2018届衡水点睛大联考高三第四次联考文科数学试题 及
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数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题） 和第Ⅱ卷（ 非选择题） 两部
分, 总分1 5 0分, 考试时间1 2 0分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）
一、 选择题（ 本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求
的。 ）
1．设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合21{|()4}2Nx , 则
M∪N= （ ）
A．{ x | x-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x<-1} D．{ x | x
-2}
2．若x∈（ e－1, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则 （ ）
A．a
（ ）
A．y=-1 B．y=-1
C．x=-1 D．x=-1
4．右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其
俯视图是面积
为82的矩形, 则该几何体的表面积是
（ ）
A．2 0+8 2 B．2 4+8 2
C．8 D．16
5．若函数()fx同时具有以下两个性质: ①()fx 是偶函数; ②
对任意实数x, 都有()()44fxfx 。则()fx的解析式可以
是 （ ）
A．()fx =cos x B．()fx
=cos(2)2x
C．()fx = sin(4)2x D．()fx =cos 6 x
6．已知命题p︰∃x0∈R, e x－m x=0, q︰∀x∈R, x 2+m x+1≥0, 若
p∨（q） 为假命题,则实数 m 的取值范围是 （ ）
A．（-∞, 0） ∪（ 2, +∞） B．[ 0, 2]
C．R D．Ø
7．若实数x、 y满足不等式组5230.10yxyxy 则z=| x |+2 y的最
大值是 （ ）
A．1 0 B．1 1 C．1 3 D．1 4
8．已知数列{an} 满足a1=1, 且111()(233nnnaan, 且n∈N*） ,
则数列{ an} 的通项公
式为 （ ）
A．32nnan B．23nnna
C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n
9．已知F1、 F2 为双曲线 C︰x2-y2=1的左、 右焦点, 点 P 在
C 上, | P F1|=2 | P F2|, 则
c o s ∠F1P F2= （ ）
A．14 B．34 C．35 D．45
10. 函数()cosfxx在[ 0, +∞) 内 ( )
A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点
C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多
个零点
11．与向量7117(,),(,)2222ab的夹角相等, 且模为1的向量是
（ ）
A．43(,)55 B．43(,)55或43(,)55
C．221(,)33 D．221(,)33 或221(,)33
12．在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的方程为x2+y2-8 x+1 5=0,
若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径
为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是 （ ）
A．－34 B．－54 C．－35 D．－53
第Ⅱ卷（非选择题,共9 0分）
二、 填空题（ 本大题共4个小题, 每小题5分, 共2 0分, 请
把正确的答案填写在各小题的横线上。 ）
13． 已知2()12xfxxogx则(1)(2)(3)(8)ffff的值
为 。
14.已知底面边长为 2, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥
P-A B C 的四个顶点都在同一球面上, 则此球的表面积
为 。
15．若在区间[ 0, 1] 上存在实数x使2x（3 x+a）<1成立, 则a
的取值范围是 。
16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右
焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, △P
F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与
双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1·e2 的取值范围
为 。
三、 解答题（ 本大题共6个小题, 共7 0分, 解答应写出文
字说明、 证明或演算步骤。 ）
17．（12分） 在△A B C 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、
b、c, 函数
()2cossin()sin()fxxxAAxR
在512x处取得最大值。
（1） 当x∈（ 0, 2） 时, 求函数()fx的值域;
（2） 若a=7且133sinsin14BC , 求△A B C 的面积。
18．（1 2分） 若{ an} 是各项均不为零的等差数列, 公差为d,
Sn 为其前n 项和, 且满足2*21,nnaSnN。数列{ bn} 满足
11.nnnbaa
为数列{ bn} 的前n项和。
（Ⅰ） 求an 和Tn;
（Ⅱ） 是否存在正整数 m、 n（ 1
m、 n的值; 若不存在, 请说明理由。
19． ( 1 2分) 如右图, 已知三棱柱A B C—A1B1C1。
(Ⅰ) 若 M、 N 分别是A B, A1C 的中点, 求证: MN∥平面
BCC1B1。
(Ⅱ) 若三棱柱A B C-A1B1C1 的各棱长均为2, ∠B1B A=∠B1B
C=
6 0 °, P 为线段B1B 上的动点, 当P A+ +P C 最小时, 求
证: B1B⊥平面APC。
20．（ 1 2分） 已知点A（ -4, 4） 、 B（ 4, 4） , 直线AM
与BM 相交于点M, 且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率
之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线C。
（ Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程;
（ Ⅱ） Q 为直线y=-1上的动点, 过 Q 做曲线C 的切线, 切
点分别为 D、 E, 求△Q D E 的面
积S的最小值。
21． (1 2分) 已知函数()bfxaxcx( a>0) 的图像在点( 1, f( 1) )
处的切线方程为y=x-1。
( 1) 用a表示出b、 c;
( 2) 若()1fxnx在[ 1, +∞) 上恒成立, 求a的取值范围;
( 3) 证明: 11111(1)(1)232(1)nnnnnn。
请考生在第2 2~2 4三题中任选一题做答, 如果多做, 则按
所做的第一题记分。
22．（1 0分） 【选修4-1︰几何证明选讲】
如右图, A B 是☉O 的直径, A C 是弦, ∠B A C 的平分线AD
交☉O 于点D, D E⊥A C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD
于点F。
（Ⅰ） 求证: D E 是☉O 的切线;
（Ⅱ） 若25ACAB, 求AFDF的值。
23．（1 0分） 【 选修4-4︰坐标系与参数方程】
已知在平面直角坐标系x O y中, 直线l的参数方程是
2
2
2
422xtyt
（t是参数） , 以原
点O 为极点, O x为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为
2cos()4p
。
（1） 求圆心C 的直角坐标;
（2） 由直线l上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值。
24．（1 0分） 【 选修4-5︰不等式选讲】
已知()fx =| 2 x-1 |+a x-5（ a是常数, a∈R） 。
（Ⅰ） 当a=1时求不等式()fx0的解集;
（Ⅱ） 如果函数y=()fx恰有两个不同的零点, 求a的取值范
围。
