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【整理】习题答案第二章(20210302164702)

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第二章开放式光腔与高斯光束习题1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，有12RRL往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔的稳定性条件为0

图2.1 解：22222101011211110101442132221ABllCDffllllfffllflf221312llADff稳定条件223111llff左边有22320210llffllff所以有21llff或对子午线：对弧矢线：有：或所以同时还要满足子午线与弧失线cos2Rf子午2cosRf弧失223cosLR21cosLR4243333lRlRl或

5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，20.12cmda，λ=632.8nm，镜的反射率为121,0.96rr，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。解：设01TEM模为第一高阶模，并且假定00TEM和01TEM模的小信号增益系数相同，用0g表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得00TEM和01TEM模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算。代入已知条件有0e1.075gl。将0egl、00、01、1r和2r的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求010.047根据图2.5.5可以查出对应于01的腔菲涅耳数'0.90N04e1310glld0012001201e(10.003)1 Ie(10.003)1 IIglglrrrr2270.061.930632.810aNL8.3700601101004e1310glLd43343923lRlRl或由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长62'2300632.8100.90.83mmaLN因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现00TEM模单模振荡。6．试求出方形镜共焦腔面上30TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的30TEM模的场分布可以写成令2/()XLx，则I式可以写成22(/)30303(,)HexyLvxyCX式中3HX为厄米多项式，其值为33H8-12XXX由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令3H0X，得1230;3/2;3/2XXX考虑到0s/L，于是可以得到镜面上的节点位置所以，30TEM模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和0s3/2处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为0s3/2；而沿y方向没有节线分布。8．今有一球面腔，11.5mR，21mR，80cmL。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为由此，120.85gg，满足谐振腔的稳定性条件1201gg，因此，该腔为稳定腔。两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为22(/)303032(,)He IxyLvxyCxL

120s30s330;;22xxx

1110.47LgR2211.8LgR211212121212212()1.31m()()()0.51m()()()()()0.50m[()()]LRLzLRLRLRLzLRLRLRLRLRRLfLRLR

根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

14．某高斯光束腰斑大小为0=1.14mm，=10.6μｍ。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。解：入射高斯光束的共焦参数根据求得：15．若已知某高斯光束之0=0.3mm，=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。解：入射高斯光束的共焦参数z 30cm 10m 1000m (z)1.45mm 2.97cm 2.96m ()Rz0.79m 10.0m 1000m 1R2R等价共焦腔2z1zOLff200.385mf202(z)=1()zffRzzz

2044.7cmf根据0()qzzqzif，可得束腰处的q参数为：(0)44.7cmqi与束腰相距30cm处的q参数为：(30)(3044.7)cmqi与束腰相距无穷远处的q参数为：emR(),I()44.7cmqq16．某高斯光束0=1.2mm，=10.6μｍ。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数又已知22.010mF，根据得l10m 1m 10cm 0 l2.00cm 2.08cm 2.01cm 2.00cm 02.40μm22.5μm55.3μm56.2μm从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。17．2CO激光器输出光=10.6μｍ，0=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到'0μｍ=20及μｍ2.5时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数已知22.010mF，根据得020μｍ时，1.39ml，即将透镜放在距束腰1.39m处；200.427mf2220022()()()lFFlFlFfFlFf

202.67mf0022()FlFf222020FlFf02.5μｍ时，23.87ml，即将透镜放在距束腰23.87m处。18．如图2.2光学系统，入射光=10.6μｍ，求"0及3l。

图2.2 解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于11lF，所以11lF=2cm 所以对第二个透镜，有213cmlll已知20.05mF，根据得014.06μｍ，38.12cmlcml1523lcml21mm30cmF21cmF52'0''0

0022.49μｍF2401.49910mf22232222020222()()()lFFlFlFfFlFf19．某高斯光束0=1.2mm，=10.6μｍ。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，1F=2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距l=1m，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

图2.3 解：入射高斯光束的共焦参数为由于1F远远的小于l，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为这样可以得到在主镜上面的光斑半径为即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为20．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。lmR1cmF5.21mm2.10

200.427mf1002210.028mm()FlFf0()6cm10cmRR22101101.9RlMF

20012ln()PaAPP解：一、实验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为(I) 式中，0P为总的光功率，()Pz为通过小孔的光功率。记1()PPz，则有(II) 注意到对基模高斯光束有在(II)式的两端同时乘以/，则有令(III) 则解此关于f的二次方程，得因为a、0P、1P、z都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。二、实验步骤222()0()(1e)azPzP220012()ln()azPPP2220(),zzfff220012ln()zPafPPf2zfAf22() (IV)22AAfz

OBa2z功率计探头1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率1P；3．移走光阑，量出高斯光束的总功率0P；4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。

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完整版人教版七年级上册数学第二章 整式的加减含答案(含解析)

完整版人教版七年级上册数学第二章 整式的加减含答案(含解析)

人教版七年级上册数学第二章 整式的加减含答案

一、单选题(共15题，共计45分)

1、下列判断错误的是（ ）

A.1-a-2ab是二次三项式 B.-a 2b 2c与2ca 2b 2是同类项 C.

是多项式 D. πa 2的系数是 π

2、一个多项式加上多项式2x﹣1后得3x﹣2，则这个多项式为（ ）

A.x﹣1 B.x+1 C.x﹣3 D.x+3

3、下列运算正确的是（ ） A. B. C. D.

4、多项式3x3﹣2x2﹣15的次数为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

5、下列说法正确的是（ ）

A.单项式 的系数是－5，次数是2 B.单项式 a的系数为1，次数是0 C. 是二次单项式 D.单项式－ ab的系数为－ ，次数是2

6、若﹣x2yn与3yx2是同类项，则n的值是（ ）

A.﹣1 B.3 C.1 D.2

7、下列计算正确的是（ ）

A.2x+3y=5xy B.x 2•x 3=x 6 C.（a 3） 2=a 6 D.（ab） 3=ab 3

8、下列计算正确的是（ ） A.2x+3y＝5xy B.5a 2﹣3a 2＝2 C.（﹣7）÷ ＝﹣7 D.（﹣2）﹣（﹣3）＝1

9、去括号后结果错误的是（ ）

A.2（a+2b）=2a+4b B.3（2m﹣n）=6m﹣3n C.﹣[c﹣（a﹣b）]=﹣c﹣a+b D.﹣（x﹣y+z）=﹣x+y﹣z

10、在一张某月的日历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )

A.14 B.33 C.51 D.27

11、在﹣3x，6﹣a=2，4ab2 ， 0， ， ， ＞ ，x中，是代数式的共有（ ）

A.7个 B.6个 C.5个 D.4个

12、下列说法中正确的是( )

(word完整版)高中数学必修二第二章经典练习试题整理(2021年整理)

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学习好帮手 高一数学必修二第二章经典练习题

第I卷(选择题)

请修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、单项选择

1. 在空间,下列哪些命题是正确的（ ）．

①平行于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行

③平行于同一个平面的两条直线互相平行

④垂直于不一个平面的两条直线互相平行

A．仅②不正确 B．仅①、④正确

C．仅①正确 D．四个命题都正确

2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（ ）

A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条

3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形 ( ）

(完整版)第二章导数与微分(答案)

(完整版)第二章导数与微分(答案)

0 x

1

第二章导数与微分

(一)

f X0 X f X0

I x 0 X

3 .函数f x在点x0连续，是f x在点x0可导的（A ）

5. 若函数f x在点a连续，则f x在点a（ D ）

C. a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ）

A. 1 B . 0 C . -1 D.不存在

7.曲线y 2x3 5x2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）

A. 8 B . 12 C . -6 D . 6

8.设y ef x且fx二阶可导，则y （ D ）

A. ef x B f X r e f f X £ £ f X 丄 2

x C . e f x f x D . e f x

9.若 f x ax e , x 0

在x 0处可导，则a， b的值应为 b sin2x, (A ) A.左导数存在； B.右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x，当自变量x由x0改变到 Xo x时，相应函数的改变量

f x0 x B. f x0 x C. f x0 X f X0 f X。 x

2 .设f x在xo处可，则lim

f X0 B. Xo C. f X0 D. 2 f X0

A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C .充分必要条件 既不充分也不必要条件

4.设函数y f u是可导的，且u x2，则 dy ( C )

x2 B. xf x2 C. 2 2 2xf x D. x f x

D .有定义 2

10•若函数f x在点Xo处有导数，而函数 g x在点Xo处没有导数，则

F x f x g x , G x f x g x 在 x0 处（A）

A •一定都没有导数 B•—定都有导数

C.恰有一个有导数 D •至少一个有导数

11.函数fx与g x在x0处都没有导数，则Fx

g x 在 xo 处(D )

13 . y arctg 1，贝U y

x A .一定都没有导数 B. 一定都有导数

《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案

《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案

1

第二章部分习题参考答案

2-6 试求下列各函数1()ft与2()ft之卷积。

121212(-)001(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11 (1) 0(2) ()tttttttftutfteutftftfftdueutdeedeeetft，解：，2121212() ()cos(45) ()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()tfttftfttdtfttututftututftft，解：，解：

f2(τ)τ021 f1(τ)τ0112 2 222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211 -(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttfttuttuttuttuttuttuttuttutftftfttftttdttftttt222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)2111 21---152223, ()*()0.ttttttdtftttttttttttftft

121221--(4) cos, (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]fttftttftftfftdtttdtt