选修4-4参数方程导学案

.

. 选修4－4

坐标系与参数方程

第一节

坐 标 系

突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例] 求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换 x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．

[解] 由 x′＝12x，y′＝y得到 x＝2x′，y＝y′.①

将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.

因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.

[方法技巧]

应用伸缩变换公式时的两个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式本节主要包括2个知识点：

1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；

2.极坐标系. .

.  X＝axa>0，Y＝byb>0建立联系．

(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．

2．求直线l：y＝6x经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．

3．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ： x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．

第1页 版权所有 不得复制

年级

高二 学科 数学 版本 通用版

课程标题 选修4-4第二讲参数方程（文）

编稿老师 孙洪成

一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、学习目标

1. 通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解参数方程的概念，体会其意义。

2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义，掌握它们的参数方程与普通方程的互化，并能利用参数方程解决一些相关的应用问题（如求最值等）。

3. 了解抛物线、双曲线的参数方程，能将它们的参数方程化为普通方程。

4. 知道摆线、圆的渐开线的参数方程，体会参数在建立曲线方程中的作用。

二、重点、难点

重点：直线、圆、椭圆的参数方程的建立，以及参数方程与普通方程的互化与应用。

难点：对上述三类重点参数方程中参数的意义的理解，以及熟练应用参数方程解决相关问题。

三、考点分析

高考中对本讲的考查以直线、圆、椭圆的参数方程为主，有时会与极坐标方程相结合，多以选做题的形式出现在填空题或解答题中，难度不大，分值为5－10分，不同的省份在题型和分值的设定上略有差异，与普通方程的互化仍然是解决此类问题的常用策略，此外，参数方程也为解决解析几何中的最值、轨迹等问题提供了一条思路。

一、知识网络

第2页 版权所有 不得复制 参数方程抛射体运动方程参数方程的概念与意义直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程其他常见曲线的参数方程椭圆抛物线双曲线摆线圆的渐开线“点角式”“点向式”

二、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点(,)Pxy满足()()xftyft，该方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

说明：

1. 在曲线的参数方程中，如果出现了多个字母，应明确哪个是参数，以及参数的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。

2. 一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以有多个。

3. 某些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。某些动点的普通方程可能根本就找不到，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，但它的普通方程没法直接表示，而参数方程则很容易得出。

1

参数方程

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义

2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程

3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法

4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题

一.参数方程的定义

1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()xftygt；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()xftygt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()xftygt叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．

2．关于参数的说明．

参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．

3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()xftygt，就是参数方程．

2

二.圆的参数方程

点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：cossinxrtyrt(t为参数)．

我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．

圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：

cossinxartybrt（t为参数）.

三．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为cossinxayb(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程．

word 1 / 10 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程

[核心必知]

1．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asecφ，y＝btan φ，规定参数φ的取值X围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．

(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是x＝btan φ，y＝asecφ．

2．抛物线的参数方程

(1)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，t∈R．

(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

[问题思考]

1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？

提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．

2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？

提示：如果x对应的参数形式是asecφ，那么焦点在x轴上；

如果y对应的参数形式是asecφ，那么焦点在y轴上． word

2 / 10 3．假设抛物线的参数方程表示为x＝2ptan2α，y＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？

提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．

在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.

[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．

设P的坐标为(secφ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得|secφ－tan φ|2＝2

得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|

平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，

即5sin 2φ－2sin φ－3＝0.

解得sin φ＝1或sin φ＝－35.

sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)．