初等数论试卷

初等数论试卷

一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）

１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A )

Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+；

Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+．

２．下列命题中不正确的是( B )

Ａ．整数12,,

,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数

Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数

Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数

３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d

=-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d

=+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d

=+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±

４．下列各组数中不构成勾股数的是( D )

Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；

Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７

５．下列推导中不正确的是( D )

Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+

Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡

Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡

Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡

６．模１０的一个简化剩余系是( D )

Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;

Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.

７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( E ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +

８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C )

Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;

Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．

9、设f(x)=10n n a x a x a +

++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( C )

A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解

B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解

C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中

D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有

10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式

()()0mod f x p ≡的解数：

（ B ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过p

C ．等于p

D ．等于n

11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )

A ．3

B ．11

C ．13

D ．23

13．()

()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )

A ． 4

B ． 3

C ． 2

D ． 1

14． 模12的所有可能的指数为;( A )

A ．1，2，4

B ．1，2，4，6，12

C ．1，2，3，4，6，12

D ．无法确定

15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( D )

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 12

18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( B )

A ．a

B ．b

C ．ab

D ．无法确定

19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A )

A ．()()f a g a 为可乘函数；

B ．()()

f a

g a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数

20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立

A ．()11μ=

B ．()11μ-=

C ．()21μ=-

D ．()90μ=

二．填空题：（每小题1分，共10分）

21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；

22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，

2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；

23．有理数a b

，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；

24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有

解为_________________________；

27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；

28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；

29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；

30． ()48ϕ=_________________________________。

三．简答题：（5分／题×4题＝20分）

31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。

32．“若)(

,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34．设1212k k a p p p ααα=为a 的标准分解式，记()S a 为a 的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝？ ()a τ＝？ 为什么？

四．计算题。（7分／题×4题＝28分）

35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。