初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( )
Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数
３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )
Ａ．00,,0,1,2,;a
b
x x t y y t t d d =-=+
=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a
b
x x t y y t t d d =+=
-=±±
Ｃ．00,,0,1,2,;b
a
x x t y y t t d d =+=
-=±±
Ｄ．00,,0,1,2,;b
a
x x t y y t t d
d =-=
-=±±
４．下列各组数中不构成勾股数的是( )
Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )
Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( )
Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10; Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.
７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +
８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．
9、设f(x)=10n n a x a x a +++ 其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )
A ．()()
mod ()0mod ,1p f x p χχ?≡≡?>一定为的一个解 B ．()()
0mod ,1,()0mod p f x p χχ??≡?>≡一定为的一个解 C
．
()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中
D ．()()
()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/ 设其中为奇数则同余式 ()()0mod f x p ≡的解数：
（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过p
C ．等于p
D ．等于n
11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )
A ．3
B ．11
C ．13
D ．23 12．若雅可比符号1a m ??
=
???
，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解
B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;
C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;
D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．
13．()
()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )
A ．1，2，4
B ．1，2，4，6，12
C ．1，2，3，4，6，12
D ．无法确定
15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )
A ．322ind =
B ． 323ind =
C ． 350ind =
D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；
C ．不超过x 的质数的个数()x π；
D ．除数函数()a τ；
18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )
A ．()()f a g a 为可乘函数；
B ．()
()
f a
g a 为可乘函数
C ．()()f a g a +为可乘函数；
D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立
A ．()11μ=
B ．()11μ-=
C ．()21μ=-
D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）
21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；
22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++= ，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均
为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________； 23．有理数
a
b
，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；
24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则
它的所有解为_________________________；
25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013??
???
=________________________________________； 27． 若)(
,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；
28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30． ()48?=_________________________________。 三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。
32．“若)(
,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。
33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。
34．设12
12k k
a p p p ααα= 为a 的标准分解式，记()S a 为a 的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝？ ()a τ＝？ 为什么？ 四．计算题。（7分／题×4题＝28分）
35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。
36． 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡??
≡??≡?
37．解同余式2x ≡11(mod125) 38．求模13的所有原根。 五、证明题：（7分/题×2题=14分）
39、试证： 2222x y z +=，（x ，y ）=1 y 是偶数的整数解可写成：
22(2)x a b =±- 2y ab = 222z a b =+
这里0a b >>，(),1a b =，并且一为奇数，一为偶数。
40、设a 为正整数，试证：
||()()d a
d a
a
d a d
φφ==∑∑
其中
|d a
∑
表示展布在a 的一切正因数上的和式。
六、应用题：（8分）
41、求30！中末尾0的个数。
参考答案：一．单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。 二．填空题：21．21；22．()12,,,|n a a a N
；23．
(),101
b =；
24．()
0,0,1,2,,m
x t
t a m +=±± ；25．()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数；26．1； 27．()12
1mod p a
p -≡；28．()()m φφ；29．g 与g p α+中的单数；30．16
三．简答题：31．答：命题正确。 ()()2
211211m m +-=++????()211m +-????
()()22241m m m m =?+=+ 而()1m m +必为2的倍数。
86页
32．正确．证明见教材47P 。
33．在摸p 的简化剩余系中与2
2211,2,,2p -?? ???
同余的数是数p 的平方剩余，
()1
17,
182
p p =-=，222211,24,39,416≡≡≡≡，222258,62,715,813≡≡≡≡ 故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。 34．()()
121
11
11i i
k
k
i
i
i
i i i
p s a p p
p p αα+==-=
++++=-∏∏ ()()()()12111k a τααα=+++ 证明：若()f a 为可乘函数，则
()()()()|1
1i
k
i
i
a i f f p f p αα
α==++∑∏ ． 分别令()().1f a a f a ==，它们为可乘函数，即得出。 四．计算题
35．解：因为()6,933|75=，故原不定方程有解。
又原方程即 23125x y +=，而易见方程2311x y +=有解
''
0016,1x y ==-。所以原方程的一个解是00400,25x y ==-
所以，原方程的一切整数解是：（ ）
40031252x t
r t
=+=-- t 是整数
36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模
5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：
()421mod5x ≡，()351mod6x ≡，()301mod7x ≡，得
()3mod5x ≡， ()1m o d 6x ≡-，()4mod7x ≡ 因此所给同余方程组的解是：
()()423135133042mod210x ≡??+?-?+??
即：()26151mod210x ≡≡
37．解：从同余方程()()211mod51mod5x x ≡≡得，
()()()
2
22
111511mod5,1010mod5t t +≡≡再从得，
()()
2111mod 5,16mod 5t t ≡+≡因此于是， 是()()
()2
22232
11mod5,6511mod5t χ≡+≡的解又从
得()
()32230025mod 5,121mod 5t t ≡-≡-因此
即()222mod5,65256t x ≡=+?=所以 是所给方程的一个解，于是所解为： ()56m o d 125x ≡± 解毕。
38．解：()2131223,φ==? 122,3g g == 为其质因数
()
()1313
6,
42
3
φφ==，故g 为模13的原根的主要条件是：
()61m o d 13g ≡/，()41mod13g ≡/
用 g=1，2，……12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根， 因为()124φ=，故模13原根只有4个，即为所求。
五、证明题：
39．证明：易验证所给的解为原方程的解，因y 为偶数，原方程可化为：
2
222z x z x r
+-???= ???
但 ,|,2222z x z x z
x z x
z +-+-????=
? ?????
,|,2
222z x z x z
x z x
x +-+-????=
? ?????
而
，所以（
2z x +，2
z x
-）=1 由书中引理，我们可假设
2z x +=2a ， 2
z x -=b 2
显然a >b ， (a ，b)=1， 于是
X=2a －b 2， z=2a +2b ，y=2ab
因子为奇数，所以a ，b 一定是一为奇，一为偶，证毕 40．证明：假定1d ，---， k d 为a 的所有正约数，那末
1a d ，---，k
a d 也是a 的所有正约数，于是
()d a
d φ∑=()d a
a
d
φ∑
再因为在a 的完全剩余系中任一数a 的最大公约数
必定是1d ，---， k d 中某一个数，而完全剩余系中与a 的最 大公约数为i d 的数有(
)i
m
d φ ，所以： ()d a
m d
φ∑= m 证毕
六．应用题：
41．解：5在30！中的最高次幂=305???
???+2305??????+3305??
????
=6+1+0=7 2在30！的最高次幂=302???
???+2302??????+3302??????+4302??????+5302??
????
=15+7+3+1+0=26
10=2×5，故 30！的末尾有7个零。
2007年4月广东省高等教教育育自学考试
初等数论试卷
一、 单项选择题。（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．-36，420，48三个数的公因数是（ ）
A ．±1，±3，±4，±5，±6，±12 B. ±1,±2,±3,±4,±6,±,12 C. ±2,±3,±4,±6 D1,2,3,4,5,6,12 2.设a,b Z ?(整数集)，p 是素数，且p ab 。则（ ）
A a,b 中恰有一个是p 的倍数 B.a,b 中没有p 的倍数 C.a,b 中必有一个是p 的倍数 D. a,b 都是p 的倍数 3.设a,b 是非零整数,d=(a,b),则下列成立的是( ) A ,
a b ab d d ??=????、 B. ,ab
a b d d d ??=????、 C.2,
a b ab d d d ??=????、 D. 2,ab a b d d d
??=????、 4. 设且,,,1,a b c v Z au
bv ?=则对于任意d Z +?(正整数集)( )
A. (,)ad bd d =
B. (,)ad bd abd =
C.(,)ad bd ab =
D. [],ad bd d =、 5.对任意实数a ,必有( ) A.
[][]1αα-=-+ B.
[]{}
ααα-=-
C.
[][]
αα-=- D. {}{}a a -=-
6.下列不定方程中,有整数解的是( )
A. 27753348x y z ++=
B. 27756572x y z ++=
C. 42701433x y z -+=
D. 100204532x y z ++= 7.设a,b
,,(mod )
Z m Z a b m +
∈∈≡则( )
A.(a,b)=(a,m)
B.(a,b)=(b,m)
C.(a,m)=(m,b)
D.(a-b,m)=(a,m) 8.下列集合中,是模15的简化剩余系的是( )
A. {}1,2,3,5,7,8,11,13
B. {}1,2,37,8
C. {}1,4,8,7,11,13,14
D. {}29,14,2,2,19,,19,7,8-- 9.下列同余式中成立的是( )
A.48361(mod 49)≡、
B. 20271(mod 25)≡、
C. 7244(mod72)≡、
D. 41351(mod 41)≡、 10.设同余式(mod )ax b m o有解,则下述断语中正确的是( )
A. 该同余式有模m 的m-1个解
B. 在模m 的一组完全剩余系中,有(b,m)个数满足该同余式
C. 在模m 的一组完全剩余系中,有(a,m)个数满足该同余式
D. 在模m 的一组完全剩余系中,有(ab,m)个数满足该同余式
11.设素数p>2,a,b 分别是模p 的平方剩余和平方非剩余,则下列成的是( ) A.ab 是模p 的平方非剩余 B.2ab 是模p 的平方非剩余 C 2a b 是模p 的平方剩余 D. 22a b 是模p 的平方非剩余 12.设对模m 的指数为k.,则( )
A.k m
B. m k 、
C. k a D, ()k m ?、 13.若模m 的原根存在,则m 可能是( )
A.15的倍数
B.16的倍数 B.81的2倍 D.42的倍数 14.若x 对模m 的指数是ab,a>0,b>0,则b x 对模m 的指数是( ) A.
ab
m
B.b
C. a b -
D.a
15.设g 是模m 的一个原根, ()c m j =.K 是模c 的一个非负完全剩余系,则L=
{},t g t K ∈、是( )
A.模m 的一个完全剩余系 B 模m 的一个简化全剩余系 C 模c 的一个完全剩余系 D 模c 的一个简化全剩余系 二. 填空题（本大题共10，每小题2分，共2分）
16.设4532264223511,25713,a b =???=???、353
35713c =???、,[],,a b c 、则=
17.若a,b,是两个整数,b>0,设,a a m r b b ????==????????
、,则用m,r 表达的b 除a 的带余式是
. 18.
100!
32!
的标准分解中7的指数为 .
19.有理数(0,(,)1)a a b a b b
<<=能表示成纯循环小数的充分必要条件是 .
20.设1212k a a k m p p p α= 、,12,,k p p p 、是m 的互不相同的素数,则()m j = .
21.设a,b,c,m 都是整数,(mod )ab ac m ≡、,则当 时,
(mod )b c m ≡、.
22.设1212k a a k m p p p α= 、,i p 为互异的奇素数(i=1,2….,k), (,)1a m =,则同余式
2(mod )x a m ≡、有解时,解数为 .
23.设m 是偶数,则模m 有原根的充分必要条件是 .
24.设a 对模m 的指数为t,则1(mod )k a m ≡、成立的充分必要条件是 .
25．若12,,,t a a a 、是与m 互素的t 个整数，则12(,,,)t ind a a a ≡ 、
(m o d ())
m ?、 三、计算题。（本大题共4题，第26，27小题各5分，第28，29小题各7分，共24分） 26．解不定方程的整数解12357531.x y += 27.求3对模52的指数.
28.解同余方程组2(mod 3)
3(mod 4)3(mod 5)x x x ≡??
≡??≡?
、
29．对哪些奇素p,3是模p 的二次剩余? 四、应用题（本题10分）
30．今天是星期三，试求经过20031001999(20012)t =+天后是星期几？ 五、证明题（本大题共2题，每小题8分，共30分） 31．求证3是模17的原根.
32.已知383是素数，求证2219(mod383)x ≡、有解。
2007年4月广东省高等教教育育自学考试
初等数论试题答案及评分参考
一、 单项选择题
1—5BCDAB 6—10ACDBC 11—15ADCDB 二、填空题 16. 45
652323571113创创
17.()a a a b b a bm br b b ????=+=+????????
、或
18.12
19.或存在一个正整数t,(,10)1b =使得成立101(mod )t b o。 20．11121111122()()()k k k k p p p p p p αααααα------ 、或12111(1)(1)(1)k
m p p p --- 、 21（a,m ）=1 22. 2k
23.m=2,4或2p a ，其中a 为正整数，p 为素数 24．t k
25．12t inda idna idna +++ 、 三、计算题
26．解：（123，57）=3531，所以方程有整数解。
化简方程得 411917
7y +=
. (1分) 解得 411923=?+、
19361=?+、
于是1193619(41192)6=-?=--??、 41(6)191=?-+?、 故41(6177)1916177177?-?+??=、
知方程有特解 006177,13177x y =-?=?、（3分）
一般解为6177191317741x t
y t =-?+??
=?-?
、（0,1,2,t =±± 、）（5分） 27、解：5224?=、（），24的正因数为
1，2，3，4，6，8，12，24 （2分）
依次检验：12343339327329mod52)≡≡≡≡、，，，（
631(mod52)≡、 （4分） 故3对模52的指数是6 （5分） 28、 解：1233,4,5,60m m m m ====、 12320,15,1
2M M M ===、 而'''1232,3,3M M M ===、 （3分） 故此同余组的解为
220231533123(m o x ≡??+??+??、 23(m o d 60≡、 （7分） 29、解：显然5p 3，由二次互反律，有
3111
22
23/(()33p p p p p ---???????=-=- ? ? ???
???? （1分）
由于{
1,13p ≡-≡??
=
???
如p 1(mod3)，如p 2(mod3)
、
{
1
1,2
1(1)
p -≡-≡-≡
如 p 1(mod4)，如 p 3(mod4)
、 (3分)
所以 1
2
31(
3p p p -????=?=- ? ?????
、 {
1(m o d 3)
1(m o d 4)
p p oo?
或{
21(mod 3)31(mod 4)
p p 汉-汉-?
（5分）
1(m o d 12
p 酆 所以只有当(mod 12)p 罕时，3是模p 的二次剩余 （7分） 四、应用题
30、解： 要求t 模7的余数 2004(m o d 7),125(m
汉 由欧拉定理 6641(mod 7),51(mod 7)汉 （2分） 于是20032003
33365
520044442(mod 7)′汉春 （5分）
100100616
4
4
12555
52(m o
d 7)′?
春 （7分）
于是1999663331
4444(mod 7)t ′?春 （9分）
于是再过t 天就是星期日 （10分） 五 证明题
31、证：求得4(17)162j == ，其不同素因数只有2 （2分）
(17)
82
j = （4分） 而(17)82
3
316
1(mod17)j =汗 （6分）
所以3是模17的一个原根 （8分） 32、证：219373= ，于是
219373383383383
骣骣骣鼢 珑 鼢 =珑 鼢 珑 鼢 桫桫桫 （1分） 由二次互转律
31383
1
2
2
3383383(1)3833
2
--·骣骣骣鼢
珑 鼢 =-=-珑 鼢 珑 鼢 桫桫桫 21
(1)133骣骣-鼢珑鼢=-=-=--=珑鼢
珑鼢桫
桫
（4分） 2733831823238373737373骣骣骣骣骣·÷鼢鼢?珑珑÷鼢鼢====?珑珑÷鼢鼢?珑珑÷鼢鼢?桫桫桫桫桫
2
731
8
(1)
1-=-= （7分）
所以 2191383骣÷?÷=?÷?÷桫
故同余方程2
219(mod 383)x o 有解 （8分）
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103
A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___.
8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系.
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )
一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a 第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x , )45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题) 第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 初等数论试卷和答案 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768? 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab 初等数论考试试卷（一） 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则 A ) (mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( )，则不定方程c by ax =+有解. B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136，221，391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429，其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ，数62 332n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 初等数论考试试卷（一）答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ] [b a ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( 唯一 )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136，221，391]=?（8分） 解 [136，221，391] =[[136，221]，391] =[391,17221 136?] =[1768，391] ------------(4分) = 173911768? =104?391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程144219=+y x .（8分） 2010年4月高等教育自学考试 一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.??? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?????≡≡≡9).5(mod x 20), 7(mod x 15), 2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2+y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a 02013自学考试初等数论模拟试题（含答案） 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. 附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2 不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。初等数论作业(3)答案
初等数论第2版习题答案
初等数论试卷和答案
自考初等数论试题及答案
自考初等数论试题及答案
02013初等数论两套试卷及答案
初等数论试卷
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)
初等数论1习题参考答案
相关主题
文本预览