2009年7月高等教育自学考试
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1.对于不同的整数n,最大公因数(4n-2,3n+1)将有不同的值,其可能得到的值共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.以下各组数中,恰有一个素数和一个合数的数组是（ ）
A.101,103
B.117,119
C.131,133
D.141,143
3.设a 是整数,下面同余式必不成立的是（ ）
A.a 2≡-1(mod 4)
B.a 2≡2(mod 7)
C.a 2≡3(mod 11)
D.a 2≡-1(mod 13)
4.以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ ）
A.6x ≡10(mod 22)
B.6x ≡10(mod 18)
C.⎩⎨⎧≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x
D. ⎩
⎨⎧≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 5.在数201,202,203,204中不能表为两整数平方和的数共有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1.d(2000)=____;π(200)-π(180)=____.
2.为了编制1至2000之间的素数表,只需从中删去素数2,3,…,p 的倍数,留下的数(包括2,3,…,p 自身)就全是素数.为此,最小的p 是____.
3.设n 是合数,且ϕ(n)=6,则其中一个n 是____.
4.同余方程12x ≡8(mod 44)的解是____.
5.不定方程7x+5y=22的通解是____.
6.22004被31除所得余数是____.
7.华林(Waring)问题是指____.
8.依据勒让德 (Legendre)符号的值,同余方程x 2≡69(mod 199)的解的个数是____.(注:661是素数)
三、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
1.解同余方程组⎪⎩
⎪⎨⎧≡≡≡11) (mod 34x 7) (mod 13x 9) (mod 6x
2.试用高斯(Gauss)逐步淘汰法解同余方程x 2≡33 (mod 97).
3.试求方程41
-3x -⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+734x =0的实数解.
四、证明题(本大题共3小题，第1小题8分,第2小题10分,第3小题11分,共29分)
1.试证x 6+5=y 2无整数解.
2.试证形如4m-1的素数有无限多个.
3.设(a,m)=1,正整数n 使a n ≡1 (mod m)成立.这样的n 有多个,其中最小的记为δ.试论δ|n.
2009年4月高等教育自学考试
一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.ϕ(5600)=_____.
2.同余方程20x ≡14(mod 72)关于模72的解是_____.
3.不定方程7x+19y=213的整数解是_____.
4.模19的平方非剩余是_____.
5.同余方程x 2≡74(mod 101)有_____个解.
6.199!末尾连续地有_____个零.
7.547是_____.（填“素数”或“合数”）.
8.写出模10的一个最小的非负完全剩余系，并要求每项都是3的倍数，则此完全剩余系为_____.
9.最大公因数(n+1,3n+2)=_____.
10.欧拉定理表述为_____.
二、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)
1.求10
1010被7除所得的余数.
2.解同余方程组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡15) 11(mod x 9). 5(mod x 7) 2(mod x
3.甲物每千克5元，乙物每千克3元，丙物每3千克1元，现在用100元买这三样东西共100千克，问各买几千克？
4.用高斯逐步淘汰法解同余方程x 2≡73(mod 137).
三、证明题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
1.若n=9k+t,t=3,4,5或6，k ∈Z ，证明方程x 3+y 3=n 无整数解.
2.设3|(a 2+b 2)，证明3|a 且3|b.
3.若(a,m)=1，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系.
