充分条件与必要条件(2课时)

课 题：1.3 逻辑用语--充分条件与必要条件（二）

教学目的：

1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；

2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

教学重点：准确理解三个概念，并在分析中准确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

授课类型：新授课

课时安排：1课时

内容分析：

这个节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的相关知识．重点是充要条件． 关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的相关问题的理解上为宜．

教学过程：

一、复习引入：

⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？

若pq（或若┐q┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⒉指出以下命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；

⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.

解：⑴∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⑵∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.

⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.

⑷∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.

⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.

二、讲解新课：

⒈什么是充要条件？

假如既有pq，又有qp，就记作pq.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也能够说q是p的充要条件）

1.2.3充分条件、必要条件第2课时 充要条件

(教师独具内容)

课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．

教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．

教学难点：判断条件与结论之间的充要性.

【情境导学】(教师独具内容)

已知p：三角形的三条边都相等．q：三角形是等边三角形．

问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？

提示：是真命题，充分条件．

问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？

提示：是真命题，必要条件．

问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？

提示：充要条件，充要条件．

【知识导学】

知识点一 充分不必要条件

一般地，如果□01p⇒q且□02q ⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件．

知识点二 必要不充分条件

如果□01p ⇒/q且□02q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

知识点三 充要条件

(1)如果□01p⇒q且□02q⇒p，则称p是q的□03充分必要条件(简称为充要条件)，记作□04p⇔q.

(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．

(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．

(4)充要条件与数学中的□08定义有关，一个数学对象的□09定义实际上给出了这个对象的一个充要条件．

【新知拓展】

1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件

(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．

(3)若p⇒q，且q ⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件．

(4)若p ⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

(5)若p ⇒/ q，且q ⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

第一课时 必要条件与充分条件教学案例

必要条件与充分条件，是常用逻辑用语的第一个基本内容，是逻辑思维的基本语言。对于一个命题，明确了“条件”是“结论”成立的必要性条件还是充分性条件，可以使学生的数学思维更加清晰，是培养学生逻辑思维能力的重要途径，学生能够熟练地使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理和运算，为今后的数学学习，在思维的敏捷性、推理的准确性、语言表达的精炼性等方面，奠定坚实的基础。

(1)知识目标：

掌握命题的概念和基本形式；通过典型的数学命题，理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。

(2)核心素养目标：

提高学生数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养学生的逻辑推理能力和数学的运算能力。

（1）掌握命题的概念和基本形式；

（2）理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；

（3）能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。

多媒体课件

一、知识引入

初中学习过“命题”的知识，可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。

命题的一般形式是“若𝑝，则𝑞”，

其中𝑝是命题的条件，q是命题的结论，如果“若𝑝，则𝑞”是真命题，就说由𝑝推出q，记作𝑝⇒𝑞。

如：平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。

该命题为真命题，其中“平面上两条直线被第三条直线所截”是命题的前提，“如果两直线平行”是命题的条件，“那么同位角相等”是命题的结论。 思考讨论：

定理1：菱形的对角线互相垂直.

定理2：对顶角相等.

定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.

①将定理1、2改成“若𝑝，则𝑞”的形式.

提示：定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.

定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等.

学科教师辅导讲义

讲义编号_

学员编号： 年 级： 高一 课时数：

学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师:

课 题 四种命题形式 充分条件与必要条件

授课日期及时段

教学目的 1、 理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题，否命题，逆否命题

2、 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

教学内容

【知识梳理】

1.什么是命题？命题的四种形式？四种命题的关系？如何写命题的否定形式？

2.什么是推出关系？

3.如何通过证明逆否命题来证明一个命题的真假？

4.什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？

5.如何从子集的角度来理解推出关系？

6.如何从子集的角度来理解充分条件与必要条件？

1、判断真假的语句称为命题，通常用陈述句表述。命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

2、四种命题：原命题，否命题，逆命题，逆否命题，

记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

3．

互否 原命题

，那末如果 逆命题

，那末如果

否命题

，那末如果 逆否命题

，那末如果 互否 互逆

互逆 逆 逆

否 否

4.在写命题的否定形式时，既要否定条件，又要否定结论。

5.推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系，表示如果这件事成立，则可推出这件事也成立。推出关系具有传递性。如果两个命题，A,BAB，且 BA，则称A,B为等价命题。

6.一个命题和它的逆否命题等价，二者同真同假，所以当直接证明原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题。