初等数论测试(带答案)

初等数论考试试卷一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±±Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±±Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd=-=-=±±4．下列各组数中不构成勾股数的是( D )Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. 7．()mod a b m ≡的充分必要条件是( A ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +8．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( ? )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．不超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( C ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为：( A )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15． 若模m 的原根存在，下列数中，m 不可能等于：( D ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是 ( B ) A ．322ind = B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是： ( C ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则a χ对模m 的指数是( B ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ _____21____； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2≥n ，有整数解的充分必要条件是_（1a ，2a ，…，n a ，）︱N_；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_（10，b ）=1__； 24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为2,__；25． 威尔生（wilson ）定理：____()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数______； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=___1___； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是___()()m φφ__；29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_g 与g+a p 中的奇数_； 30． ()48ϕ=___16___。

初等数论考试试卷1一、单项选择题（每题3分，共18分）1、如果ba, ab，则（）.A a =bB a=-bC a _bD a=b2、如果3n,5n，则15 （）n.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数（）. A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果a=b（m°dm）,c是任意整数，则A ac 三bc（modm）B^b C ac bc（modm） D a=b5、如果（）,则不定方程ax by =c有解•A（a, b）c B c（a,b） C ac D （a,b）a6、整数5874192能被（）整除.A 3B 3 与9C 9D 3 或9二、填空题（每题3分，共18分）1、素数写成两个平方数和的方法是（）•2、同余式a xF=0（modm）有解的充分必要条件是（）.3、如果a,b是两个正整数，则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为（）.4、如果P是素数,a是任意一个整数，则a被P整除或者（）.5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的（）.6、如果a,b是两个正整数，则存在（）整数q,r,使a=bqj,ozr b.三、计算题（每题8分，共32分）1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y =144.3、解同余式12x 15=°（mod45）.4294、求563,其中563是素数.（8 分）四、证明题（第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）1证明对于任意整数 2 3n n n—+— +—n ,数3 2 6是整数.2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除.3、 证明形如4n -1的整数不能写成两个平方数的和 试卷1答案 一、 单项选择题（每题3分，共18分） 1、D. 2、A 3、C4、A5、A6、B 二、 填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（唯一的） 2、 同余式axF^Ogodm ）有解的充分必要条件是（（a ，m ）b ）.3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为4、 如果P 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（与P 互素 ）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的（倍数）. 6、 如果a,b 是两个正整数，则存在（唯一）整数q ,r ,使a =bq • r , o =（申）.三、计算题（每题8分，共32分） 1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391] =[[136,221],391] 136221 … ,391 =[ 17] =[1768,391] （4 1768 391=104 391 =40664.（4分）2、求解不定方程9x 2y =144.（8 分）解：因为（9, 21）=3, 3144，所以有解； --------------------- （2分）化简得3x，7y=48 ；------------ （1 分）考虑3x・7yT，有x = _2, ，------------ （2 分）所以原方程的特解为x二~6, y =48， ----------------- （1分）因此，所求的解是x=T6 Pt, y =48-3t,t・Z 。

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12; 0(2420)=_880_2、设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12=0(mod 37)的解是x三11 (mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t, y=700+18t t Z。

.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。

7、18100被172除的余数是_殛。

9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。

二、计算题疋11X 20 0 (mod lO5)o1、解同余方程：3解：因105 = 3 5 7,同余方程3x211X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3),同余方程3x211X 38 0 (mod 5)的解为x0, 3 (mod 5),同余方程3x211X 20 0 (mod 7啲解为x2, 6 (mod 7), 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7),其中®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6,由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解?*3x7 2 3 7)=(二)(一)(―-)107 107 107 1072 3 I 。

， 2 v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2(ArL) = -<±) = L 107 107 3 3.-.(—) = 1 107故同余方程x 2三42(mod 107)有解。

3、求(12715C +34) 23除以ill 的最小非负余数。

解：易知 1271 = 50 (mod 111)0由 502 =58 (mod 111) , 503 三58X50三 14 (mod 111), 509=143=80 (mod111)知 502G = (509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70 (mod 111) 从而505C=16 (mod 11 l)o故(12715C +34) 2c = (16+34) 20 =502G =70 (mod 111)三、证明题1、 已知p 是质数，(a,p) =1,证明：(1) 当 Q 为奇数时,a p l +(p-l)A =O (mod p);(2) 当a 为偶数时,衣三°(mod p)。

初等数论考试试卷一、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 •设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl • 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l • 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最大的称为最大公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设二元一次不定方程ax・by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解x o,y°,d二a,b，则此方程的一切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y 二y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y 二y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y 二y o t,t =0, 一1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.® 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. 一5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的一个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.无解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x • a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的一个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p 厂定为f (x)三0(mod p勺,1的一个解B. '三I mod p「，：：1,一定为f (x)三0 mod p ：的一个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的一个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)二a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时大于p但不大于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可比符号->1，则(C )Im丿2A. 同余式x三a modm 一定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a二p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. 一5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ） A. a B . b C . ab D.无法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ）A. f a g a 为可乘函数；B .f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数 20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成立A 二 J 1 =1B .空-1 =1C .二■-2 = -1D .二=9 =0二. 填空题：（每小题1分，共10分） 21. 3在45!中的最高次n = ________ 21 ___ ; 22.多元一次不定方程：a 1x 1a 2x 2 •丨II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数一，0cavb ,（a,b ）=1，能表成纯循环小数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__；b-_24.设x 三冷 mod m 为一次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的一个解，则它的所有解A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中， 2 B .3 C16. 对于模5，下列式子成立的是 .2 A )12 C . 1, 2, m 不可能等于：(D .12B )3, D 4, 6,12 D •无法确定 )A. in d 32 =2 ind 3^=3C.in d 35 =0ind 310 二 ind 32 ind 3517. A. 下列函数中不是可乘函数的是： 茂陛鸟斯（mobius ）函数w （a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数二x ；25. ____________________________ 威尔生（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26.勒让德符号'^03 |=1;訂013丿27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28. 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __；29. 设。

《初等数论》模拟试卷说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、填空（30分）1、d （1001）= 。

σ（2002）= 。

φ（5005）= 。

2、梅森数n M 是形如 的数。

3、不能表示成5X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

4、2003！中末尾连续有 个零。

5、（21a+4，14a+3）= 。

6、222z y x =+通解为 。

7、费尔马大定理是 。

8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 。

9、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是 。

10、p,q 是小于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最大值是 。

11、[X]=3，[Y]=5，则[X —2Y]可能的值为 。

12、X 能被3，4，7整除，这个最小的正整数是 。

13、两个素数的和是39，这两个素数是 。

二、解同余方程组（12分）⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x一、叙述并且证明费尔马定理。

（12分）二、证明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有∏=n d n d nd )(21 （10分）三、设Ｐ为奇素数，则有（10分）（１）111)1....(21----++p p p p ≡－1（ｍｏｄＰ）（２）p P P P )1....(21-++ ≡0（ｍｏｄＰ）六、用初等方法解不定方程01996202=+-xy x 。

（8分）七、解不定方程式15x+25y=-100. (6分)八、试证33393z y x =+ 无正整数解。

（6分）九、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被15整除的六位数（6分）《初等数论》模拟试卷（B ）答案一、1、8，1152，960，2、12-n3、19，4、499，5，1， 6、见书7、见书 8、77，9、c a a a n ),,(21 10、193，11、-9，-8，-7， 12、84，13、2，37二、孙子定理)140(mod 86≡x三、见书。

初等数论模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 一个数的最小素因子是它本身，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数3. 欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

若n=12，φ(12)的值是多少？A. 4B. 6C. 8D. 124. 一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 12C. 28D. 4966. 一个数的约数个数是奇数，这个数是什么？A. 质数B. 合数C. 完全数D. 素数7. 模n的逆元是指一个整数a，使得a×x ≡ 1 (mod n)，以下哪个数在模5下没有逆元？A. 1B. 2C. 3D. 48. 费马小定理指出，如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

以下哪个选项是错误的？A. a^4 ≡ 1 (mod 5)B. a^3 ≡ 1 (mod 7)C. a^2 ≡ 1 (mod 4)D. a^2 ≡ 1 (mod 3)9. 哥德巴赫猜想是指每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

以下哪个数不能被表示为两个质数之和？A. 4B. 6C. 8D. 1010. 以下哪个数是梅森素数？A. 3B. 7C. 2^7 - 1D. 2^3 - 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 素数是指只有________和它本身两个因数的自然数。

12. 如果a和b互质，那么它们的最大公约数是________。

13. 一个数的约数个数是偶数，这个数至少有________个约数。

14. 欧拉函数φ(1)的值是________。

15. 模n的剩余类集合记为Z/nZ，它包含________个元素。

16. 费马小定理中，如果a和p互质，那么a^(p-1) ≡ ________ (mod p)。

初等数论 试卷A 答案一、单项选择题(本题共5小题，满分20分)1.D ；2.B ；3.D ；4.C ；5.D二、填空题(本题共5小题,满分20分)6.1000；7.2)!1(++n ；8.17；9.5，25，35，55 10.)74(mod 61,24≡x ；11.4,109,1====y x y x 或； 12、X n +Y n =Z n当ｎ>2时没有正整数解 三、计算题(本题共5小题，满分40分)13解：因为7、8、9两两互质，所以同余组有解7⨯8⨯9=7⨯72=8⨯63=9⨯56=504……………………………………………………1 设)mod7(1721≡'M ………………………………………………………………2 )mod8(1632≡'M ………………………………………………………………3 )mod9(1563≡'M ………………………………………………………………4 则)mod7(41≡'M …………………………………………………………………5 )mod8(72≡'M …………………………………………………………………6 )mod9(53≡'M …………………………………………………………………7 故2290455627631472=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x)504(mod 274≡ (8)14、解： (3) (6)所以构成模的完全剩余系。

(8)15解：因)10(m od 134≡………………………………………………………………………3 所以)10(m od 1)3(360021200≡=………………………………………………………5 )10(mod 93321202≡≡.....................................................................7 即12023的个位数字是9 (8)四、证明题(本题共3小题，满分28分)16、证明：是合数…………………………………………………………………5 且为合数． (9)17证明：如果素数的个数是有限的，设是全体素数． (3)令则至少有一个素因数 显然否则必存在 使得 这与是素数矛盾………………………………………6 这与 是全体素数矛盾．故素数的个数是无穷的． (9)18、证明：)(mod N b a e ≡ )(mod )(N b a dd e ≡∴))((mod 1N ed ϕ≡ )(m od )(1N a a b N k ed d ϕ+≡≡∴所以问题即为证)(mod )(1N a a N k ≡+ϕ (3)若（a,N ）=1,则由欧拉定理)(m od 1)(N a N ≡ϕ⇒)(mod )(1N a a N k ≡+ϕ若1),(≠N a ，)1)(1()()()()(--===q p q p pq N ϕϕϕϕ要证)(mod )(1N a a N k ≡+ϕ⇔)(m od )(1p a a N k ≡+ϕ且)(m od )(1q a a N k ≡+ϕ……………………………………………………………………………………………6 下证)(m od )(1p a a N k ≡+ϕ若（a,p ）=1,则)(mod 1)(p a p ≡ϕ即)(m od 11p a p ≡-)(m od 1)1)(1(p a q p k ≡∴--)(m od 1)1)(1(p a a q p k ≡∴+--即)(m od )(1p a a N k ≡+ϕ若1),(≠p a ，是素数p a p ∴)(m od 0)(1p a a N k ≡≡∴+ϕ…………………………………………………………………9 同理可证)(m od )(1q a a N k ≡+ϕ问题得证。

02013初等数论试卷及答案初等数论考试试卷⼀、单项选择题：(1分/题×20 题=20分)1．设 x为实数，x 为 x 的整数部分，则( A )Ａ．x x x 1 ；Ｂ．x x x 1；Ｃ．x x x 1 ；Ｄ．x x x 1．2．下列命题中不正确的是( B )Ａ．整数 a1, a2, ,a n 的公因数中最⼤的称为最⼤公因数；Ｃ．整数a与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a与它的绝对值有相同的约数3．设⼆元⼀次不定⽅程 ax by c(其中 a,b, c是整数，且 a,b 不全为零)有⼀整数解x0,y0,d a,b ，则此⽅程的⼀切解可表为( C ) abＡ． x x0 t,y y0 t,t 0, 1, 2, ;ddabＢ． x x0 t,y y0 t,t 0, 1, 2, ;ddbaＣ． x x0 t,y y0 t,t 0, 1, 2, ;ddbaＤ． x x0 t,y y0 t,t 0, 1, 2, ;dd4．下列各组数中不构成勾股数的是(D)Ａ．5，12，13；Ｂ．7，24，25；Ｃ．3，4，5；Ｄ．8，16，175．下列推导中不正确的是(D)Ａ．a1 b1 modm ,a2 b2 modm a1 a2 b1 b2 modm ;Ｂ．a1 b1 modm ,a2 b2 modm a1a2 b1b2modm ;Ｃ．a1 b1 modm a1a2 b1a2 modm ;Ｄ．a12b12modm a1 b1 modm .6．模10 的⼀个简化剩余系是( D )Ａ． 0,1,2, ,9; Ｂ． 1,2,3, ,10;Ｃ． 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4; Ｄ． 1,3,7,9.7． a b modm 的充分必要条件是 ( A )Ａ． ma b; Ｂ． a b m; Ｃ． ma b;Ｄ． a b m.8．设 f x x 42x 38x 9 ，同余式 f x 0 mod5 的所有解为 ( C )Ａ． x 1或 1; Ｂ． x 1或 4; Ｃ． x 1 或 1 mod5 ; Ｄ．⽆解．9、设f(x)= a n x na 1x a 0其中a i 是奇数,若x x 0 modp 为f(x) 0 modp 的⼀个解，则:( ? )A ． mod p ⼀定为 f (x) 0 mod p , 1的⼀个解B ．mod p , 1,⼀定为 f (x) 0 mod p 的⼀个解C ．当p 不整除f ( x)时, f ( x) 0 modp ⼀定有解 x x 0 modp ,其中x x 0 modpD ．若x x 0 mod p 为f(x) 0 mod p 的⼀个解 ,则有x x 0 mod p 10．设f (x) a n x n a 1x a 0,其中a i 为奇数,a n 0 mod p ,n p,则同余式f (x) 0 modp 的解数：( )A ．有时⼤于 p 但不⼤于 n;B ．不超过 pC ．等于 pD ．等于 n11．若 2为模 p 的平⽅剩余，则 p 只能为下列质数中的 :( D )2A ．同余式x 2a modm ⼀定有解 ,B ．当 a,m 1时,同余式 x 2a modp 有解 ;A ． 3 C ．13 ( C )D ．23B ．11 12．若雅可⽐符号C ．当m p(奇数)时,同余式x 2a modp 有解 ;D ．当a p(奇数)时,同余式x 2a modp 有解．13．若同余式 x 2a mod2 , 3, 2,a 1有解 ,则解数等于 ( A )A ．ind 32 2B ． ind 32 3C ． ind 35 0D ． ind 310 ind 32 ind 3517．下列函数中不是可乘函数的是： ( C ) A ．茂陛鸟斯 (mobius)函数 w(a) ; B ．欧拉函数 a ；C ．不超过 x 的质数的个数 x ；D ．除数函数 a ；18．若 x 对模m 的指数是 ab ， a >0， ab >0，则 a对模 m 的指数是 ( B ) A ． aB ．bC ． abD ．⽆法确定19．f a ，g a 均为可乘函数，则 ( A )faA ． f a g a 为可乘函数；B ．为可乘函数 gaC ． f a g a 为可乘函数；D ． f a g a 为可乘函数20．设 a 为茂陛乌斯函数，则有 ( B )不成⽴ A ． 1 1B ．1 1 C ．2 1 D ． 9 0⼆．填空题：(每⼩题 1 分，共 10分)A ． 43 C ． 2 D ． 114．模 12 的所有可能的指数为： ( A )A ． 1， 2，4B ． 1，2，4， 6，12C ． 12， 3，4， 6，12D 15．若模 m 的原根存在，下列数中， m 不可能等于： (D )A 2B ． 3C ． 4D ．1216．对于模 5，下列式⼦成⽴的是 ( B ) ⽆法确定21． 3 在45!中的最⾼次n＝ ___ 21 _____；22．多元⼀次不定⽅程： a1x1 a2x2 a n x n N ，其中 a1 ，a2 ，?，a n ，N 均为整数，设 x x 0 modm 为⼀次同余式 ax b modm ，a 0 modm 的⼀个解，则它的所有确？正确请证明，不正确请举反例。

《初等数论》期末练习二、单项选择题 1、 (0，b)（）.A bB bC b D02、如果 (a, b) 1，则(ab, a b ）=（） A a B b C 1 Dab 3、小于 30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7二、填空题1、 有理数旦，0 a b,（a,b ）1，能写成循环小数的条件是（b2、 同余式12x 15 0（mod45）有解，而且解的个数为 （）.3、 不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（）.4、 设n 是一正整数，Euler 函数（n ）表示所有（）n ，而且与n （5、 设 a,b 整数，则（a,b ） （）= ab.6、 一个整数能被 3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被A 3B 3 与 9C 9D 3或9 7、 如果ba ， ab ，则（）.A a bB a bC a bD ab& 公因数是最大公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、 大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负兀全剩余系是 ().A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6， -5,-4,-3,-2,-1 C1,2,3,4,5，6 D 11、因为（）,所以不定方程 12x 15y 7没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除 7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、 同余式 x 438(mod 593)( ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解4、 如果a b （modm ） ,c 是任意整数 贝U A ac bc （mod m ） B a b C ac bc （mod m ） D a b5、 不定方程 525x 231y 210（）. A 有解 B 无解 C 有正数解D 有负数解6、 整数5874192能被（）整除. 0,1,2,3,4，5，6）.）的正整数的个数3整除.7、x [x]（）.8、同余式111x 75（mod321）有解,而且解的个数（）.9、在176与545之间有（）是17的倍数.10、如果ab 0 则［a,b］（a,b）=（）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（）.12、如果（a,b） 1,那么（ab, a b）=（）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程107x 37y 25. （8分）4293、求——,其中563是素数.（8分）5634、解同余式111x 75（mod321）.（8 分）5、求［525,231］=?6、求解不定方程6x 11y 18.2 __________________________7、判断同余式x 365（mod 1847）是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余•四、证明题1、任意一个n位数a n a n 1a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2 a n 1a n的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n是奇数时，有3（2n1） .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积，仍然是两个平方数的和；两个能表成两个平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数•（11分）4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数•5、如果a,b是两个整数,b 0,则存在唯一的整数对q, r,使得a bq r,其中0r b .《初等数论》期末练习二答案、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数-,0 a b,（a,b）1，能写成循环小数的条件是（（b,10） 1 ）.b2、同余式12x 15 0（mod45）有解，而且解的个数为（3 ）.3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（41 ）.4、设n是一正整数，Euler函数（n）表示所有（不大于）n，而且与n （互素）的正整数的个数•5、设a,b 整数，则（a,b）（[a,b] ）=ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除•7、x [x] （{x}）.8、同余式111x 75（mod321）有解,而且解的个数（3 ）.9、在176与545之间有（12 ）是17的倍数.10、如果ab 0 则[a,b]（a,b） =（ ab ）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（因数）.12、如果（a,b） 1,那么（ab, a b）=（ 1 ）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17比24871 3468所以[24871,3468]= =507368417所以24871与3468的最小公倍数是5073684。