高三诊断性考试文科数学试题及答案2

日期：2022年二月八日。 日期：2022年二月八日。 HY2021届高三数学第二次诊断性测试试题 文〔含解析〕

制卷人：打自企； 成别使； 而都那。 审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

第一卷〔选择题 一共60分〕 一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.集合，，那么〔 〕 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进展求解即可． 【详解】， 那么，应选B． 【点睛】此题主要考察集合的根本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或者对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.

2.设是虚数单位，那么复数〔 〕 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算以及的运算性质化简求值即可． 【详解】，应选A. 【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题 日期：2022年二月八日。 日期：2022年二月八日。 3.假设变量满足约束条件，那么的最大值是( ) A. 0 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果． 【详解】由题意作出其平面区域，

令，化为，相当于直线的纵截距， 由图可知，，解得，， 那么的最大值是，应选C． 【点睛】此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值. 日期：2022年二月八日。 日期：2022年二月八日。 4.执行如下图程序框图的输出结果是〔 〕

甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．{}5A x x =∈N 是不大于的奇数，{}3,2,3B =-，则集合A B ⋃=（）A ．{}3,1,3,5-B ．{}3,1,2,3-C ．{}3,1,2,3,5-D ．{}32．已知复数z 满足()13i 24i z -=+，则z =（）A ．1i--B ．1i+C ．1i-+D ．2i -+3．2022年8—12月某市场上草莓价格（单位：元/千克）x 的取值为：12，16，20，24，28，市场需求量（单位：百千克）0.520y x =-+，则市场需求量的方差为（）A ．8B ．4C ．D ．24．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n n γ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（）A ．()4ln 210⨯B ．4ln 2+C ．4ln 2-D ．ln 25．已知点P 在圆22:40C x x y -+=上，其横坐标为1，抛物线()220x py p =->经过点P ，则抛物线的准线方程是（）A ．6y =B ．12x =C ．6x =D ．12y =6．已知0a >，0b >2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值是（）A ．8B ．4C ．3D ．27．已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a”，则以下命题为真命题的是（）A ．p q ∨B ．p q∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间[]1,5内的任意一个实数x ，则输出的[]8,20x ∈的概率为（）A ．14B ．34C ．12D ．139．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm ）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（）A ．28dmB ．244dmC ．248dm +D ．28dm +10．若将函数()πcos 2cos 23f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()y g x =的四个结论不正确．．．的是（）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-C ．()g x 在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 的图象对称中心为π,12k ⎛⎫⎪⎝⎭11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线上存在关于原点O 对称的两点M 和N ，若双曲线的左、右焦点12,F F 与,M N 组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为2，则双曲线的离心率为（）AB CD 12．已知函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--，其中sin6a π=，33sin cos44b =，c =，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x b x c -->B ．函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且()()110x a x b --<，()()220x a x b -->C ．函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x a x b --<D ．函数()f x 只有一个零点0x ，且()()000x a x b -->，()()000x b x c --<二、填空题13．在梯形ABCD 中，//AB CD ，0AD AB ⋅= ，112AD CD AB === ，则BC CD ⋅= ______．14．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．15．用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．16．定义：如果任取一个正常数T ，使得定义在R 上的函数()y f x =对于任意实数x ，存在非零常数m ，使()()f x T m f x +=，则称函数()y f x =是“ξ函数”．在①21y x =+，②3212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，③3y x =，④()ln 1y x =-这四个函数中，为“ξ函数”的是______（只填写序号）．三、解答题17．已知数列{}n a ，11a =，对任意的i *∈N 都有n i n a a i +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足：12n nn n b ab a ++=，且11b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．(1)在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =cos5SBM ∠=；③sin SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求点M 到平面SAD 的距离．19．2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：欧洲球队美洲球队非洲球队亚洲球队32强16强32强16强32强16强32强16强1131094515121310105514031361085240414108550515138835263合计66444525256245(1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区其他地区合计并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？(2)已知某届世界杯比赛过程中已有2支欧洲球队进入8强并相遇，胜者进入4强，此时球迷预测还将有3支欧洲球队，2支美洲球队，1支亚洲球队进入8强，并在这6支球队中两两对决进行3场比赛，产生剩下的三个4强席位，求欧洲球队不碰面的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．(1)求椭圆E 的方程；(2)若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>的离心率为2，点P 也在1E 上，求证：直线AB与1E 相切．21．已知函数()()ln ln N n f x x x n x n *=-∈．(1)当1n =时，求函数()y f x =的单调区间；(2)当1n >时，函数()y f x =的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点Q 在右侧．若函数()y f x =在点Q 处的切线为()y g x =，求证：当1x >时，()()f x g x ≥．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos a ρρθ=+，其中1a >-．(1)当0a =时曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；(2)过点()3,1P -的直线l的参数方程为3,12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线2C 交于A 、B 两点，若1PA PB ⋅=，求实数a ．23．已知()212f x x x =++-．(1)解不等式()4f x ≥；(2)若对于任意正实数x ，不等式()10f x ax +->恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】列举法表示集合A ，根据并集定义可得结果.【详解】{}13,5A = ,，{}3,2,3B =-，{}3,1,2,3,5A B ∴=- .故选：C.2．C【分析】根据复数除法规则计算即可.【详解】()()()()()24i 13i 24i 13i 24i 1i13i 13i 13i z z +++-=+⇒===-+--+故选：C.3．A【分析】由草莓价格x 的方差结合方差的性质得出市场需求量的方差.【详解】1(1216202428)205x =⨯++++=，则草莓价格x 的方差为222221(1220)(1620)(2020)(2420)(2820)325⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.因为0.520y x =-+，所以市场需求量的方差为2(0.5)328-⨯=.故选：A 4．D【分析】所求式子为1111111123200002310000⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据已知中的公式直接计算即可.【详解】1111111111110001100022000023200002310000⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20000ln 20000ln10000ln 20000ln10000ln ln 210000γγ=+-+=-==.故选：D.5．D【分析】结合圆的方程可求得P 点坐标，代入抛物线方程可确定p 的值，进而确定准线方程.【详解】将1x =代入圆C 方程得：23y =，解得：y =(P ∴或(1,P ，P 在抛物线()220x py p =->上，1∴=-或1=，解得：p =p =，∴抛物线方程为2x y =，∴抛物线的准线方程为：y =.故选：D.6．B【分析】利用等比中项的性质得到1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．是2a 与2b 的等比中项，所以222a b =⋅，即22a b +=，所以1a b +=，又0a >，0b >，所以()111111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当ba ab=且1a b +=，即12a b ==时取等号．所以11a b+的最小值为4．故选：B ．7．A【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解.【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，对角线长为2，所以外接球的表面积为223π4π42a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题.故选：A.8．B【详解】由程序框图可知：输入[]01,5x ∈，当1n =时，满足循环体，执行循环体，0x =∈，2n =，当2n =时，满足循环体，执行循环体，此时02[2,10]x x =∈，3n =，当3n =时，满足循环体，执行循环体，此时0x =∈，4n =，当4n =时，满足循环体，执行循环体，此时04[4,20]x x =∈，5n =，当5n =时，不满足循环体，退出循环，由几何概型，得输出[8,20]x ∈的概率为20832044-=-.故选：B.9．A【分析】根据三棱柱和棱台表面积公式计算即可.【详解】由题可得正三棱柱的底面积为：2122sin 602⨯⨯⨯︒=，正三棱柱的外露表面积为：222228⨯⨯=+，=，四棱台外露表面积为：()214262⨯⨯+⨯=，该结构表面积为：288dm +.故选：A 10．B【分析】根据三角恒等变换公式，可得()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由函数图象的平移法则得()g x ，然后根据正弦函数的图象与性质，逐项分析选项，即可.【详解】因为()π13πcos 2cos 2cos 2cos 22cos 2223226f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()πππ212121662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.对于A ：2ππ2T ==，故A 正确；对于B ：由ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦知，π2,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2[0,1]x ∈，所以()g x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1B 错误；对于C ：令ππππ2,,,2244x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为ππππ,,4644⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()g x 在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ：令2π,Z x k k =∈，π,Z 2k x k =∈，所以()g x 的图象对称中心为π,12k ⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B 11．C【分析】设()(),,0M m n m n >，根据矩形对角线长相等和矩形面积可构造方程组，化简得到关于,a c 的齐次方程，解方程可求得离心率.【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：by x a=±，不妨设,M N 在by x a =上，设()(),,0M m n m n >，则(),N m n --，b n m a∴=， 四边形12F MF N 为矩形，122MN F F c ∴==，222m n c ∴+=，矩形12F MF N的面积221442MOF S S ==⨯= ，∴由22222b n m a m n c cn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩得：422460c a c a --=，即4260e e --=，解得：23e =，e ∴=故选：C.12．B【分析】由已知可得12a =，12b <，12c >，进而利用零点存在性定理可得结论．【详解】解：因为π1sin62a ==，331311sin cos sin sin 4422222πb ==<=，又3πcos cos 044>>，所以1113ln e 222c =>=，即c a b >>，又()()()()()()()()()0f a a a a b a b a c a c a a a b a c =--+--+--=--<，()()()()()()()()()0f b b a b b b b b c b c b a b c b a =--+--+--=-->，()()()()()()()()()0f c c a c b c b c c c c c a c a c b =--+--+--=-->，则()()0f a f b <，()()0f a f c <，又()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--为定义域R 上的连续函数，所以函数()f x 必有两个不相同的零点，∴存在1(,)x b a ∈，使得1()0f x =，且11()()0x a x b --<，存在2(,)x a c ∈，使得2()0f x =，22()()0x a x c --<，22()()0x a x b -->，∴函数()f x 有两个零点1x ，212()x x x <，且11()()0x a x b --<，22()()0x a x b -->．故选：B ．13．1【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得结果.【详解】0AD AB ⋅=，AD AB ∴⊥，则以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，()1,1BC ∴=- ，()1,0CD =-，()()11101BC CD ∴⋅=-⨯-+⨯=.故答案为：1.14【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果.【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=，又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴，SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，2SO == ，122a OC AB ==，2tan 2a SO SCO a OC ∴∠===即SC 与BD15【分析】根据三角形性质确定三边边长，利用余弦定理和正弦定理计算出对应三角形外接圆的直径.【详解】4根细木棒围成一个三角形的三边长可以为5，8，9，设边长为9的边所对的角为θ，由余弦定理可知：2564811cos 25810θ+-==⨯⨯，因为()0,πθ∈，所以sin θ=由正弦定理知，92sin 11R θ==，所以其中某个三角形外接圆的直径可以是11..16．②【分析】根据“ξ函数”，依次判断各选项中的()()f x T f x +是否为常数即可.【详解】对于①，令()21f x x =+，则()()221212121f x T x T Tf x x x +++==+++，不是常数，21y x ∴=+不是“ξ函数”；对于②，令()3212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()332332112212x T T x f x T f x +--⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭为常数，3212x y -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭是“ξ函数”；对于③，令()3f x x =，则()()()3322322333333331f x T x T x T x T x T T x T x T f x x x x +++⋅++⋅++===+，不是常数，3y x ∴=不是“ξ函数”；对于④，令()()ln 1f x x =-，则()()()()ln 1ln 1f x T x T f x x ++-=-，不是常数，()ln 1y x ∴=-不是“ξ函数”.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解“ξ函数”的定义，即()()f x T f x +为常数的函数，从而根据运算法则来求解即可.17．(1)n a n =(2)21n n S n =+【分析】（1）取1i =，即可证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列通项公式可求得n a ；（2）利用累乘法可求得n b ，采用裂项相消法可求得n S .【详解】（1） 对任意的i *∈N ，都有n i n a a i +-=，∴当1i =时，11n n a a +-=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n ∴=.（2）由（1）得：12n n b nb n +=+，∴当2n ≥时，()1232112321123212111431n n n n n n n b b b b b n n n b b b b b b b n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-+，又11b =满足()21n b n n =+，()211211nb n n n n ⎛⎫∴==- ++⎝⎭，111111111122121223341111n n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+++⋅⋅⋅+-+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.18．(1)条件选择见解析，证明见解析【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理逆定理证得SM AM ⊥，由等腰三角形的几何性质可得出SM BC ⊥，利用线面和面面垂直的判定定理可证得结论成立；选条件①③，利用正弦定理推导出SM AM ⊥，，由等腰三角形的几何性质可得出SM BC ⊥，利用线面和面面垂直的判定定理可证得结论成立；选条件②③，利用余弦定理求出SA 的长，利用勾股定理逆定理证得SM AM ⊥，由等腰三角形的几何性质可得出SM BC ⊥，利用线面和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出三棱锥S ADM -的体积，计算出ASD 的面积，利用等体积法可求得点M 到平面SAD 的距离.【详解】（1）证明：方案一：选条件①②.因为在四棱锥S ABCD -中，SB SC =，点M 为BC 的中点，则SM BC ⊥，因为2SM =，在Rt SBM 中，cos BMSBM SB∠==，1BM ∴=，又因为四边形ABCD 为矩形，2BC AB =，则1BM AB ==，AM ===因为SA =AM =2SM =，所以，222SA AM SM =+，则SM AM ⊥，因为AM BC M = ，AM 、BC ⊂平面ABCD ，所以，SM ⊥平面ABCD ，因为SM ⊂平面SBC ，所以，侧面SBC ⊥平面ABCD ；方案二：选条件①③.因为在四棱锥S ABCD -中，SB SC =，点M 为BC 的中点，则SM BC ⊥，在SAM △中，SA =sin 3SAM ∠=，2SM =，由正弦定理可得sin sin SA SM SMA SAM=∠∠=，所以，sin 1SMA ∠=，所以，π2SMA ∠=，即SM AM ⊥，因为AM BC M = ，AM 、BC ⊂平面ABCD ，所以，SM ⊥平面ABCD ，因为SM ⊂平面SBC ，所以，侧面SBC ⊥平面ABCD ；方案三：选条件②③.因为在四棱锥S ABCD -中，SB SC =，点M 为BC 的中点，则SM BC ⊥，且2SM =，在Rt SBM 中，cos BMSBM SB∠==，1BM ∴=，又因为四边形ABCD 为矩形，2BC AB =，则1BM AB ==，所以，AM ===在SAM △中，sin 3SAM ∠=，则cos 3SAM ∠===，设SA x =，由余弦定理可得2222cos SM SA AM SA AM SAM =+-⋅∠，整理可得2360x --=，解得x =x =，所以，SA =，因为SA =AM =2SM =，所以，222SA AM SM =+，则SM AM ⊥，因为AM BC M = ，AM 、BC ⊂平面ABCD ，所以，SM ⊥平面ABCD ，因为SM ⊂平面SBC ，所以，侧面SBC ⊥平面ABCD .（2）解：在（1）的条件下，SM ⊥平面ABCD ，因为M 为BC 的中点，2SM =，1BM AB ==，在ADM △中，AM DM ==2AD =，则222AM DM AD +=，所以，AM DM ⊥，则211122ADM S AM DM =⋅=⨯=△，11212333S ADM ADM V S SM -=⋅=⨯⨯=△，在SAD 中，SA SD ==，2AD =，则2226642cos 2123SA SD AD ASD SA SD +-+-∠==⋅，所以，sin 3ASD ∠，所以，11sin 622ASD S SA SD ASD =⋅∠=⨯⨯△，设点M 到平面SAD 的距离为h ，由S ADM M ASD V V --=可得1233SAD S h ⋅=△，所以，2SADhS=△因此，点M到平面SAD19．(1)见解析(2)25【分析】（1）根据题意完成列联表，利用列联表求出2K，即可求解；（2）利用平均分组的方法求所有比赛的方法数，再由排列问题的应用求出欧洲球队不碰面的比赛方法数，再由古典概型概率公式.【详解】（1）解：根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区442266其他地区365894合计8080160所以22160(44582236)12.482 3.84180806694K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关；（2）由题意，3支欧洲球队，2支美洲球队，1支亚洲球队这6支球队中两两对决进行3场比赛，一场比赛对应着将6个球队平均分成3组，每组2支球队的一种分组方法，共有22264233C C C15A=(种)比赛方法；若欧洲球队不碰面，可将3支欧洲球队看成三个空格，将2支美洲球队，1支亚洲球队在3个空格进行排列，一种排列方法对应着一种满足条件的比赛方法，共有336A=(种)排列，所以欧洲球队不碰面的比赛方法共有6种.故欧洲球队不碰面的概率为62.155P==20．(1)2214x y+=(2)证明见解析【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【详解】（1） 菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=.（2）由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+，由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k -=+，21212228221414k t ty y kx t kx t t k k ∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭；椭圆1Ee ∴=224=m n ，2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t ⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=，()()()22222222216441444164k t k tn k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+，()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系.21．(1)递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞；(2)证明见解析.【分析】（1）把1n =代入，利用导数求出函数的单调区间作答.（2）求出点Q 的坐标及切线()y g x =，再构造函数，利用导数探讨最小值作答.【详解】（1）当1n =时，函数()ln ln f x x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得1()ln 1f x x x=+-'，显然()f x '在(0,)+∞上单调递增，而()01f '=，则当01x <<时()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞.（2）,N 1n n *>∈，()0ln ln 0n f x x x n x =⇔-=，解得1x =或1n x n =，则1(,0)n Q n ，11()ln n n n f x nx x x x--'=+-，111111()ln ln n n n nnn nnnn f n n nn nnn n---'=⋅+-=，函数()y f x =的图象在点Q 处的切线11(ln )()n nny nn x n -=-，于是1()(ln )ln n ng x nn x n n -=-，当1x >时，令()()()h x f x g x =-，求导得111()()(n )l ln n n n nn nxx xn n h x f x g x x---'''=+--=-，当11nx n <<时，1110ln ,1n n n x n x n n--<<<<，则11ln ln n n n nx x n n --<，即11ln ln 0n n n nx x n n ---<，显然n x n <，即1n n x x -<，10n n x x --<，因此()0h x '<，函数()h x 在1(1,)n n 上单调递减，当1nx n >时，111ln ln ,n n n x n x n n-->>，则11ln ln n n n nx x n n -->，即11ln ln 0n n n nx x n n --->，显然n x n >，即1n n x x ->，10n n x x-->，因此()0h x '>，函数()h x 在1(,)n n +∞上单调递增，于是当1x >时，111()()()()0n n n h x h n f n g n ≥=-=，所以当1x >时，()()f x g x ≥.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.22．(2)3a =或5a =【分析】（1）求出曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程，根据几何关系和点到直线距离公式计算即可；（2）将参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程中，根据韦达定理和直线参数t 的几何含义求解.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，当0a =时，曲线2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，转换为直角坐标方程为222x y x +=，相交弦所在的直线方程为：0x y -=，圆心()0,1到直线0x y -==，曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，线段MN的长度为：2（2）把直线l：3,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线2C ：222x y x a +=+，得到：240t a +-=，所以124t t a =-，1PA PB ⋅=即41a -=，解得3a =或5a =.23．(1)[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ (2)5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别在1x ≤-、12x -<<和2x ≥的情况下，去除绝对值符号解不等式即可；（2）将问题转化为()()1f x a g x x->=恒成立问题，通过分类讨论可得()max g x ，进而得到a的取值范围.【详解】（1）当1x ≤-时，()()21234f x x x x =-++-=-≥，解得：43x ≤-；当12x -<<时，()()21244f x x x x =++-=+≥，解得：02x ≤<；当2x ≥时，()()21234f x x x x =++-=≥，解得：2x ≥；()4f x ∴≥的解集为[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .（2）由0x >时，()10f x ax +->得：()1f x a x->，令()()1f x g x x -=，则()31,0213,2x xg x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，当02x <≤时，()g x 单调递增，()()352122g x g ∴≤=--=-；当2x >时，()g x 单调递减，()()152322g x g ∴<=-+=-；()max 52g x ∴=-，52a ∴>-，即实数a 的取值范围为5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。

实验中学2021届高三第二次诊断性考试文科数学试题参考答案2021．10说明：试题分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷为第1页至第*页，第二卷为第*页至第*页。

试题答案请需要用2B 铅笔或者签字笔填涂到答题卡规定的指定正确位置上，书写在试题上之答案无效。

考试时间是是120分钟。

第一卷〔一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．1． D D B A A 6． C A B D D第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分． 11． 2 12．62 13． OS 14． 5π615．－10 三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程16．〔本小题满分是12分〕解： (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32. 4因为A 是锐角，所以A ＝π3.6(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.10由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为733.1217．〔本小题满分是12分〕 函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；解：(1)可断定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，1∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.3∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. 6(2)设切点为(x 0，y 0)，那么直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. 8∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．1218．〔本小题满分是12分〕解： (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.2因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.6(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.假设0≤x ≤π2，那么π4≤2x ＋π4≤5π4.7当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．1219．〔本小题满分是12分〕[解答] (1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.5(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝ 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ.7因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45.8所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.10所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.1220．〔本小题满分是13分〕设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)假设f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，2当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19.6所以，当a ＞－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 7 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，9又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0，即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163.11 得a ＝1，x 2＝2，12 从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.13 21．〔本小题满分是14分〕假设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处获得极大值或者极小值，那么称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点；(3)设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈[－2,2]，求函数y ＝h (x )的零点个数．解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. 4(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或者－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或者x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2. 8 (3)令f(x)＝t，那么h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.9当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d<0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d＜0，f(2)－d＞0，y＝f(x)－d的图像不连续，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d＞0，f(1)－d＜0，y ＝f(x)－d的图像不连续，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|＜2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|x i|＜2，i＝3,4,5.现考虑函数y＝h(x)的零点．(ⅰ)当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．(ⅱ)当|c|＜2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|t i|＜2，i＝3,4,5，而f(x)＝t i(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．。

数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合4{0log 1}A x x =<<，{2}B x x =≤，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2] 2.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ） A ．对任意x R ∈，都有20x < B ．不存在x R ∈，使得20x <C ．存在0x R ∈，使得200x ≥D ．存在0x R ∈，使得200x <3. 函数)y x =-的定义域为（ ）A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[]0,14. 已知α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α=（ ） A ．1213- B ．513- C ．513 D ．12135. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．26. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则'0()0f x =7. “ϕπ=”是“曲线sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 函数()2ln f x x =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．09. 已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-10. 设,S T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： （i ）{()}T f x x S =∈；（ii ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A ．*,A N B N ==B ．{13}A x x =-≤≤，{8010}B x x x ==-<≤或C ．{01}A x x =<<，B R =D ．,A Z B Q ==第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. 设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()xxf e x e =+，则'(1)f =__________.12. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是__________.13.化简OP QP MS MQ -+-的结果为__________. 14. 函数cos(2)y x ϕ=+（πϕπ-≤<）的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=__________.15. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1]-上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩，其中,a b R ∈，若13()()22f f =，则3a b +的值为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin a B =. （1）求角A 的大小；（2）若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积. 17.（本小题满分12分） 已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 18.（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin()4f x x πωω=+（0ω>）的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性.19.（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-，x R ∈.（1）求()6f π-的值；（2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+ 20.（本小题满分12分）设3211()232f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.21.（本小题满分14分）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点，已知,a b 是实数，1和-1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数'()()2g x f x =+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.山东省实验中学2017届高三第二次诊断性考试文科数学试题参考答案2016．10说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第*页，第Ⅱ卷为第*页至第*页。