导学案：参数方程与普通方程的互化(可编辑修改word版)

参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。

参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。

参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。

首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。

假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。

这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。

2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。

这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。

3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。

4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。

5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。

最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。

接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。

假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。

为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。

2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。

3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。

4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。

需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。

参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。

例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。

《参数方程和普通方程的互化》导学案31. 了解参数方程化为普通方程的意义.2 •理解参数方程与普通方程的互相转化与应用.课标解读3 .掌握参数方程化为普通方程的方法知识梳理参数方程与普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程,|x= f t求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数i y= g t方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.思考探究普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同课堂互动|x= a+1 cos 0 ,例题1在方程y= »+ t sin 0, （a，b为正常数）中，(1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?非零常数时，利用平方关系消参数0，化成普通方程，进而判定曲线形状.x = a + t cos 0 ,①【自主解答】方程*(a , b 是正常数)，|y = b + t sin 0 ,②(1) ①x sin 0 —②x cos 0 得x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0.■/ cos 0、sin 0不同时为零， •••方程表示一条直线.(2) ( i )当t 为非零常数时，即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆.(ii)当t = 0时，表示点(a , b ).1•消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形•另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e —x )22x —x 21 — k2 2k 2-(e -e )=4,("+ E=1 等.2•把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线.将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状:x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n );|y = 2s in 0r44x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2( 0为参数)；|y = 1 — 2sin 0 cos 02 2x — a③2+④得—cos 0，—sin0 . 2y — b2■=1, ④「X —a I t原方程组为\¥（a , b 为大于零的常数，1为参数）•x = 1 — 2sin 22 0 ,• x — y = 0. 2T 0W sin 2 0 W 1, • f w 1 — ^sin 22 0 W 1.2 21 一所以方程x — y = 0（2W x W 1）表示一条线段.⑶ T x = |(t + p),由 x =a (t +1),2 a 21两边平方可得x = -（t + 2 +严）①b 1由y = 2（t — 1）两边平方可得 2 b 2 2 1y 2= 7( t 2— 2+右)②2 211x y①xp —②x 亡并化简，得——2= 1(a , b 为大于 a b a b1t +1【解】x= 2cosy = 2sin两式平方相加，得x 2+ y 2= 4.T O W 0 W n ,• — 2W x < 2,0 W y < 2.所以方程的曲线表示圆心为（0,0），半径为2的圆的上半部分. （2）由彳f・ 4 c 4小x = sin 0 + cos 0 ,I I2 2y = 1 — 2sin 0 cos 0 ,x= 1 — 2sin 2 得 y = 1 — 2si n 22 0 cos 0 ,20 cos 0 ,即』| y = 1 — 2sin 22 0 ,••• t >0 时，x € [a , +) , t <0 时，x € ( —a.a ] •0的常数），这就是所求的曲线方程,【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解【思路探究】 联想sin 2 B+ cos 2 0 = 1可得参数方程.x — 1y + 2【自主解答】 设 =cos 0 ,= sin 0 ,x = 1 + 3cos 0 ,则^( 0为参数)，即为所求的参数方程.y = — 2 + 5sin 0 ,1•将圆的普通方程化为参数方程 (1) 圆x 2 + y 2 = r 2的参数方程为x = r cos 0 (0为参数);y = r sin 0222x= a + r cos 0(2) 圆(x — a ) + (y — b ) = r 的参数方程为*」 (0为参数).y = b + r si n 02.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x = f (t ),再计算y = g (t )),并且要保 证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过 x = f (t ),y = g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x , y 的取值范围保持一致.设y = tx (t 为参数)，则圆x 2+ y 2—4y = 0的参数方程是 _______________4tx= 1 + t 2利用参数思想解题例题3 已知x 、y 满足x 2 + (y — 1) 2= 1,求:(1) 3 x + 4y 的最大值和最小值；例题2曲线的普通方程为 x-1 3 y+2 51，写出它的参数方程.【解析】 把 y = tx 代入 x 2+ y 2— 4y = 0 得 x = +孑,4t2,4t (t 为参数).【答案】4t 2y= 1+2・(t 为参数)•••参数方程为1 + t4t 2 1 + t 2.(2) ( x—3)2+ (y+ 3)2的最大值和最小值.【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解rAx = cos 0 ,【自主解答】 由圆的普通方程 X 1 2 3+ (y — 1)2= 1得圆的参数方程为＜y = 1 + sin 0 ,(0 € [0,2 n )).(1)3 x + 4y = 3cos 0 + 4sin0 + 4=4+ 5sin( 0+0 ),3其中tan 0 = 4,且0的终边过点(4,3)-—5W 5sin( 0 + 0 ) w 5,••• — 1w 4+ 5sin( 0 + 0 ) w 9,••• 3x + 4y 的最大值为9,最小值为一1.2 2(2)( x — 3) + (y + 3)=26 + 8sin 0 — 6cos 0=26 + 10sin( 0 + 0 )・ 其中 tan 0 = — ^, 且0的终边过点(4 , — 3).••• — 10w 10sin( 0 + 0 ) w 10,•- 16w 26+ 10sin( 0 + 0 ) w 36所以(x — 3)2 + (y + 3)2的最大值为36,最小值为16.1 参数思想是解决数学问题的重要思想， 在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用, 它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁.通过参数 0，间接建立曲线上任意一 点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程.它是研究解析几何问题的重要工具.2 运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于 与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用， 选择时间为参数.3 (1)解决与圆有关的最大值和最小值问题， 函数的最大值和最小值问题. (2)注意运用三角恒等式求最值：a sin 0 +b cos 0 = , a 2 + b 2sin( 0+0 ).决.2=(cos 0 — 3) + (sin 0 + 4)常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常常常设圆的参数方程， 然后转化为求三角b其中tan 0 =-（a z 0），且0的终边过点（a , b ）.a若本例条件不变，如何求 缶的取值范围?k =凹=3 +前0x + 1 1 + cos 0/• sin 0 — k cos 0 = k —3即钉 1 + k sin( 0 + 0 ) = k — 3.( © 由 tan 0 = — k 确定)k 一 3sin( 0 + 0 ) = ----------- 2k — 3依题意，得I —” k 』w 1, •••(-门2w 4, 解得 k 》3. 所以缶的取值范围是［|，+m ）.）课堂练习l|x= 2 + sin 5 01 .将参数方程 2（ 0为参数）化为普通方程为（）|y = sin 0C. y = x — 2(2 w x w 3) D . y = x + 2(0 < y w 1)【解析】 消去sin 20，得x = 2 + y ,2又 0w sin【答案】4x= t 1【解】 由于 =cos 0 ,y = 1 + sin 0,( 0C [0'2 n ))，2.把方程 xy = 1化为以t 为参数的参数方程是（） x = sin t A. 5 y = t —B. 1 y= sin tA. y = x — 2B . y = x + 20 w 1,.・.2w x w 3.x = cos t1y = -------cos t,=tan t1 y= ta n t【答案】 D【答案】 D数），若以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为【解析】 消去a 得圆的方程为x 2 + (y — 2)2= 4. 2 20 代入得(p cos 0 ) + ( p sin 0 — 2) = 4,整理得 p4sin 0 .【答案】p = 4sin 0课后练习（时间40分钟，满分60分）x = |sin 0 |1 .曲线（0为参数）的方程等价于（ ）y = cos 0C.<3.圆 x 2 + (y + 1) =2的参数方程为（）x = 2cos 0y = 1 + 2si n 00为参数）B. *X = ^J2cos 0 y = 1 + 2sin（0为参数）x = 2cos 0叫=—1 + 2sin（0为参数）x = ^/2cos 0 y = —1 + *.』2si n（0为参数）【解析】 由x = 2cos0 , y + 1= 2sin 0知参数方程为x = ^2cos 0 ,y =— 1 + 2sin 0 .（0为参数）.故选D.4. （2013 •郑州模拟）在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为x = 2cos a , y = 2 + 2si n a（a 为参将 x =p cos 0 , y =p sin、选择题（每小题5分,20分)2C . x = 1 -1x = cos 0D. i y = sin 2 0【答案】3sin 0 + cos 0 = 2sin( 0+^6),故x + . 3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题（每小题5分，共10分）x = 3+ cos 0 ,5.曲线/（ 0为参数）上的点到原点的最大距离为y = — 4 + sin 0 ,A. x =1 — y 2C. y =±1 — x 2D .【解析】 由x = |sin B . y = 1 —x 20 | 得 O w x w 1;由 y = cos 得—K y w 1.故选A.【答案】 A 2. 参数方程= 3t + 2yd -1,（0w t w 5）表示的曲线是A. 线段 •双曲线的一支 C. 圆弧.射线【解析】消去t , 得 x — 3y — 5 =0.•/ 0w t w 5,【答案】 A3.能化为普通方程x 2 + y — 1 = 0的参数方程为（x = sin t A. i 2 y = cos tB. x = tan © 4y = 1 一 tan ©【解析】 排除A D,只有B 符合.4. 右x , y 满足x 2 + y 2= 1，则x + 3y 的最大值为 A. C.【解析】由于圆x 2+ y 2= 1的参数方程为x = cos y = sin（0 为参数），则 x +'：；：；： 3y =【解析】 设Mx , y )是曲线 上任意一点,y =— 4+ sin 03 + cos~02+ — 4+ sin 0 2= 26 + 6cos 0 — 8sin 0 --------- -- ------------------ 3=\ '26 + [1 ]] 0 + $ ( $ 由 tan $= — 确定)当sin （ 0 + $ ） = 1时，|OM 取最大值6.【答案】 66. （2013 •重庆高考）在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 ,，一十 亠,，一、十,,，亠八,,,,, x = t 2, ,、 立极坐标系.若极坐标方程为 p cos 0 = 4的直线与曲线 3（t 为参数）相交于A ,i y =t B 两点，贝U | AB = _______ . 【解析】由P c os 0 = 4，知 x = 4. 又严t 2,• x 3= y 2(x >0). y =t ，x = 4,x= 4, x = 4, 由3 2 得* 或* x = y , y = 8y = — 8 •••I AB = 1—1 2+ 屮 2= 16.【答案】 16三、解答题（每小题10分，共30分）通方程.— 1 2 1【解】 由x = t —一两边平方得x = t + - — 2,1 1 y又 y = 3(t + f )，则 t +1 = 3(y 》6).代入 x 2= t +1 — 2,得 x 2 = y — 2.2• 3x — y + 6 = 0( y >6).故曲线C 的普通方程为3x 2— y + 6= 0(y >6).8.已知P (x , y )是圆x + y — 2y = 0上的动点.(1)求2x + y 的取值范围；x = 3+ cos 0 （t 为参数，t >0） •求曲线C 的普7.已知曲线C 的参数方程为 y = t +⑵若X+ y + O0恒成立，求实数c的取值范围.【解】方程X2+ y2— 2y = 0变形为x2+ (y —1) 2= 1.「•1 — W2 x+ y w 1 +、..:5.(2)若x+ y + O0 恒成立，即c>— (cos 0 + sin 0 + 1)对一切0 € R恒成立.一(cos 0 + sin 0 + 1)的最大值是i'2 —1.•••当且仅当O 2—1时，x + y+ c>0恒成立.9. (2012 •福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M N的极坐标分别为(2,0),(学，寺)，圆C的参数"x = 2 + 2cos 0 ,方程为(0为参数).①设P为线段MN勺中点，求直线OP的平面直角坐标方程;②判断直线I与圆C的位置关系.【解】①由题意知，M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 ,l上两点M N的平面直角坐标分别为(2,0) , (0 , —),所以直线l的平面直角坐标方程为x+ 3y —2 = 0.又圆C的圆心坐标为(2 , —3)，半径为r = 2,|2 一3 一2| 3圆心到直线I的距离d= _2—= 2<r,故直线l与圆C相交.2x + y—1 = 0,知x € R, y w 1.其参数方程为X = cos 0 ,为参数).乎).又P为线段MN 的中点，从而点P的平面直角坐标为(1 , ，故直线OP的平面直角坐标方程为②因为直线所以直线y = 1 + sin 0 .。

参数方程与普通方程的互化导学案一、引入参数方程和普通方程是解决几何问题时常用的两种方程形式。

参数方程是使用一个或多个参数来表示几何图形中各个点的坐标，而普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系。

本文将介绍参数方程与普通方程的定义、特点、互化方法以及求解过程。

二、参数方程的定义1.一维参数方程：当几何图形只有一个自变量t时，我们可以用一维参数方程来表示，形式为x=f(t),y=g(t)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。

2.二维参数方程：当几何图形有两个自变量t和u时，我们可以用二维参数方程来表示，形式为x=f(t,u),y=g(t,u)，其中x和y为几何图形中其中一点的坐标。

三、参数方程的特点1.参数方程能够灵活地表示几何图形中的各个点，因为参数可以取任意值，所以可以表达出图形中的任意点。

2.参数方程可以较为简单地表示复杂的曲线或图形，例如椭圆、双曲线等。

3.参数方程可以通过改变参数的取值范围，实现对曲线或图形的变换，例如平移、旋转等。

4.参数方程能够较为直观地表示几何图形的性质，例如曲线的对称性、渐进线等。

四、普通方程的定义普通方程是使用变量来表示几何图形中的关系，通常形式为F(x,y)=0，其中F为表示关系的函数。

五、普通方程与参数方程的互化方法1.由参数方程得到普通方程：将参数方程中的参数用变量替代，然后消去参数，得到普通方程。

例如，对于一维参数方程x=t^2，y=t+1，我们可以将t用x和y来表示，得到x^2=y-1，进一步整理得到x^2-y+1=0，即为普通方程。

2.由普通方程得到参数方程：将普通方程中的变量用参数来表示，然后整理得到参数方程。

例如，对于普通方程x^2+y^2=1，我们可以将x和y分别用参数t来表示，得到x=cos(t)，y=sin(t)，即为参数方程。

六、参数方程与普通方程的求解过程1.由参数方程得到普通方程：(1)将参数方程中的参数用变量替代，得到x=f(x,y)和y=g(x,y)。

参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。

将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。

以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。

我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。

首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。

然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。

因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。

同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。

通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。

二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。

以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。

通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。

类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。

根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。

三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。

参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。

参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。

此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。

参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是数学中常用的表达方式，它们在不同的问题中有着不同的应用。

参数方程是将一个图形的点表示为一个或多个参数的函数，而普通方程则是将一个图形表示为变量之间的关系式。

接下来，我将详细介绍参数方程与普通方程的互化。

1.参数方程转换为普通方程：将参数方程转换为普通方程的主要思想是通过消除参数化表示中的参数。

下面以一个简单的例子来说明这个过程。

考虑一个简单的参数方程：$x=2t$$y=t^2$要将它转换为普通方程，我们需要通过消除参数t来获得$x$和$y$之间的关系。

观察参数方程可以发现，$t$在$x$和$y$的表示中都存在。

我们可以利用第一个参数方程来消除$t$，得到$x=2t$。

然后将这个$x$的表达式代入第二个参数方程中，得到$y=(x/2)^2$，再对其进行化简，得到普通方程$y=x^2/4$。

2.普通方程转换为参数方程：将普通方程转换为参数方程的主要思想是引入一个新的参数，让普通方程的变量都表示为这个参数的函数。

下面同样以一个例子来说明。

考虑一个简单的普通方程：$y=x^2$要将它转换为参数方程，我们需要引入一个新的参数$t$，让$x$和$y$都表示为$t$的函数。

我们可以让$x=t$，然后将这个$x$的表达式代入到普通方程中，得到$y=t^2$。

通过这样的转换，我们可以得到参数方程$x=t$，$y=t^2$。

3.参数方程与普通方程的应用：参数方程和普通方程在不同的情况下有着不同的应用。

参数方程的主要优势是可以描述一些较复杂的曲线，尤其是含有角度或弧度的曲线。

在物理学和工程学中，参数方程常被用来描述物体在空间中的运动轨迹，例如质点在直角坐标系中的坐标随时间的变化情况。

普通方程则更适合描述一些简单的几何图形，尤其是直线和圆形。

在几何学和代数学中，普通方程常被用来解决直线和圆的性质问题，例如确定直线的斜率、直线与曲线的交点等。

4.参数方程与普通方程的优缺点分析：从以上的讨论可以看出，参数方程和普通方程各有优缺点。

参数方程与普通方程互化教案一、教学目标1. 让学生理解参数方程与普通方程的概念及其关系。

2. 培养学生掌握参数方程与普通方程的互化方法。

3. 提高学生运用参数方程与普通方程解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 参数方程与普通方程的定义。

2. 参数方程与普通方程的互化方法。

3. 典型例题解析。

三、教学重点与难点1. 重点：参数方程与普通方程的概念、互化方法。

2. 难点：参数方程与普通方程互化过程中的计算。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍参数方程与普通方程的概念，引导学生理解二者之间的关系。

2. 讲解与演示：讲解参数方程与普通方程的互化方法，并通过演示让学生直观地感受互化过程。

3. 练习与讨论：布置一些典型例题，让学生独立完成，进行讨论，分析解题思路和方法。

5. 布置作业：布置一些有关参数方程与普通方程互化的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后收集学生的练习成果，评价学生的掌握程度。

2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，检验学生对参数方程与普通方程互化的掌握情况。

3. 关注学生在解决问题时的创新意识和运用能力，给予鼓励和指导。

七、课时安排本节课计划用2课时完成。

八、教学资源1. 多媒体课件。

2. 练习题及答案。

3. 课堂测试题及答案。

九、教学建议1. 在教学过程中，注意让学生多动手、动脑，提高学生的实践能力。

2. 针对不同学生的学习情况，给予个别辅导，提高学生的学习兴趣。

3. 课后积极与学生沟通，了解学生的学习需求，不断调整教学方法。

十、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。

关注学生的学习兴趣和个性发展，为下一节课的教学做好准备。

六、教学目标1. 让学生掌握将参数方程转化为普通方程的基本步骤。

参数方程与普通方程的互化【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y 2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.(1)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t＋e －t)y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B.(2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二 直线的参数方程的应用【例2】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t)2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.。

参数方程与普通方程的互化【学习目标】 1．参数方程与普通方程的互化2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法3．培养严谨的数学思维品质【学习难点和重点】等价变形【课堂讲解】参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它们可以相互转化。

将曲线的参数方程化为普通方程，可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等；而将普通方程化为参数方程，可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标，从而给研究曲线的有关问题带来方便。

例1：将下列曲线的参数方程化为普通方程：一、代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数t ，注意等价变形（1）)(221R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+= (2)⎪⎩⎪⎨⎧--=+=19122t y t x二、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形(3))454(sin cos sin cos πθπθθθθ≤≤⎩⎨⎧+=⋅=y x （4）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθθy x （5）)20(sin 4cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x三、平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等价变形（6）)0(2112≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x（7）)0(112222≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t t y t t x四、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形（8）t y t t x (31⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数）（9）θθ(cos 21⎩⎨⎧+==y x 为参数）点评：参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”，消去参数t 的方法有时是从方程组的一个式子解出t 代入另一式；有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。

例2：设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2-4y=0化为参数方程点评：把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。

参数方程与普通方程互化传统的数学学科中，方程是一种非常重要的概念。

一般而言，我们所看到的方程都属于普通方程，比如抛物线的方程或是直线的方程等等。

然而，除了普通方程之外，还有一种非常重要的方程，那就是参数方程。

参数方程是一种用参数的形式来表示曲线的方程，其主要特点是可以直观地描述出曲线的走向和形状，因此在实际计算和理论研究中具有非常重要的价值。

对于普通方程和参数方程的互化，我们可以通过以下几个步骤来实现。

一、将普通方程转化为参数方程对于普通方程 y = f(x)，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = f(t)。

这里的 t 是一个参数，我们可以将其看作是一个自变量，它的变化将会影响到函数图像的形态和走向。

以直线 y = 2x + 1 为例，我们可以将其转化为参数方程 x = t，y = 2t + 1。

在这个参数方程中，当 t 取 0 时，我们可以得到直线的一个点 (0,1)，而当 t 取 1 时，我们可以得到直线的另一个点(1,3)，以此类推。

通过这样的转化，我们不仅可以更加直观地描述出曲线的走向和形态，还能够对曲线进行更加细致的研究和计算。

二、将参数方程转化为普通方程对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过消除参数 t 来得到普通方程 y = g(x)。

这个过程需要用到高中阶段学习的基本代数技能，具体步骤如下：1. 由第一个参数方程得到 x = f(t)，即 t = f^{-1}(x)。

2. 将第二个参数方程中的 t 用上一步得到的代数式代替，得到y = g(f^{-1}(x))。

3. 对上一步得到的式子进行合并和化简，即可得到普通方程形式的表达式 y = g(x)。

以圆为例，我们可以将其参数方程 x = rcos(t)，y = rsin(t) 转化为普通方程：1. t = arccos(\frac{x}{r}) 或 t = arcsin(\frac{x}{r})。

课题：参数方程与普通方程的互化【学习目标】1．进一步理解参数方程的概念及参数的意义。

2．能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型3．能选择适当的参数将普通方程化成参数方程【重点、难点】参数方程和普通方程的等价互化。

自主学习案【问题导学】阅读课本P24—P26，然后完成下列问题：1． 参数方程的概念(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数)()()(D t t g y t f x ∈⎩⎨⎧==, 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_________，联系变数x 、y 的变数t 叫做______，简称______。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程0),(=y x F 叫做___________。

(2)______是联系变数x,y 的桥梁，可以是一个有_____意义或_____意义的变数，也可以是_____________________________的变数。

2、 （1）圆心在原点O ，半径为r 的圆的一个参数方程是_____________________；（2）圆222)()(r b y a x =-+-的一个参数方程是______________________.3、指出下面的方程各表示什么样的曲线：（1）2x+y+1=0 表示______________(2) 2321y x x =++表示________________(3) 22194x y +=表示__________________ (4)cos 3()sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数表示________________【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1、112x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）2、2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩（为参数）思考：1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？合作探究案考向一、参数方程化普通方程例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线（1） ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t y t x 211（t 为参数） （2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）小结：参数方程化普通方程的步骤：练习：将下列参数方程化为普通方程（1） （2） （3）考向二、普通方程化参数方程 例2：求椭圆22194x y +=的参数方程： （1）设3cos ,x ϕϕ=为参数； （2）设2,y t t =为参数思考：1.如果没有明确x 、y 与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？知识归纳： 1、椭圆的标准方程: 的一个参数方程为：_______________________;2、椭圆的标准方程: 的一个参数方程为：______________________; 3214x t y t =-⎧⎨=--⎩sin cos2x y θθ=⎧⎨=⎩221(0)1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩22y 194x +=2222y 1x +=变式练习：动点P(x,y)在曲线22y 1169x +=上变化 ，求3x+4y 的最值。

参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程是一类多项式方程组，在一定条件下可以相互互化。

参数方程是把未知量以参数的形式表示，即在方程中以参数的形式出现，把直接求解出来的未知量的过程改为先求出参数大小，再根据参数给出的方程求解未知量，这样可以非常方便地解决一些复杂的问题，并且求解时更容易得到整体的解。

普通方程是指未知量出现在方程中，通过求解这些方程就可以求出未知量的值。

通过适当的替换，可以把参数方程转换为普通方程。

首先，可以用定义的参数来替换参数方程中的参数，然后对方程的每个自变量和参数进行分别求导，得到无关的普通方程，再利用分离变量法去除参数，最后求解得到未知量的值。

参数方程转换为普通方程步骤如下：
1.用定义的参数替换参数方程中的参数；
2.对每个自变量和参数分别求导，得到无关的普通方程；
3.利用分离变量法去除参数，得到普通方程；
4.将普通方程转化为一般形式，求解自变量的值；
通过上述步骤，可以将参数方程转换为普通方程，并获得解析函数，从而求出未知量的值。

参数方程在一定条件下可以转换为普通方程。

乌丹一中导学案
高二数学组 备课组 2014 年 月 日 课题 参数方程与普通方程的互化 主备人 熊明军 学习目的：会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

学习重点：参数方程与普通方程的互化
学习难点：如何进行互化，参数的取值范围的确定
学习方法： 自主探究与讲练结合
学习内容及过程：
一、回顾练习
例1：化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。

（1）3521x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 是参数） （2）222x pt y pt
⎧=⎨=⎩（t 是参数，p 是正常数）
（3）1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
（a 、b 为正常数，t 为参数）（4）[)2sin ,0,2cos x y θθπθ=⎧∈⎨=⎩
注：①参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数
（2） 三角法：利用三角恒等式消去参数
（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

②化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

时间 安排
乌丹一中导学案 例2 、已知直线过点),(00y x P ，且倾斜角为α()2πα≠
，写出直线的普通方程，
并选择适当的参数将它化为参数方程。

例3、选择适当的参数，将圆的方程222()()x a y b r -+-=化为参数方程。

学习小结： 备注。

参数方程与普通方程的互化一、要点讲解参数方程与普通方程的互化：二、知识梳理1．消去参数方程中的_________就得到普通方程，但要注意到普通方程中变量x ，y 的取值范围应和______________________________一致．2．消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑，主要的消参方法有：(1)_______________________________________________________________．(2)_______________________________________________________________．(3)_______________________________________________________________．(4)_______________________________________________________________．三、例题讲解例1 将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线．(1)134x t y t =-⎧⎨=⎩（为参数）； (2)5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（为参数）； (3)222x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)； (4)2sin cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，[0,2)θπ∈； (5)1()21()2a x t t b y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（a 、b 为非零常数，t 为参数）．例2 (1)已知直线过点000(,)P x y ，且倾斜角为，写出直线的普通方程，并选择适当的参数将它化为参数方程；例3 (2) 选择适当的参数，将圆的方程222()()x a y b r -+-=化为参数方程．例4 已知曲线14cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）． 例5 (1)请将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为上的动点，求PQ 中点M 到直线332:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值．四、巩固练习1． 若，则动点(2cos ,3sin )θθ所确定的曲线是____________________．2． 方程12x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩表示的曲线是 ．3． 将下列参数方程化为普通方程．(1) sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩； (2) t t t t x e e y e e--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩； (3) 222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩； (4) 2212()13()x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 4． 设点P （x ，y ）是椭圆22312x y +=上的动点，求xy 的最大值．5． 若圆M 和圆N ：44cos ,54sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（为参数）关于直线l：,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）对称，则圆M 的方程为____________________．。

参数方程与普通方程的互化教学教案参数方程与普通方程的互化教学教案第03时3.1.3参数方程与普通方程的互化学习目标1．明确参数方程与普通方程互化的必要性.2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程. 学习过程一、学前准备复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2. 写出圆的参数方程，圆呢？二、新导学探究新知（预习教材P24～P26，找出疑惑之处）问题１：方程表示什么图形？问题2：上节例2中求出点的参数方程是，那么点的轨迹是什么？小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.应用示例例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线：（１）（为参数）（２）（为参数）例2 .将椭圆普通方程按以下要求化为参数方程：（1）设反馈练习1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1））2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程：１） .2）已知圆的方程，选择适当的参数将它化为参数方程.三、总结提升本节小结1. 消去参数的常用方法有：１）代入法２）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.2.互化中必须使的取值范围保持一致.3.同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（）A．很好B．较好C．一般D．较差二、当堂检测1．曲线的一种参数方程是（）.2．在曲线上的点为（）A．(2,7) B．C．D．(1,0)3. 曲线的轨迹是（）A．一条直线B．一条射线C．一个圆D．一条线段4．方程表示的曲线是（）A．余弦曲线B．与x轴平行的线段C．直线D．与y轴平行的线段后作业. 1. 已知圆方程，选择适当的参数将它化为参数方程.2.把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）（2）3.（选做）化下列普通方程为参数方程：反思小结：几何体的表面积与体积学案1 集合的概念与运算一、前准备：。