椭圆经典练习题

椭圆及其性质

1.方程122nymx表示椭圆m>0，n>0，且m≠n；2a是m，n中之较大者，焦点的位置也取决于m，n的大小。

[举例] 椭圆1422myx的离心率为21，则m=

解析：方程中4和m哪个大哪个就是2a，因此要讨论；（ⅰ）若04,则,42bma2，∴4mc，∴e=mm4=21，得m=316；综上：m=3或m=316。

[巩固]若方程：x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是

A 1个 B .2个 C.4个 D.无数个

2．椭圆12222byax关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，

a-c≤|PF|≤a+c，（其中F是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的焦准距为cb2，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通经是过焦点最短的弦。

[举例1] 已知椭圆12222byax（a>0,b>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。

解析：|AB|2=a2+b2，|BF|=a，|FA|=a+c，在Rt⊿ABF中，(a+c)2=a2+b2+a2

化简得： c2+ac-a2=0，等式两边同除以a2得：012ee，解得：e=215。

注：关于a,b，c的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

[举例2] 已知椭圆12222byax（a>0,b>0）的离心率为53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为y=316，则原来椭圆的方程是 。 解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线y=316为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为316，∴原来椭圆的焦准距也为316，于是有：cb2=316 ①，

ac=53 ②，由①②解得：a=5，b=3。

[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。

[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

(A)2 (B)22 (C) 21 (D)42

[迁移]椭圆13422yx上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，椭圆的右焦点F，数列{| PnF|}

是公差大于1001的等差数列，则n的最大值为 （ ）

A．198 B．199 C．200 D．201

3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。

[举例1]已知⊙Q：(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：

。

解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：

|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。

[举例2] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=522)2()1(yx，则P点的轨迹是：

A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以5，于是有：

5|32|yx=522)2()1(yx，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了， 只需将方程再变形为：555|32|)2()1(22yxyx，即动点P（x,y）到定点A（1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为55，∴其轨迹为椭圆。

[巩固1] 已知圆QAyxC),0,1(25)1(:22及点为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 .

[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，a=(x,y+2),b=(x,y-2),且|a|+|b|=8，则点

M(x,y)的轨迹方程为 。

[提高]已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。

[迁移] P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为 。

4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。

[举例1] 如图把椭圆2212516xy的长轴AB分成8分，过

每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,……7P

七个点，F是椭圆的一个焦点，则127......PFPFPF____________．

解析：P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，P4在y轴上，

记椭圆的另一个焦点为F/，则|P7F|=|P1F/|， |P6F|=|P2F/|，|P5F|=|P3F/|，

于是127......PFPFPF|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35.

[举例2] 已知A、B是椭圆19252222ayax上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果,58||||22aBFAF AB的中点到椭圆左准线距离为23，则椭圆的方程 .

解析： aBFAF58||||22||2||211BFaAFa=a58|||11BFAF=a512，

记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=a512，而e=54

∴|AA1|+|BB1|=3a2|MM1|=3a，又|MM1|=23，得a=1，故椭圆方程为192522yx。 [巩固1] 椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 。

[巩固2]已知F1、F2是椭圆459522yx的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，)1,1(A为一个定点，则1PFPA的最大值为 ，223PFPA的最小值为 。

[提高] 过椭圆左焦点F且斜率为3的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e=_____

5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。

[举例]已知焦点在x轴上的椭圆),0(,14222bbyxF1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得021PFPF，则b的取值范围是 。

解析：思路一：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2。记∠F1PF2=,

|PF1|=r1, |PF2|=r2,cos=212222124rrcrr=21221221242)(rrcrrrr=12442122rrca

又21rr≤(221rr)2=2a,∴cos≥222224acaa=cos∠F1BF2,当且仅当r1=r2时等号成立，

即∠F1PF2≤∠F1BF2。题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=900，当且仅当∠F1BF2≥900，即

cos∠F1BO≤22b≤22a=2,∴b∈(0, 2].思路二：用勾股定理：r1+r2=2a ①

r12+r22=4c2 ②,由①②得：2r1r2=4b2,又2r1r2≤r12+r22 ∴b2≤c2=4-b2 即b∈(0, 2].

思路三：用向量的坐标运算：记P(x0,y0),1PF=(-c-x0,-y0), 2PF=(c-x0,-y0),

1PF2PF=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0≤x02≤4，∴0≤4(c2-b2)≤4(b2+4)

即0≤4-2b2≤b2+4，得b∈(0, 2].

[巩固1]椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。 [巩固2]已知P是椭圆14522yx上一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（ ）

A．334 B．)32(4 C．)32(4 D．4

6．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。

[举例]若动点（yx,）在曲线)0(14222bbyx上变化，则yx22的最大值为 （ ）

A．)4(2),40(442bbbb B．)2(2),20(442bbbb

C．442b D．2b

解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x2用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos,y=bsin, yx22=4cos2+

2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-4b)2+442b, sin∈[-1,1]

若0<4b≤101b>4,则当sin=1时f()取得最大值2b，故选A

[巩固]椭圆14922yx上的点到直线2x-3y+33=0距离的最大值是_____________。

答 案

1．[巩固]B， 2、[巩固1]215，[巩固2]B，[迁移]C， 3、[巩固1] 121425422yx，[巩固2] 1161222yx，[提高] )0(,14822yxy ，[迁移] 1325222xx，

4、[巩固1] e=3-1，[巩固2]6+2，27，[提高]32；5、[巩固1]553553x，[巩固2] B； 6、[巩固]21