12_充分条件与必要条件

§1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义．5.会判断一些简单的充要条件问题．6.能对充要条件进行证明．知识点一 充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．思考2 p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案 相同，都是p ⇒q .思考3 以下五种表述形式：①p ⇒q ；②p 是q 的充分条件；③q 的充分条件是p ；④q 是p 的必要条件；⑤p 的必要条件是q .这五种表述形式等价吗？ 答案 等价． 知识点二 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考4 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？答案正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．思考5“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，所以p是q的必要条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．5．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．答案必要不充分解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝1 2，故p是q的必要不充分条件．6．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．答案充分不必要7．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案充要解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．一、充分条件的判断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac>bc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶角，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：|x |>2，q ：x >2.解 (1)因为对顶角相等，所以p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(2)因为当|x |>2时，x >2或x <－2，所以p ⇏q ， 所以q 不是p 的必要条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0. 延伸探究将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以a －4≤1，a ＋4≥3，即a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5. 四、充分、必要、充要条件的判断例4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p . 故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．五、充要条件的证明例5设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．跟踪训练5 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点， 所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 六、充要条件的应用例6 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故有1－m ≥－2，1＋m <10或1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以 1－m ≤－2，1＋m >10或1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练6已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}．因为p是q的充分不必要条件，所以A B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－2 3.又∵a<0，∴a≤－4或－23≤a<0，即实数a的取值范围为a≤－4或－23≤a<0.1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件C．既是充分条件又是必要条件B．必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．“a<b”是“a b<1”的()A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q 是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．【答案与解析】 1、答案 B解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 2、答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 3、答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 4、答案 D 解析 暂无 5、答案 充分 必要解析 因为p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6、答案 a ≤1解析 因为x >1⇒x >a ，所以a ≤1. 7、答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 8、答案 m ＝－2解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m2＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件概念的理解．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(4)充分条件、必要条件的判断．(5)充分条件与必要条件的应用．(6)充要条件的证明．(7)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值；条件和结论辨别不清．。

1.2 充分条件与必要条件-人教A版选修1-1教案一、教学目标1.理解充分条件和必要条件的定义及区别；2.掌握使用条件语句表达充分条件和必要条件；3.熟练使用条件语句证明充分条件和必要条件；4.培养学生严密的逻辑思维能力和数学语言表达能力。

二、教学内容1.充分条件和必要条件的定义；2.使用条件语句表达充分条件和必要条件；3.条件语句证明充分条件和必要条件。

三、教学过程1.导入（5分钟）1.引出知识点：充分条件和必要条件。

2.举例说明：如果一个人是男性，那么他可以去男厕所，在这个例子中，性别是去女厕所的必要条件，去男厕所的充分条件。

同学们可以自行想象其他充分条件和必要条件的例子。

2.讲解（15分钟）1.定义–充分条件：如果命题P成立，则命题Q也成立，我们就称P是Q成立的充分条件，或者说P蕴含着Q。

用符号表示为P → Q。

–必要条件：如果命题Q成立，则命题P也成立，我们就称Q是P成立的必要条件，或者说Q蕴含着P。

用符号表示为Q → P。

2.表达–充分条件的表达：如果P，则Q。

–必要条件的表达：只有Q，才能有P。

3.区别–充分条件是P与Q之间的关系，而必要条件是Q与P之间的关系。

–充分条件的成立不意味着必要条件的成立，反之亦然。

4.举例–如果两个数相等，则它们的和也相等，可以表示为：两个数相等是它们和相等的充分条件。

–只有两个数的和相等，它们才能相等，可以表示为：两个数相等是它们和相等的必要条件。

3.练习（30分钟）1.判断下列命题的充分条件和必要条件，并用条件语句表达出来。

–如果一个数字是偶数，那么它能被2整除。

–一个人想参加奥数比赛，就必须会做足20道以上的算术题。

2.大约用15分钟时间，让同学们自己尝试着完成练习。

3.借助黑板，进行讲解和讨论。

–第一题的充分条件是“一个数字是偶数”，必要条件是“它能被2整除”。

–第二题的充分条件是“会做足20道以上的算术题”，必要条件是“想参加奥数比赛”。

4.巩固（30分钟）1.进行小组讨论，选定一个命题，试着用条件语句表达出来。

学案2：充分条件和必要条件复习目标：理解必要条件，充分条件与充要条件的意义。

会分析四种命题的相互关系。

学习重点：理解必要条件，充分条件与充要条件的意义学习过程：一、基础知识归纳：1、 一般地，“若p 则q ”为真命题，即q p ⇒，就说p 是q 的q 是p 的2、若q p ⇒且p q ⇒则q p ⇔，就说p 是q 的 ，简称充要条件，那么q 也是p 的二、方法规律总结：1、 判断命题的充要关系有三种方法：(1)定义法(2)等价法：即利用B A ⇒与A B ⌝⇒⌝，A B ⇒与B A ⌝⇒⌝，B A ⇔与BA ⌝⇔⌝的等价关系。

对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法。

(3)利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

2、 确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法说明。

三、基础过关：1、对任意实数c b a ,,，在下列命题中，真命题是（ ）A bc ac >是b a >的必要条件B bc ac = 是b a =的必要条件C bc ac >是b a >的充分条件D bc ac =是b a =的充分条件2、23cos -=α是652ππα+=k ，Z k ∈的 3、 函数()b a x x x f ++=是奇函数的充要条件是4、 函数[)+∞++=,0,2在c bx x y 是单调函数的充要条件是5、 '''C B A ABC ∆∆与全等是'''C B A ABC ∆∆与相似的6、 设p 、r 都是q 的充分条件，s 是q 的充分必要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的 条件，r 是t 的 条件。

二、典型例题：例1、在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由。

（1） A ：圆222r y x =+与直线0=++c by ax 相切，B ：()2222r b a c +=（2） A ：:,,2B R p p ∈≥方程032=+++p px x 有实根；（3） A ：21<+x ，B ：092<-x例2、求关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件。

高中数学条件解读在高中数学中，条件通常涉及到逻辑关系，这些关系在数学证明和解决问题中非常重要。

以下是关于数学条件的一些基本解读：（一）充分条件与必要条件：（二）1．充分条件：如果条件A存在，则结论B一定成立，那么A是B的充分条件。

表示为：如果A，则B（A⇒B）。

2．必要条件：如果结论B要成立，则条件A必须存在，那么A 是B的必要条件。

表示为：只有A，才B（非A⇒非B）。

需要注意的是，充分条件不一定是必要条件，反之亦然。

但在某些情况下，一个条件可以同时是另一个条件的充分条件和必要条件，这被称为充要条件。

（三）充要条件：（四）1．如果条件A是结论B的充分条件，同时A也是B的必要条件，那么A是B的充要条件。

这可以表示为：A当且仅当B（A⇒B）。

（五）定义中的条件：（六）1．在数学定义中，给出的条件通常是充要条件。

这意味着要满足定义，必须满足给出的所有条件，而这些条件也足以满足定义。

（七）定理与逆定理：（八）1．在数学定理中，通常给出一个条件（或一组条件）和相应的结论。

定理的条件是结论的充分条件。

2．逆定理是将定理的条件和结论互换后得到的新命题。

逆定理不一定成立，但如果成立，则原定理的条件也是结论的必要条件。

（九）条件与结论的逻辑关系：（十）1．在数学证明和推理中，需要清楚地理解条件与结论之间的逻辑关系。

这有助于构建正确的证明和理解数学概念。

（十一）条件语句的否定：（十二）1．在逻辑中，条件语句“如果A，则B”的否定不是“如果A，则非B”，而是“A且非B”。

这意味着即使A成立，B也不成立。

（十三）条件的合并与分离：（十四）1．在解决复杂问题时，可能需要将多个条件合并为一个新的条件或将一个条件分解为多个更简单的条件。

这有助于简化问题和找到解决方案。

理解这些条件的概念和逻辑关系对于掌握高中数学非常重要，特别是在解决证明题和应用题时。