高三数学一轮复习 专题 直线的参数方程导学案

§2．3 直线的参数方程1,了解直线参数方程的条件及参数的意义2,能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 3,通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【重点、难点】\教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 二、学习过程 【情景创设】1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参 【导入新课】1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）三 、典例分析 1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ）A ．6π或65πB ．4π或43πC ．3π或32πD ．6π-或65π-2、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．【变式拓展】(2009天津理)设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______四、总结反思1,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

三 直线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学直线参数方程的形式过定点M 0(x 0,y 0）、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数）,我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 为参数.直线参数方程中参数t 的几何意义：表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量M 0M 。

联想发散 很明显,我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上点M 的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t 是直线上有向线段的数量,当α∈（0,π）时，M 在M 0的上方时,t 〉0；M 在M 0的下方时，t<0；M 与M 0重合时,t=0。

当α=90°时，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)可化为x=x 0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,,00y y t x x 当t>0时，点M 在点M 0的右侧;当t=0时，点M 与点M 0重合；当t<0时，点M 在点M 0的左侧.深化升华 若直线的参数方程为一般形式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数),可把它化为标准形式:⎩⎨⎧'+='+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t′为参数),其中α是直线的倾斜角tanα=a b ，此时参数t′才有如前所说的几何意义。

同一直线方程的参数方程有多种形式,如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,221（t 为参数)和 ⎩⎨⎧+=-=t y t x 2,1（t 为参数）表示同一条直线，但后者参数t 没有几何意义.直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,（t 为参数）只有当a 2+b 2=1且b≥0时,参数t 才有意义. 对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 220220,(t 为参数)，其中b≥0，若a>0，则直线的倾斜角α为锐角;若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式，正确使用这些结论可以简化运算，使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢？探究：根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααtsin ,cos 00y y t x x （t 为参数）,直线l 上点A ，B 对应的参数分别为t A 、t B ，则(1）A 、B 两点之间的距离为|AB ｜=|t a -t b ｜,特别地，A 、B 两点到点M 0的距离分别为|t A ｜、|t B ｜；（2)A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若点M 0是线段AB 的中点,则t A +t B =0，反之亦然； （3）若直线上的点C 所对应的参数为t C ，C 点分AB 所成的比为λ,则t c =λλ++1B A t t 。

课时作业72 参数方程[基础达标]1．[2021·某某省示X 高中名校高三联考]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，π2且经过极点的圆．(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ＝π3(ρ≥0)分别与曲线C 1，C 2交于点A ，B (点B 异于坐标原点O )，求线段AB 的长．2．[2021·黄冈中学，华师附中等八校第一次联考]在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝3＋t sin α(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋8.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的倾斜角．3．[2021·某某省七校联合体高三第一次联考试题]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x ＋y ＝1与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l ：θ＝α(ρ>0)与C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当|OB ||OA |＝4时，求α的值．4．[2021·某某市高三年级摸底考试]在极坐标系中，圆C：ρ＝4cosθ.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点M(－1，－33)且倾斜角为α.(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，满足A为MB的中点，求α.5.[2020·全国卷Ⅱ]已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos 2θ，y ＝4sin 2θ(θ为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．6．[2021·某某市高三年级摸底测试卷]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2sin α(α∈[0,2π)，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y得到曲线C 1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)．(1)求曲线C 的普通方程和曲线C 1的极坐标方程；(2)若射线OA ：θ＝β(ρ>0)与曲线C 1交于点A ，射线OB ：θ＝β＋π2(ρ>0)与曲线C 1交于点B ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．[能力挑战]7．[2021·某某省豫北名校高三质量考评]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos φy ＝y 0＋t sin φ(t 为参数，φ∈[0，π))．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(1)求圆C 的直角坐标标准方程；(2)设点P (x 0，y 0)，圆心C (2x 0,2y 0)，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，求|PM ||PN |＋|PN ||PM |的最大值．课时作业721．解析：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，消去参数φ得x 24＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 24＋y 2＝1得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝41＋3sin 2θ.由曲线C 2是圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，π2且经过极点的圆，可得其极坐标方程为ρ＝27sin θ，从而得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－27y ＝0.(2)将θ＝π3(ρ≥0)代入ρ＝27sin θ得ρB ＝27sin π3＝21，将θ＝π3(ρ≥0)代入ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ得ρA ＝4cos 2π3＋4sin 2π3＝41313， 故|AB |＝ρB －ρA ＝1321－41313.2．解析：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝3＋t sin α(t 为参数)，所以当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝2，当α≠π2时，直线l 的普通方程为y －3＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α＋3－2tan α.因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρ2＝2ρcos θ＋8，所以x 2＋y 2＝2x ＋8. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －8＝0.(2)解法一 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －8＝0， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程整理，得t 2＋(23sin α＋2cos α)t －5＝0.因为Δ＝(23sin α＋2cos α)2＋20>0，所以可设该方程的两个根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－(23sin α＋2cos α)，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝[－(23sin α＋2cos α)]2＋20＝42.整理得(3sin α＋2cos α)2＝3，故2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝± 3.因为0≤α<π，所以α＋π6＝π3或α＋π6＝2π3，解得α＝π6或α＝π2，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2.解法二 直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝42，曲线C 为圆：(x －1)2＋y 2＝9，故圆心C (1,0)到直线l 的距离d ＝9－(22)2＝1.①当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝2，符合题意．②当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线l 的方程为x tan α－y ＋3－2tan α＝0，所以d ＝|tan α－0＋3－2tan α|1＋tan 2α＝1，整理得|3－tan α|＝1＋tan 2α，解得α＝π6. 综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2.3．解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)由(1)知|OA |＝ρA ＝1cos α＋sin α，|OB |＝ρB ＝4cos α，∴|OB ||OA |＝4cos α(cos α＋sin α)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4.∵|OB ||OA |＝4，∴2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22.由0<α<π2，知π4<2α＋π4<5π4，∴2α＋π4＝3π4，∴α＝π4.4．解析：(1)由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝－33＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(2)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0，Δ＝36(3sin α＋cos α)2－4×32>0 ①，所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32.又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，t B ＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，所以t A ·t B＝32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32，即sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1.因为0≤α<π，所以π6≤α＋π6<7π6，从而α＋π6＝π2，即α＝π3，又α＝π3满足①式，所以所求α＝π3.5．解析：(1)C 1的普通方程为x ＋y ＝4(0≤x ≤4)．由C 2的参数方程得x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，所以x 2－y 2＝4.故C 2的普通方程为x 2－y 2＝4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝32，所以P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0)，由题意得x 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋94，解得x 0＝1710.因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝175cos θ.6．解析：(1)将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2sin α(α∈[0,2π)，α为参数)消去参数，得x 2＋y 2＝4，所以曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.曲线C 经过伸缩变换得到曲线C 1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4cos αy ′＝2sin α，得x ′2＋4y ′2＝16，将x ′＝ρcos θ，y ′＝ρsin θ，代入上式得曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16. (2)将θ＝β(ρ>0)代入ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16，得1ρ2＝cos 2β16＋sin 2β4，即1|OA |2＝cos 2β16＋sin 2β4，同理1|OB |2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π216＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π24＝sin 2β16＋cos 2β4，所以1|OA |2＋1|OB |2＝116＋14＝516.7．解析：(1)圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝4cos θ＋43sin θ，所以ρ2＝43ρsin θ＋4ρcos θ.因为ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以x 2＋y 2－4x －43y ＝0，所以圆C 的直角坐标标准方程为(x －2)2＋(y －23)2＝16.(2)由(1)知圆C 的圆心的直角坐标为(2,23)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝22y 0＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos φy ＝3＋t sin φ(t 为参数，φ∈[0，π))．将直线l 的参数方程代入(x －2)2＋(y －23)2＝16，得t 2－(23sin φ＋2cos φ)t －12＝0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝23sin φ＋2cos φ，t 1t 2＝－12.故|PM ||PN |＋|PN ||PM |＝|PM |2＋|PN |2|PM |·|PN |＝|t 1|2＋|t 2|2|t 1||t 2|＝(t 1＋t 2)2－2t 1t 2|t 1t 2|＝112[23sin φ＋2cos φ)2＋24]＝112⎣⎢⎡⎦⎥⎤4sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π62＋2，因此，当φ＝π3时，|PM ||PN |＋|PN ||PM |取得最大值，最大值为103.。

极坐标与参数方程题型汇总题型一．直线参数方程t 的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。

1．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．2．在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1）且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.6．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.8．在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.9．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）若点的直角坐标为，求直线及曲线的直角坐标方程；（2）若点在上，直线与交于两点，求的值.10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.11．在平面直角坐标系xOy中，点P(0,−1)，直线l的参数方程为{x=tcosαy=−1+tsinα(t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ= 8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点，当|PM|=409时，求sinα的值．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ. （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2交于A,B 两点，点P 的极坐标为(√2,π4)，求1|PA|+1|PB|的值.题型二．极径的应用：一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离(1)思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可，|=AB |B A 2B A B A 4)(||ρρρρρρ-+=-(2)过原点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为：）（R ∈=ραθ 1．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为板轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ﹣2ρsin θ﹣3＝0．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．2．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosφy=2sinφ（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知直线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R)，A是C3与C1的交点，B是C1与C2的交点，且A，B均异于原点O，|AB|=4√2，求a的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =tcosβy =tsinβ（t 为参数，0≤β<π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |−|OB |=2，求β.5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若射线θ=π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．题型三．距离、最值、取值范围 （一）与圆有关的题型1.圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

第二节参_数_方_程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． 『练一练』1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．『解析』∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.『答案』－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)『解析』化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0， 由于x ＝3t 2＋2∈『2,77』， 故曲线为线段． 『答案』线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 『练一练』1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．『解析』由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.『答案』|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．『解析』∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2)＝(32)2－4×1＝14.『答案』14考点一参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．『解析』曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.『答案』262．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值是________．『解析』圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m ＝10.『答案』0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.『解析』由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.『答案』3『备课札记』 『类题通法』参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．考点二参数方程的应用『典例』 (2014·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．『解』 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．『备课札记』在本例(1)条件下，若直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，与直线C 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－as (s 为参数)垂直，求a . 解：由(1)知C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为y ＝1－ax ，由两线垂直得－a ×3＝－1，故a ＝33. 『类题通法』1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． 『针对训练』(2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos2α，2sin2α), 因此M (cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．考点三极坐标、参数方程的综合应用『典例』 (2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．『解』 (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．『备课札记』 『类题通法』涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．『针对训练』(2014·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)．(2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t(t 为参数)．『课堂练通考点』1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.『解析』ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 『答案』162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．『解析』消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.『答案』ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.『解析』首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102. 『答案』1024．(2014·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.。

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么y ＝g(t x ＝f(t ，就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为y ＝y0＋rsin θx ＝x0＋rcos θ，(θ为参数)． (2)椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为y ＝bsin θx ＝acos θ，(θ为参数)． (3)双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为y ＝btan θ，(θ为参数)． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为y ＝2pt x ＝2pt2，(t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为y ＝y0＋tsin αx ＝x0＋tcos α，(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝2t1＋t2；(2)|PM |＝|t 0|＝2t1＋t2； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为y ＝－4t x ＝a －2t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为y ＝4sin θx ＝4cos θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：y ＝t －a x ＝t ，(t 为参数)过椭圆C ：y ＝2sin φx ＝3cos φ，(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为9x2＋4y2＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：4x2＋9y2＝1，直线l ：y ＝2－2t x ＝2＋t ，(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如y ＝y0＋bt x ＝x0＋at ，(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为6π.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为y ＝sin θx ＝1＋cos θ，(θ为参数). 直线l 的参数方程为t 1(t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(m －)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋或m ＝1－.高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y ＝sin α3cos α，(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 4π＝2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.的距离d (α)的最小值.d (α)＝23cos α＋sin α－4|＝－2π，当且仅当α＝2k π＋6π(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为21.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程y ＝sin φx ＝1＋cos φ，(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM ：θ＝3π与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.1. （2018年全国I 卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．2. （2018年全国卷Ⅱ）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】见解析【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. （2018年全国III卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，4. （2018年江苏卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

第67讲 参数方程（原卷版）考点 内容解读要求 常考题型 1.参数方程的判定参数方程与普通方程的互化与等价性判定Ⅰ选择题，填空题，大题 2.参数方程的意义 参数方程所表示的曲线的性质. Ⅱ选择题，填空题，大题一、参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 ，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ． (2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F(x ，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程 如图圆O 与x 轴正半轴交点M0(r ，0)．(1)设M(x ，y)为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是OM0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos ωt y ＝rsin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是 ． 2．圆心为C(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．3．参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，其次将x ＝f(t)代入普通方程解出y ＝g(t)，则 就是曲线的参数方程． (4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二、圆锥曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k)的椭圆普通方程为（x －h ）2a2＋（y －k ）2b2＝1，则其参数方程为 ．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec φy ＝btan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px 的参数方程为 ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 三、直线的参数方程 1．直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 ． 2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M0的距离．(2)当M0M →与e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M0重合时，t ＝0． 3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos αy ＝y0＋tsin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M0(x0，y0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋at y ＝y0＋bt (t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义． 四、渐开线与摆线1．渐开线的概念及参数方程 (1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做 ，相应的定圆叫做 ． (2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y)，则有 ．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程 (1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称 ，又叫旋轮线．(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ是参数)．五、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系 曲线的普通方程＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y 之间的直接联系；而参数方程t 是通过参数t 反映坐标变量与y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的. 这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.考点一、参数方程化普通方程例1：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形. 【答案】由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得(y≥1)即(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.【解析】先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.例2：当t R时，参数方程（t为参数），表示的图形是（）A 双曲线B 椭圆C 抛物线D 圆【答案】解法1：原方程可化为(1)÷(2)得：代入(2) 得(y≠-1) 答案选B解法2：令tg=Z) 则消去，得(y≠-1)【解析】解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.类题通法将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参）(1)代入消参法；(2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方）(3)三角消参法注意：参数取值范围对取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性）变式训练1. 将下列方程化为普通方程：(1)（为参数）(2) （t为参数）考点二、普通方程化参数方程例3：设，为参数，化方程为参数方程。

第2讲 参数方程【2020年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝ft ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．双基自测1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝xρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －6 3．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)4．(2020·广州调研)已知直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交5．(2020·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程． 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2020·陕西)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2020·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】► (本题满分10分)(2020·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】 (2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.。

第二节　参数方程[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2Error!(φ为参数)[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2.(1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程Error!中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．M 0M →( )(3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原π3点，则直线OM 的斜率为.( )3[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)曲线Error!(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上B [由Error!得Error!所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3　[将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]4．曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)　[由Error!(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：Error!(t 为参数)过椭圆C ：Error!(φ为参数)的右顶点，则a ＝________.3　[直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为＋＝1，∴椭圆C 的右顶x 29y 24点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]参数方程与普通方程的互化1．将下列参数方程化为普通方程．(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!(θ为参数)．[解]　(1)∵＋＝1，∴x 2＋y 2＝1.(1t ) 2 (1tt 2－1)2∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝，∴x ≠0.1t当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中Error!或Error!(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解]　圆的半径为，12记圆心为C ，(12，0)连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝＋cos 2θ＝cos 2θ，1212y P ＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．12所以圆的参数方程为Error!(θ为参数)．[规律方法]　消去参数的方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解，如例1.参数方程的应用【例1】　(2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝.π6(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．[解]　(1)由Error!消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝，π6所以l 的参数方程为Error!即Error!(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程Error!代入x 2＋y 2＝16，得2＋2＝16，t 2＋(＋2)t －11＝0，(1＋32t)(2＋12t )3所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.[规律方法]　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 与曲线C ：Error!(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝，求线段AB 的中点的直角坐标；π3(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值．[解]　(1)由曲线C ：Error!(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝时，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，π3代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝＝3，t 1＋t 22故线段AB 的中点的直角坐标为.(92，332)(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|8cos2α－sin2α|＝，|8(1＋tan2α)1－tan2α|由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝.403极坐标、参数方程的综合应用【例2】　在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝，求l 的斜10率．[解]　(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程Error!(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝10|－6k |1＋k 225－(102)236k 21＋k 2904，整理得k 2＝，解得k ＝±，即l 的斜率为±.53153153法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝.144cos2α－44由|AB |＝得cos 2α＝，tan α＝±.1038153所以l 的斜率为或－.153153[规律方法]　处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为Error!(t 为参数)，直线l 2的参数方程为Error!(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，2M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解]　(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝(x ＋2)．1k 设P (x ，y )，由题设得Error!消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立Error!得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos 2θ＝，sin 2θ＝.13910110代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为.51．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．[解]　(1)曲线C 的直角坐标方程为＋＝1.x 24y 216当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝4(2cos α＋sin α)1＋3cos2α－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为Error!(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交2于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解]　(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝时，l 与⊙O 交于两点．π2当α≠时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －.l 与⊙O 交于两点当且仅当＜π22|21＋k 2|1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈或α∈.(π4，π2)(π2，3π4)综上，α的取值范围是.(π4，3π4)(2)l 的参数方程为Error!(t 为参数，＜α＜)．π43π4设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝，且t A ，t B 满足t 2－2t sin α＋1tA ＋tB 22＝0.于是t A ＋t B ＝2sin α，t P ＝sin α.22又点P 的坐标(x ，y )满足Error!所以点P 的轨迹的参数方程是Error!.(α为参数，π4＜α＜3π4)。