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第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
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考点一 函数的定义域
[典例] (1)(2019·长春质检)函数y＝ln1－xx＋1＋1x的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.－1，－12
C．(－1,0) D.12，1
[解析] (1)由题意得 1－x>0，x＋1>0，x≠0，解得－1
所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
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第二章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)全国卷5年考情图解高考命题规律把握
1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．
2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为
给出具体函数解析式判断函数的图象；函数
的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、
幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函
数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，
零点相结合．
3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多
与导数、不等式结合命题，试题难度较大.
第一节函数及其表示
1．函数与映射函数映射
两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合
对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对
于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在
集合B中都有唯一确定的元素y与之
对应
名称称f：A→B为从集合A到集合B的一
个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B
的一个映射
记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫
做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数
的值域❷.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．第2页共135页
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数❸
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的
函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
一、知识梳理
１．函数的零点
函数零点的概念
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点
方程的根与函数零点的关系 方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点
函数零点的存在性定理 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f（b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点
[注意] 函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．
２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax２＋bx＋c
（a＞0）的图象
与x轴的交点 （x１，0），（x２，0） （x１，0） 无交点
零点个数 两个 一个 零个
常用结论
有关函数零点的结论
（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．
（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、习题改编
１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（ ） Ａ．（１，２） Ｂ．（２，３）
Ｃ．错误!和（３，４） Ｄ．（４，＋∞）
答案：B
２．（必修１P88例１改编）f（x）＝ex＋３x的零点个数是（ ）
Ａ．0 Ｂ．１
Ｃ．２ Ｄ．３
答案：B
３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为 ．
答案：１
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（ ）
（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（ ）
（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（ ）
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第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)
全国卷5年考情图解
高考命题规律把握
1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．
2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．
3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.
第一节函数及其表示
1．函数与映射
函数 映射
两集合A，B 设A，B是非空的数集 设A，B是非空的集合
对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数❸
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
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(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
