《参数方程和普通方程的互化》导学案3

参数方程与普通方程的互化导学案一、引入参数方程和普通方程是解决几何问题时常用的两种方程形式。

参数方程是使用一个或多个参数来表示几何图形中各个点的坐标，而普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系。

本文将介绍参数方程与普通方程的定义、特点、互化方法以及求解过程。

二、参数方程的定义1.一维参数方程：当几何图形只有一个自变量t时，我们可以用一维参数方程来表示，形式为x=f(t),y=g(t)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。

2.二维参数方程：当几何图形有两个自变量t和u时，我们可以用二维参数方程来表示，形式为x=f(t,u),y=g(t,u)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。

三、参数方程的特点1.参数方程能够灵活地表示几何图形中的各个点，因为参数可以取任意值，所以可以表达出图形中的任意点。

2.参数方程可以较为简单地表示复杂的曲线或图形，例如椭圆、双曲线等。

3.参数方程可以通过改变参数的取值范围，实现对曲线或图形的变换，例如平移、旋转等。

4.参数方程能够较为直观地表示几何图形的性质，例如曲线的对称性、渐进线等。

四、普通方程的定义普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系，通常形式为F(x,y)=0，其中F为表示关系的函数。

五、普通方程与参数方程的互化方法1.由参数方程得到普通方程：将参数方程中的参数用变量替代，然后消去参数，得到普通方程。

例如，对于一维参数方程x=t^2，y=t+1，我们可以将t用x和y来表示，得到x^2=y-1，进一步整理得到x^2-y+1=0，即为普通方程。

2.由普通方程得到参数方程：将普通方程中的变量用参数来表示，然后整理得到参数方程。

例如，对于普通方程x^2+y^2=1，我们可以将x和y分别用参数t来表示，得到x=cos(t)，y=sin(t)，即为参数方程。

六、参数方程与普通方程的求解过程1.由参数方程得到普通方程：(1)将参数方程中的参数用变量替代，得到x=f(x,y)和y=g(x,y)。

2.1（第2课时）参数方程和普通方程的互化学案（含答案）第第2课时课时参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题知识点参数方程和普通方程的互化思考1要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便答案用普通方程比较方便思考2把参数方程化为普通方程的关键是什么答案关键是消参数梳理1曲线的普通方程和参数方程的互相转化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；如果知道变数x，y中的一个与参数t 的关系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系ygt，那么xft，ygt就是曲线的参数方程2参数方程化为普通方程的三种常用方法代入法利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；三角函数法利用三角恒等式消去参数；整体消元法根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去特别提醒化参数方程为普通方程Fx，y0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定ft和gt的值域得x，y的取值范围.类型一参数方程化为普通方程例1将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状1xt1，y12tt为参数；2x5cos，y4sin1为参数；3x1t1t，y2t1tt1，t为参数解1由xt11，得tx1，代入y12t，得y2x3x1，这是以1,1为端点的一条射线2由x5cos，y4sin1，得cosx5，siny14，22，得x225y12161，这是椭圆3方法一xy1t1t2t1t1t1t1，又x1t1t21t1，故x1，y2t1t21t21t221t，故y2，所以所求的方程为xy1x1，y2方程表示直线去掉一点1,2方法二由x1t1t，所以xxt1t，所以x1t1x，即t1x1x，代入y中得，y2t1t21x1x11x1x21x1x1x1x，所以xy1x1，y2方程表示直线去掉一点1,2反思与感悟消去参数方程中参数的技巧1加减消参数法如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数2代入消参数法利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法3三角函数式消参数法利用三角函数基本关系式sin2cos21消去参数.跟踪训练1将下列参数方程化为普通方程1xt1t，yt21t2t为参数；2x23cos，y3sin为参数解1xt1t，x2t21t22，把yt21t2代入得x2y2.又当t0时，xt1t2，当且仅当t1时等号成立；当t0时，xt1t2，当且仅当t1时等号成立x2或x2，普通方程为x2y2x2或x22x23cos，y3sin可化为x23cos，y3sin，两式平方相加得x22y29，即普通方程为x22y29.类型二普通方程化为参数方程例2已知圆C的方程为x2y22x0，根据下列条件，求圆C的参数方程1以过原点的直线的倾斜角为参数；2设x2m，m为参数解1过原点且倾斜角为的直线方程为yxtan，由方程组x2y22x0，yxtan消去y，得x2x2tan22x0，解得x0或x21tan22cos2sin2cos22cos2.当x0时，y0，当x2cos2时，yxtan2cossinsin2.又x0，y0适合参数方程x2cos2，ysin2，所求圆C的参数方程为x2cos2，ysin2为参数，00，则点P的轨迹是A直线x2y3B 以3,0为端点的射线C圆x12y21D以1,1，3,0为端点的线段答案D2将参数方程x2sin2，ysin2为参数化成普通方程为Ayx2Byx2Cyx22x3Dyx20y1答案C解析由x2sin2，得sin2x2，代入ysin2，yx2.又sin2x20,1，x2,33参数方程xsin2，ysincos为参数表示的曲线的普通方程是_____________________答案y2x11x14将参数方程xt1t，yt21t2t为参数化成普通方程为____________________答案x2y2y2解析由xt1t，得x2t21t22，又yt21t2，x2y2.t21t22，y2.5参数方程x3cos4sin，y4cos3sin为参数表示的图形是________答案圆解析x2y23cos4sin24cos3sin225，表示圆1参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间.角度.线段长度.直线的斜率.截距等作为参数2同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率3参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性。

4.4.2 参数方程与普通方程的互化1．参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程．预习交流1曲线的参数方程的特点是什么？提示：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x ，y 间的间接联系．在具体问题中，参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 之间的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑，可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数的个数一般应尽量少．2．代数法消去参数与三角恒等法消去参数 (1)代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程．我们通常把这种方法称为代入法．(2)代数运算法通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数．(3)如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数．常用的三角恒等式有：sin 2θ＋cos 2θ＝1，1cos 2θ－tan 2θ＝1，(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1等．预习交流2将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法是什么？提示：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎨⎧x ＝a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝⎛⎭⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．一、求曲线的参数方程如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为(12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹．思路分析：写出圆的参数方程，利用中点坐标公式得到点M 的参数方程，从而求出其轨迹．解：设点M 的坐标为(x ，y )，圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，∴可设点P 坐标为(4cos θ，4sin θ)．由中点坐标公式得，点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ.∴点M 的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．一架救援飞机以100 m/s 的速度做水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1 000 m 时投放救灾物资(不计空气阻力，g ＝9.8 m/s 2)，问此时飞机的飞行高度约是多少？(精确到1 m)解：在时刻t 时飞机在水平方向的位移量x ＝100t .离地面高度y ＝0＋12gt 2，即2100, 102x t y gt =⎧⎪⎨=+⎪⎩①. ② 令1 000＝100t ，得t ＝10，代入②得y ＝12×9.8×100＝490.所以，此时飞机飞行高度约是490 m.解答本题时，应先写出圆的参数方程，然后利用中点坐标公式求解，对轨迹的判断也要特别注意．二、参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． 思路分析：利用参数作为桥梁，进行适当变形．解：(1)∵x ＝t ＋1t ，∴x 2＝t 2＋1t 2＋2.把y ＝t 2＋1t 2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2；当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)． (2)23cos 3sin x y θθ⎧⎨⎩＝＋，＝可化为⎩⎨⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得⎝⎛⎭⎫x －232＋⎝⎛⎭⎫y 32＝1.即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.1．将参数方程4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为__________．答案：2x －y －4＝0(x ≥0)解析：将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4.又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)．2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)化为普通方程为__________．答案：y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1) 解析：y ＝cos2θ＝1－2sin 2θ. 将x ＝sin θ代入得y ＝1－2x 2. 又∵x ＝sin θ∈[－1,1]，∴普通方程为y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)．参数方程化为普通方程常用到三角恒等式，例如：sin 2θ＋cos 2θ＝1，1cos 2θ－tan 2θ＝1等．三、普通方程化为参数方程已知圆方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程． 思路分析：先把圆的方程化成标准形式再转化．解：把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)．椭圆方程为(x －1)23＋(y ＋2)25＝1，写出它的参数方程．解：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求参数方程．把普通方程化为参数方程时，要注意选择适当的参数，参数选取不同，参数方程就不同．在转化过程中一定要注意不要改变x ，y 的取值范围．1．若点M (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最大值与它的最小值的差为__________．答案：12 2解析：x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. ∴最大值与最小值的差为11＋62－(11－62)＝12 2.2．把方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin 2θ－1(θ为参数)化为普通方程为__________．答案：y ＝x 2－2(－2≤x ≤2)解析：将x ＝sin θ＋cos θ两边平方，然后与y ＝sin 2θ－1相减，得y ＝x 2－2.又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∴－2≤x ≤ 2.3．边长为a 的等边△ABC 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在直线AB 两侧，记∠CAx ＝α，则顶点C 的轨迹的参数方程是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ⎝⎛⎭⎫α－π3，y ＝a sin α(α为参数)解析：如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，设点C 的坐标为(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OA ＋AD ，y ＝DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＋a cos α＝a cos ⎝⎛⎭⎫α－π3，y ＝a sin α，即为顶点C 的轨迹的参数方程．4．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝t 3(t 为参数)化成普通方程为__________． 答案：y ＝(x －1)327解析：由x ＝3t ＋1得t ＝x －13，代入y ＝t 3，得y ＝(x －1)327.5．已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ∈[0,2π))．判断点A (1，3)和B (2,1)是否在方程的曲线上．解：把A ，B 两点的坐标分别代入方程， 得⎩⎨⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，① ⎩⎪⎨⎪⎧2＝2cos θ，1＝2sin θ， ② 在[0,2π)内，方程组①的解是θ＝π3，而方程组②无解，故点A在方程的曲线上，而点B 不在方程的曲线上．。

第二讲《参数方程与普通方程互化》教学案教学目的：知识目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；能力目标：选取适当的参数化普通方程为参数方程.教学重点：参数方程与普通方程的互化.教学难点：参数方程与普通方程的等价性.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin cos y x 3化成普通方程，并判断它的曲线类型. 二、讲解新课：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围. 2、常见曲线的参数方程(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数) (2)圆22020r y y x x =-+-)()(参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r y y r x x 00 (θ为参数)(3)椭圆12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x (θ为参数)(4)双曲线12222=-b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ为参数)(5)抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Pt x 222(t 为参数)(6)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数) 典型例题1、 将下列参数方程化为普通方程(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2222t y t t x (2)⎩⎨⎧=+=θθθ2sin cos sin y x(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=2221t t y t t x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)()(221312t t y t t x例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=ty tx 4321 (t 是参数)(2) ⎩⎨⎧==θθ22cos cos y x (θ是参数)(3) 222212121t ty t tx +-=-= (t 是参数)例3、已知圆O 半径为1，P 是圆上动点，Q (4，0)是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.三、巩固与练习1 方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线 ( )A 、一条直线B 、两条射线C 、一条线段D 、抛物线的一部分(2)下列方程中，当方程x y =2表示同一曲线的点 ( ) A 、⎩⎨⎧==2t y t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x sin sin 2 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y x 11 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t xos x tan cos 2121 2．P 是双曲线⎩⎨⎧==θθtan sin 34y x (t 是参数)上任一点，1F ，2F 是该焦点：求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程.3．已知),(y x P 为圆41122=-+-)()(y x 上任意一点，求y x +的最大值和最小值.四、小结：本节课学习了以下内容：参数方程与普通方程的互化.五、课后作业：。

参数方程与普通方程互化教案一、教学目标1. 让学生理解参数方程与普通方程的概念及其关系。

2. 培养学生掌握参数方程与普通方程的互化方法。

3. 提高学生运用参数方程与普通方程解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。

2. 参数方程与普通方程的互化方法。

3. 典型例题解析。

三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的概念、互化方法。

2. 难点：参数方程与普通方程互化过程中的计算。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍参数方程与普通方程的概念，引导学生理解二者之间的关系。

2. 讲解与演示：讲解参数方程与普通方程的互化方法，并通过演示让学生直观地感受互化过程。

3. 练习与讨论：布置一些典型例题，让学生独立完成，进行讨论，分析解题思路和方法。

5. 布置作业：布置一些有关参数方程与普通方程互化的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后收集学生的练习成果，评价学生的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，检验学生对参数方程与普通方程互化的掌握情况。

3. 关注学生在解决问题时的创新意识和运用能力，给予鼓励和指导。

七、课时安排本节课计划用2课时完成。

八、教学资源1. 多媒体课件。

2. 练习题及答案。

3. 课堂测试题及答案。

九、教学建议1. 在教学过程中，注意让学生多动手、动脑，提高学生的实践能力。

2. 针对不同学生的学习情况，给予个别辅导，提高学生的学习兴趣。

3. 课后积极与学生沟通，了解学生的学习需求，不断调整教学方法。

十、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。

关注学生的学习兴趣和个性发展，为下一节课的教学做好准备。

六、教学目标1. 让学生掌握将参数方程转化为普通方程的基本步骤。

参数方程与普通方程互化一、三维目标：1.知识与技能: (1)了解参数方程与普通方程之间的联系与区别，掌握它们之间的互化法则．(2) 掌握消去参数的基本方法，能熟练地将常见参数方程化为普通方程并正确解决其等价性问题(即x 、y 的范围)．2.过程与方法:因为由参数方程直接判断曲线的类型并不容易,因而通过把参数方程化为普通方程,能让我们更熟悉的认识方程所表示的曲线.3.情感、态度与价值观:让学生体会两者在解题中的各自优势,从而取长补短.二、教学重难点:1.重点: 参数方程与普通方程的互化法则，常见问题的消参方法．2.难点: 整体元消参的方法，参数方程与普通方程的等价性(即x 、y 的范围)．三、教学过程:1.引入新课2.新课讲解:参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程.如：①参数方程 消去参数θ,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.②参数方程 （t 为参数）通过代入消元法消去参数t ,可得普通方程：y=2x-4（x ≥0）.例1、 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线:2222cos 3,sin cos (3)1sin x x y y M θθθθ=-⎧+=-+=⎨=⎩由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。

⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos θθr b y r a x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.42,t y t x 1)1t y ⎧⎪⎨=-⎪⎩(1)为参数sin cos ().1sin 2y θθθθ+⎧⎨=+⎩x=(2)为参数(1)11231)x y x =≥=-+≥解：因为所以普通方程是（x例2.3.2、曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）分析: 在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与 y=x 2不等价；而在Ｄ中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同， 且以，，代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致。

- 1 -参数方程与普通方程的互化 学案【学习目标】1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型2．能选择适当的参数将普通方程化成参数方程【学习重难点】参数方程与普通方程相互转化。

【学习过程】一、导入新课同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：例：2x+y+1=0表示直线请同学们阅读课本24页，回答第（3）小题。

思考：1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？2、在参数方程与普通方程的互化中，要注意哪些方面？二、例题选讲【例3】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 211（t 为参数） （2）⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数） 解：（1）由11≥+=t x 有-=x t 代入t y 21-=得到)1(32≥+-=x x y 这是以（1，1）为端点的一条射线三．课堂练习)(sin 3cos )3(149)2(123)1(222为参数θθθ⎩⎨⎧=+==+++=y x y x x x y 为端点的线段和、以、圆为端点的射线、以、直线的轨迹是则点为参数、若曲线)1,0()0,2(,1)1()0,2(,022)(),(),(sin 2cos 1{1222D y x C B y x A y x y x =+-=-+=+=θθθ- 2 -四、例4 （请同学们自学课本例4，思考并讨论）归纳：把含有参数等式代入即可回答问题：1.如果没有明确x 、y 与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？五、高考链接六、小结把参数方程转化为普通方程：()的范围x 1 ()消去参数2把普通方程转化参数方程：把含有参数等式代入即可七、课后作业.____)(sin 2cos 2{)(11{2个的交点有为参数则它与曲线为参数为若已知直线的参数方程ααα==-=+=y x t t y t x 、_______)(12cos cos {1的取值范围为则有两个交点与直线为参数为若已知曲线的参数方程a ，a y t y x 、=+==θθ_________)4()5(,)(sin cos 2{),(222为的最大值则上任意一点为参数是曲线、++-=+=y x y x y x P ααα__________))2[(sin cos 2),())(2010(3的取值范围为则上为参数在曲线已知点理量测评年普通高中高三教学质汕头市、xy ，，，y x y x P ππθθθθ∈⎩⎨⎧=+-=⎩⎨⎧==++=-=_______14)(3221))(09(k ，ky x t t y t x 则常数垂直与直线为参数若直线文广东。

参数方程与普通方程的互化【学习目标】 1．参数方程与普通方程的互化2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法3．培养严谨的数学思维品质【学习难点和重点】等价变形【课堂讲解】参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它们可以相互转化。

将曲线的参数方程化为普通方程，可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等；而将普通方程化为参数方程，可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标，从而给研究曲线的有关问题带来方便。

例1：将下列曲线的参数方程化为普通方程：一、代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数t ，注意等价变形（1）)(221R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+= (2)⎪⎩⎪⎨⎧--=+=19122t y t x二、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形(3))454(sin cos sin cos πθπθθθθ≤≤⎩⎨⎧+=⋅=y x （4）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθθy x （5）)20(sin 4cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x三、平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等价变形（6）)0(2112≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x（7）)0(112222≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x四、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形（8）t y t t x (31⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数）（9）θθ(cos 21⎩⎨⎧+==y x 为参数）点评：参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”，消去参数t 的方法有时是从方程组的一个式子解出t 代入另一式；有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。

例2：设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2-4y=0化为参数方程点评：把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。

参数方程及普通方程的互化教学设计一、教学目标1.了解参数方程和普通方程的基本概念；2.掌握参数方程与普通方程的互相转化方法；3.能够根据给定条件将参数方程转化为普通方程，或将普通方程转化为参数方程；4.运用所学知识解决问题。

二、教学资源1.教材《高中数学(上)》；2.教学PPT；3.课件与练习作业。

三、教学步骤步骤一：导入（10分钟）1.引入参数方程和普通方程的概念，并给出一些实际生活中的例子，如小车的运动轨迹等；2.引导学生讨论参数方程和普通方程的异同点，并总结出两者的特点。

步骤二：参数方程转化为普通方程的方法（20分钟）1.通过案例解析，引导学生分析参数方程转化为普通方程的基本思路；2.介绍常见的参数方程转化为普通方程的方法，如消元法、平方相加法等；3.通过示例演练，巩固学生的转化方法和技巧。

步骤三：普通方程转化为参数方程的方法（20分钟）1.通过案例解析，引导学生分析普通方程转化为参数方程的基本思路；2.介绍常见的普通方程转化为参数方程的方法，如参数代换法、平方差法等；3.通过示例演练，巩固学生的转化方法和技巧。

步骤四：综合应用（30分钟）1.给出一个综合应用的问题，要求学生将其转化为参数方程或普通方程，并解决问题；2.学生分组讨论解决方案，并展示他们的思路和答案；3.教师进行点评，总结问题解决的方法和技巧。

步骤五：拓展与延伸（10分钟）1.引导学生思考参数方程和普通方程的应用领域，并给出一些实际生活中的例子；2.鼓励学生拓展和延伸所学知识，尝试解决更复杂的问题。

四、教学互动方式1.导入环节可以采用提问和小组讨论的方式，激发学生的主动参与；2.参数方程和普通方程转化的讲解可以结合PPT和示例演练进行，提高学生的学习效果和兴趣；3.综合应用环节可以采用小组讨论和展示的形式，增强学生的团队协作精神和解决问题的能力；4.拓展与延伸环节可以鼓励学生自主学习和思考，进行个人或小组报告。

五、教学评估1.在课堂中通过提问、演示和讨论的形式进行即时评估，了解学生对所学知识的掌握情况；2.布置课后作业，检验学生是否能够独立解决参数方程与普通方程的转化问题；3.结合小组展示的内容，综合评价学生在解决综合应用问题中的表现。

乌丹一中导学案
高二数学组 备课组 2014 年 月 日 课题 参数方程与普通方程的互化 主备人 熊明军 学习目的：会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

学习重点：参数方程与普通方程的互化
学习难点：如何进行互化，参数的取值范围的确定
学习方法： 自主探究与讲练结合
学习内容及过程：
一、回顾练习
例1：化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。

（1）3521x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 是参数） （2）222x pt y pt
⎧=⎨=⎩（t 是参数，p 是正常数）
（3）1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
（a 、b 为正常数，t 为参数）（4）[)2sin ,0,2cos x y θθπθ=⎧∈⎨=⎩
注：①参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

②化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

时间 安排
乌丹一中导学案 例2 、已知直线过点),(00y x P ，且倾斜角为α()2πα≠
，写出直线的普通方程，
并选择适当的参数将它化为参数方程。

例3、选择适当的参数，将圆的方程222()()x a y b r -+-=化为参数方程。

学习小结： 备注。

参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题．一、新知探究思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？知识梳理(1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过____________而从参数方程得到普通方程；②如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．二、精讲点拨类型一 参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状． (1)为参数）；t ty t x (211⎪⎩⎪⎨⎧-=+=(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t 1＋t (t ≠－1，t 为参数)．跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ－cos θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)．类型二 普通方程化为参数方程例2 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)x －123＋y －225＝1，x ＝3cos θ＋1；(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x 2＋y 2＝16.(1)若令y ＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？类型三 参数方程与普通方程互化的应用例3 已知x ，y 满足圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的方程，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝33t ，y ＝－t ＋5.(1)求3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)若P (x ，y )是圆C 上的点，求P 到直线l 的最小距离，并求此时点P 的坐标．三、当堂达标1．若点P 在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤π4，ρ>0，则点P 的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝3B ．以(3,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(1,1)，(3,0)为端点的线段2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________________．4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化成普通方程为________．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．四、小结参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法、三角恒等式消参法和整体消参法消去参数方程中的参数. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数.五、作业 课本26页 4题、5题学情分析在学习了参数方程的概念和圆的参数方程后，学生对参数方程有了初步了解. 有时候因为由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，而化为普通方程后，曲线的类型就比较容易识别.因此考虑将参数方程化为普通方程时非常自然的.需要注意的是，并不是所有参数方程都能化为普通方程.在化参数方程为普通方程时，坐标x，y的变化范围不能扩大或缩小，要注意由参数方程讨论x，y的变化范围.效果分析学习了参数方程和普通方程的互化，学生掌握了化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法、三角函数消元法和整体消元法.需要注意参数方程化普通方程时要保证转化过程的等价性。

【高二】参数方程与普通方程的互化学案第03时3.1.3参数方程和一般方程之间的相互作用学习目标1.阐明了参数方程与一般方程相互作用的必要性2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.学习过程一、学前准备回顾：1。

解方程时常用的消去法是什么？2.写出圆的参数方程，圆呢？二、新指南◆探究新知（预习教材p24～p26，找出疑惑之处）问题1：方程式代表什么图形？问题2：上节例2中求出点的参数方程是，那么点的轨迹是什么？曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.◆ 应用实例例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：（1）（参数）（２）（为参数）例2根据以下要求将一般椭圆方程转化为参数方程：（1）集合◆反馈练习1.将以下参数方程转换为普通方程，并解释它们代表的曲线。

（1））2.根据以下要求将曲线的一般方程转换为参数方程：１）.2）已知圆的方程，通过选择合适的参数将其转化为参数方程三、总结提升◆ 本节摘要1.消去参数的常用方法有：１）代入法2）用代数或三角函数中的恒等式消除参数2.互化中必须使的取值范围保持一致.3.同一个一般方程可以有不同形式的参数方程学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）a、 B.很好C.一般D.差二、当堂检测1.曲线的参数方程为（）2．在曲线上的点为（）a、（2,7）不列颠哥伦比亚省（1,0）3.曲线的轨迹是（）a、 a直线B射线c．一个圆d．一条线段4.方程式表示的曲线为（）a．余弦曲线b．与x轴平行的线段c、直线D.平行于y轴的线段后作业1.如果已知圆方程，请选择适当的参数将其转换为参数方程2.把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）（2）3.（可选）将以下一般方程转换为参数方程：反思小结：。

4.4.2 参数方程与普通方程的互化1．能通过消去参数将参数方程化为普通方程． 2．能选择适当的参数将普通方程化为参数方程．[基础·初探]1．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋l cos α，y ＝y 0＋l sin α(l 为参数)，其中参数l 的几何意义：有向线段P 0P 的数量(P 为该直线上任意一点)．2．圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[思考·探究]1．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】 不一定惟一．如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有哪些？【提示】 ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋1tθ，y ＝at －1tθ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)．【自主解答】 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1. 代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝x ＋x －23x 2＋1(x ≠1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5， ①sin θ＝y ＋14. ②①2＋②2得x 225＋y ＋216＝1.[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．【解】 (1)∵x ＝t ＋1t，∴x 2＝t 2＋1t2＋2.把y ＝t 2＋1t2代入得x 2＝y ＋2.又∵x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2；当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴x ≥2或x ≤－2.∴普通方程为x 2＝y ＋2(x ≥2或x ≤－2)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ可化为⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －23，sin θ＝y3.两式平方相加，得(x －23)2＋(y3)2＝1.即普通方程为(x －2)2＋y 2＝9.(1)x －23＋y －25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入x －23＋y －25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)，这就是所求的参数方程． [再练一题]2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程．【导学号：98990029】【解】 把x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数).过A【思路探究】 设出直线MN 的参数方程，然后代入抛物线的方程，利用参数方程中t 的几何意义及根与系数的关系解题．【自主解答】 直线MN 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(α≠0，t 为参数)代入y 2＝8x ，得t 2sin 2α－8t cos α－8＝0.设M ，N 对应参数为t 1，t 2，MN 中点G 的参数为t 0，则t 0＝12(t 1＋t 2)＝4cos αsin 2α， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos 2αsin 2α，y ＝4cos αsin α，消去α得y 2＝4(x －1)．1．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．2．涉及到用直线的参数方程求轨迹方程时，需理解参数l 的几何意义． [再练一题]3．经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B 、C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； (3)当BC ＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程． 【解】 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)BC ＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝α＋sin α2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0. (3)∵BC ＝α＋sin α2＋55＝8，∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0. (4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32cos αα＋sin α，y＝－32＋32sin αα＋sin α(0≤α<π)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32α＋12sin 2α，y ＋34＝32α－12cos 2α∴(x ＋32)2＋(y ＋34)2＝4516.即点M 的轨迹是以(－32，－34)为圆心，以354为半径的圆．[真题链接赏析](教材第56页习题4.4第2题)将下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋3t ，y ＝3－4t (t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－1，y ＝3sin θ＋2(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)；(5)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．【命题意图】 本题主要考查参数方程与普通方程的互化及椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系等知识．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3， 从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)． 将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0，故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.1．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －4(t 为参数)化为普通方程为________．【解析】 将x ＝t 代入y ＝2t －4得y ＝2x －4. 又∵x ＝t ≥0，∴普通方程为2x －y －4＝0(x ≥0)． 【答案】 2x －y －4＝0(x ≥0)2．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【导学号：98990030】【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为________．【解析】 转化为普通方程为y ＝x －2，且x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 【答案】 y ＝x －2(2≤x ≤3)4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。