ＝6，r ＝210， 所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40. 法三：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 依题意求出D ＝6，E ＝－12，F ＝5， 所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋6x －12y ＋5＝0. (2)点Q (－1，m )(m >0)在圆C 上， ∴m ＝12或m ＝0(舍去)，|AQ |＝12，点B 到直线AQ 的距离为4. 所以△QAB 的面积为24.18.如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1)FD ∥平面ABC ； (2)AF ⊥平面EDB .证明：(1)取AB 的中点M ，连接FM ，MC .∵F ，M 分别是BE ，BA 的中点，∴FM ∥EA ，FM ＝12EA ＝a .∵EA ，CD 都垂直于平面ABC ， ∴CD ∥EA ，∴CD ∥FM . 又∵DC ＝a ，∴FM ＝DC ， ∴四边形FMCD 是平行四边形， ∴FD ∥MC .∵FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ， ∴FD ∥平面ABC .(2)∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， ∴CM ⊥AB .又∵CM ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ， ∴CM ⊥平面EAB ，∴CM ⊥AF . 又∵CM ∥FD ，∴FD ⊥AF .∵F 是BE 的中点，EA ＝AB ，∴AF ⊥BE . 又∵FD ∩BE ＝F ，∴AF ⊥平面EDB .19．(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCP 中，CP ∥AB ，CP ⊥CB ，AB ＝BC ＝12CP ＝2，D 是CP 中点，将△PAD 沿AD 折起，使得PD ⊥面ABCD .(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥A ­PEB 的体积． 解：(1) 证明：∵PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥AD .又由于CP ∥AB ，CP ⊥CB ，AB ＝BC ， ∴ABCD 是正方形， ∴AD ⊥CD ，又PD ∩CD ＝D ，故AD ⊥平面PCD, ∵AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD .(2)∵AD ∥BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC ，∴点A 到平面PBC 的距离即为点D 到平面PBC 的距离． 又∵PD ＝DC ，E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC .由(1)知有AD ⊥平面PCD ，∴AD ⊥DE . 由题意得AD ∥BC ，故BC ⊥DE .于是，由BC ∩PC ＝C ，可得DE ⊥平面PBC . ∴DE ＝2，PC ＝22， 又∵AD ⊥平面PCD ， ∴AD ⊥CP ，∵AD ∥BC ，∴CP ⊥BC ，∴S △PEB ＝12S △PBC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×BC ×PC ＝2， ∴V A ­PEB ＝V D ­PEB ＝13×DE ×S △PEB ＝23.20．(本小题满分12分)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1， 设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以，MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。

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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3：模块综合检测 Word版含解析

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的有()①回归方程适用于一切样本和总体．②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③解析：选B回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B．2．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有() A．24种B．52种C．10种D．7种解析：选A因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有24种不同走法．3．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则(D(X))2(E(X))2等于()A．p2B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不对解析：选B因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以(D(X))2 (E(X))2＝[np(1－p)]2(np)2＝(1－p)2．故选B．4．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是() A．1 B．－1C．0 D．2解析：选A令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4．所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1．5．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，则P (ξ>4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④解析：选B ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称轴为x ＝4，所以P (ξ>4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越大．6．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4]解析：选C 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．7．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0．9,0．8,0．7，那么此系统的可靠性为( )A ．0．504B ．0．994C ．0．496D ．0．06解析：选B A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P ＝1－(1－0．9)×(1－0．8)(1－0．7)＝1－0．1×0．2×0．3＝0．994．8．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0．02．设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于( )A ．0．2B ．0．8C ．0．196D ．0．804解析：选C 因为由题意知该病的发病率为0．02，且每次试验结果都是相互独立的，所以ξ～B (10,0．02)，所以由二项分布的方差公式得到D (ξ)＝10×0．02×0．98＝0．196．故选C ． 9．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为( )A ．141B ．191C ．211D ．241解析：选B 由题意，x ＝－1＋3＋8＋12＋175＝7．8，y ＝3＋40＋52＋72＋1225＝57．8，因为回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，所以57．8＝6×7．8＋a ^，所以a ^＝11，所以y ^＝6x ＋11，所以x ＝30时，y ^＝6×30＋11＝191，故选B ． 10．如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )A ．72B ．96C ．108D ．120解析：选B 颜色都用上时，必定有两块同色，在图中，同色的可能是1,3或1,5或2,5或3,5．对每种情况涂色有A 44＝24种，所以一共有96种．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C ．⎝⎛⎭⎫0，23 D ．⎝⎛⎭⎫0， 13 解析：选B 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1． 12．(全国丙卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1．不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫342＝916． 所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2次试验中成功次数E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32．法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32．答案：3214．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表根据列联表数据，求得K 2≈__________．解析：由计算公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2≈7．469． 答案：7．46915．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．解析：十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16．答案：1616．某射手射击1次，击中目标的概率是0．9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0．9；②他恰好击中目标3次的概率是0．93×0．1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0．14．其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率是0．9，正确；②恰好击中目标3次的概率应为C 34×0．93×0．1；③4次射击都未击中的概率为0．14； 所以至少击中目标1次的概率为1－0．14． 答案：①③三、简答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r2， 令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16． 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意知2n＝16，得n＝4．由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有C24a4＝54，解得a＝±3．18．(本小题满分12分)(全国甲卷)某险种的基本保费为a(单元：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝1－(0．30＋0．15)＝0．55．(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0．1＋0．05＝0．15．又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311．因此所求概率为3 11．(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为EX＝0．85a×0．30＋a×0．15＋1．25a×0．20＋1．5a×0．20＋1．75a×0．10＋2a×0．05＝1．23a．因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1．23．19．(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20～80岁(含20岁和80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)岁的人为“中年人”，[60,80]岁的人为“老年人”．(1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上(含60岁)的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由频率分布直方图可知60岁以上(含60岁)的频率为(0．01＋0．01)×10＝0．2， 故样本中60岁以上(含60岁)的人数为600×0．2＝120，故该城市60岁以上(含60岁)的人数为120÷1%＝12 000．所调查的600人的平均年龄为25×0．1＋35×0．2＋45×0．3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48(岁)． (2)由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为15，所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15，分析可知X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125． 所以X 的分布列为EX ＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35．⎝⎛⎭⎫或EX ＝3×15＝3520．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i ．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0．2y －x ．根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u ．解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6．8＝100．6， 所以y 关于w 的线性回归方程y ^＝100．6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100．6＋68x ． (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100．6＋6849＝576．6，年利润z 的预报值z ^＝576．6×0．2－49＝66．32． ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0．2(100．6＋68x )－x ＝－x ＋13．6x ＋20．12．所以当x ＝13.62＝6．8，即x ＝46．24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．21．(本小题满分12分)PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物．我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2．5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)从这15天的PM2．5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率．(2)从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望．(3)以这15天的PM2．5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．解：(1)记“从15天的PM2．5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，P (A )＝C 15C 210C 315＝4591．(2)依据条件，ξ服从超几何分布：ξ的可能值为0,1,2,3， 其分布列为：P (ξ＝k )＝C k 5C 3－k10C 315(k ＝0,1,2,3)．则E (X )＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1，(3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P ＝1015＝23， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η， 则η～B ⎝⎛⎭⎫360，23， 所以E (η)＝360×23＝240，所以一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级．22．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)由分层抽样得收集的女生样本数据为300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得2×(0．150＋0．125＋0．075＋0．025)＝0．75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0．75．(3)由(2)知，300名学生中有300×0．75＝225人的每周平均体育运动时间超过4个小时．75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2的观测值k＝300×(－2 250)275×225×210×90≈4．762>3．841．在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．。

2017-2018学年高中数学必修2模块综合检测题含答案

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2017-2018学年高中数学必修2模块综合检测题 2018.1.23本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＝tan 60°的倾斜角是( ) A ．90° B ．60° C ．30°D ．不存在2．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行； ④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )4．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β C ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m D ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β5．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝08．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或011．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．在平面直角坐标系中，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)的距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．一个三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1，6，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为.14．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________．15．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．16．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0，若圆C 和坐标轴的交点间线段恰为圆C ′直径，则圆C ′的标准方程为__________________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．18．(本小题满分12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为62的直线AB的方程．19．(本小题满分12分) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点，求证P A∥平面EDB．20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．(1)求证D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．21．(本小题满分12分)已知M 与两定点O (0,0)、A (3,0)的距离之比为12．(1)求M 点的轨迹方程；(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′的方程．22．(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°．PD 垂直底面ABCD ，PD ＝22R ，E ，F 分别是PB ，CD 上的点，且PE EB ＝DFFC，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．(1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；(2)证明：△EFG 是直角三角形； (3)当PE EB ＝12时，求△EFG 的面积．必修2模块综合检测题参考答案【第1题解析】直线方程为，直线的倾斜角为.故选A【第2题解析】①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l 1、l 2可以异面、相交，④与l 1、l 2都相交的两直线可以相交，故选D ．∴SO ＝r ，又∵O 在AB 上，AB ＝2r ，AC ＝r ，∠ACB ＝90°∴BC ＝r ，∴V S －ABC ＝31×21×r ×r ×r ＝31r 3．又∵球的体积V ＝34πr 3，∴VS －ABC V ＝r31＝4π．故选D . 【第6题解析】连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，∵E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，∴EF ∥21A 1B ，GH ∥21BC 1， ∴∠A 1BC 1即为异面直线EF 与GH 所成的角．又∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体 ∴A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°．故选B .【第7题解析】直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点为A (1,1)，点(－1,0)关于x ＝1的对称点为B (3,0)也在所求直线上，∴所求直线方程为y －1＝－21(x －1)，即x ＋2y －3＝0．故选D 【第8题解析】关键利用折叠前后不变的垂直关系，如图所示，可知∠BDC 为二面角的平面角，设 BD ＝CD ＝a ，则可求BC ＝AB ＝AC ＝a ，故∠BDC ＝90°．故选A. 【第9题解析】设直线方程为和，再把（1,1）代入直线的方程即得直线方程，故选D.【第10题解析】圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则圆心为(1,2)．由点到直线的距离公式得d ＝2|1－2＋a|＝22，解得a ＝2或0．故选C .【第11题解析】可先求出圆心到直线的距离d ＝，由于半径为2，设圆心角为θ，则知cos 2θ＝23，∴θ＝60°．故选C.【第12题解析】满足要求的直线应为圆心分别为A 、B ，半径为1和2的两圆的公切线，而圆A 与圆B 相交，所以公切线有两条．故选B.长为4．∴球半径为2，S 球＝4πR 2＝16π．故填16π .【第16题解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0与x 轴没有交点，只与y 轴相交，取x ＝0，得y 2－6y ＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C ′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x 2＋(y －3)2＝1．故填x 2＋(y －3)2＝1 . 【第17题答案】x －2y ＋4＝0．【第17题解析】由4x －3y ＋16＝03x ＋4y ＋12＝0，解得交点B (－4,0)，∵BD ⊥AC ，∴k BD ＝－kAC 1＝21，∴AC 边上的高线BD 的方程为y ＝21(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0．【第18题答案】x ＋y －2＝0或7x ＋17y ＋26＝0．【第18题解析】由题意知，直线AB 的斜率存在，且|AB |＝6，OA ＝2，作OC ⊥AB 于C ． 在Rt △OAC 中，|OC |＝＝．设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y ＋4＝k (x －6)，即kx －y －6k －4＝0． ∵圆心到直线的距离为，∴1＋k2|6k ＋4|＝，即17k 2＋24k ＋7＝0，∴k ＝－1或k ＝－177． 故所求直线的方程为x ＋y －2＝0或7x ＋17y ＋26＝0． 【第19题答案】证明见解析【第20题答案】（1）证明见解析；（2）当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ． 【第20题解析】(1)证明在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ，∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形，∴DC 1⊥D 1C ． 又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ，∴AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，∴AD ⊥D 1C ． ∵AD ，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ，∴D 1C ⊥平面ADC 1，又AC 1⊂平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1．(2)解在DC 上取一点E ，连接AD 1，AE ，设AD 1∩A 1D ＝M ，BD ∩AE ＝N ，连接MN ，∵平面AD 1E ∩平面A 1BD ＝MN ，要使D 1E ∥平面A 1BD ，须使MN ∥D 1E ，又M 是AD 1的中点． ∴N 是AE 的中点．又易知△ABN ≌△EDN ，∴AB ＝DE ．即E 是DC 的中点． 综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ． 【第21题答案】（1）(x ＋1)2＋y 2＝4；（2）5192＋5122＝4．【第21题解析】 (1)设M 坐标为(x ， y )，由题意得2＋y2x2＋y2＝21，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4．所以M 点的轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4．(2)因为曲线C ：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′是与C 半径相同的圆，故只需求C ′的圆心坐标即可，设C ′的圆心坐标(x 0，y 0)． 由题意得－4＝0y0，解得512．故曲线C ′的方程为5192＋5122＝4． 【第22题答案】（1）1166；（2）证明见解析；（3）94R 2．在△P AB 中，P A 2＋AB 2＝PB 2，即△P AB 是以∠P AB 为直角的三角形，设点D 到面P AB 的距离为h ， 由V P —ABD ＝V D —P AB 有P A ·AB ·h ＝AB ·AD ·PD ，即h ＝PA AD ·PD ＝R 2R ＝1166R ，∴sin θ＝BD h ＝1166． (2)证明 ∵EG ∥BC ，∴EB PE ＝GC PG ．而EB PE ＝FC DF ，∴GC PG ＝FC DF，∴GF ∥PD ，∴GF ⊥BC ．而BC ∥EG ， ∴GF ⊥EG ，∴△EFG 是直角三角形．(3)解 当EB PE ＝21时，BC EG ＝PB PE ＝31，PD GF ＝CD CF ＝32，即EG ＝31BC ＝31×2R ×sin45°＝32R ， GF ＝32PD ＝32×2R ＝32R ，∴S △EFG ＝21EG ·GF ＝21×32R ×32R ＝94R 2．。

2017-2018学年人教A版高中数学五模块综合评价(二)含答案

2017-2018学年人教A版高中数学五模块综合评价(二)含答案

模块综合评价(二)（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ）A．若a，b,c是等差数列，则log2a,log2b，log2c是等比数列B．若a,b，c是等比数列，则log2a，log2b,log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列解析:错误!＝2b－a，错误!＝2c－b，因为a,b，c成等差数列，所以c－b＝b－a，所以2b－a＝2c－b,即错误!＝错误!。

答案：C2．在△ABC中，A＝135°,C＝30°,c＝20，则边a的长为（) A．10错误!B．20错误!C．20错误!D。

错误!解析：由正弦定理：asin A＝错误!,所以a＝错误!＝错误!＝20错误!。

答案：B3．不等式2x2＋mx＋n〉0的解集是{x｜x〉3或x〈－2｝，则m，n的值分别是( )A．2，12 B．2,－2C．2，－12 D．－2,－12解析:由题意知－2，3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－错误!，－2×3＝错误!，所以m＝－2，n＝－12.答案：D4．在等差数列｛a n}中，首项a1＝0,公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ）A．37 B．36 C．20 D．19解析:由a m＝a1＋a2＋…＋a9得（m－1)d＝9a5＝36d⇒m＝37.答案：A5．不等式(x－2y＋1）（x＋y－3）〈0表示的区域为（)A BC D解析：利用点（4，0）判断不等式(x－2y＋1）·(x＋y－3)<0，故排除选项A、B、D.答案：C6．若三条线段的长分别为3、5、7,则用这三条线段（)A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形解析:由余弦定理：设最大角为A，则cos A＝错误!＝－错误!＜0，所以A为钝角．答案：C7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式42－36＋45＜0成立的x的取值范围是( )A。

2017-2018学年高中人教A版数学必修二：模块综合测评

2017-2018学年高中人教A版数学必修二：模块综合测评

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2D ．4【解析】 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6.【答案】 A2．在x 轴、y 轴上的截距分别是－2、3的直线方程是( ) A ．2x －3y －6＝0 B ．3x －2y －6＝0 C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0【解析】 由直线的截距式得，所求直线的方程为x －2＋y3＝1，即3x －2y ＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.223 C.423D.433【解析】 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝323π，∴R ＝2.又∵3a ＝2R ＝4，∴a ＝433.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )图1A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【解析】 取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，则∠EFH 为所求， 可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，从而可得∠EFH ＝30°. 【答案】 D6．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )图2A.2π3 B ．π C.4π3D ．2π【解析】 由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V ＝V 柱－2V 半球＝π×12×2－2×12×4π3×13＝2π3，选A.【答案】 A7．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k ＞0，所以k ＜2.由题意知点P (1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k ＞0，解得k ＞－2，所以－2＜k ＜2.【答案】 C8．如图3，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )图3A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部【解析】 因为BC 1⊥AC ，BA ⊥AC ，BC 1∩BA ＝B ， 所以AC ⊥平面BC 1A .所以平面BAC ⊥平面BC 1A .因为C 1H ⊥平面ABC ，且H 为垂足，平面ABC ∩平面BC 1A ＝AB ，所以H ∈AB . 【答案】 B9．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【解析】 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝132.【答案】 C10．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85D.125【解析】 P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34，∴k l ＝43，∴a ＝4，∴m 的直线方程为4x －3y ＝0，l 的直线方程为4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋32＝4.【答案】 A11．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若PA 长度的最小值为2，则k 的值是( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2【解析】 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心是(0,1)，半径是r ＝1，∵PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，PA 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5，∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D ­ABC 的体积为( )A.212a 3B.a 312C.24a 3D.a 36【解析】 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ，V D ­ABC ＝13S △ABC ·DO＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3，5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得x －2＋y －2＝－2＋－2，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.【解析】 如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 【答案】 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．【解】 若直线l 1，l 2的斜率都不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，此时l 1，l 2之间距离为5，符合题意；若l 1，l 2的斜率均存在，设直线的斜率为k ，由斜截式方程得直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，由点斜式可得直线l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0，在直线l 1上取点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|1＋5k |1＋k2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125. ∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0. 综上知，满足条件的直线方程为l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. (1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【解】 (1)证明：圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0化为标准方程分别为圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5与圆C 2：x 2＋(y －1)2＝5，则圆心坐标分别为C 1(2，－1)与C 2(0,1)，半径都为5，故圆心距为－2＋－1－2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，得x －y －1＝0.19．(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：图4(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.【证明】 (1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ，∴AC ⊥BC 1，又B 1C 1CB 为正方形，∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，又A (0,1)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12， 代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502， 所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图5，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图5(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E ­ABC 的体积．【解】 (1)证明：在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG . 又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)， 半径r ＝－2＋－1－2＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋－b2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |， 所以S ＝2|PC |， 而|PC |＝|PM |2－|CM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PCMD 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。