2017年山东省青岛市平度市高考数学二模试卷(文)含答案解析

2017年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁U A）∩B=∅，则p应该满足的条件是（）A．p＞1 B．p≥1 C．p＜1 D．p≤13．已知命题p：“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4．已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β5．秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y 的值为（）A．6 B．25 C．100 D．4006．已知cos（x﹣）=，则cos（2x﹣）+sin2（﹣x）的值为（）A．B．C．D．7．下列选项中，说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．向量（m∈R）共线的充要条件是m=0C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题8．函数的图象大致是（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．[1，5]C． D．[0，5]10．已知双曲线Γ：的上焦点为F1（0，c）（c＞0），下焦点为F2（0，﹣c）（c＞0），过点F1作圆x2+y2﹣=0的切线与圆相切于点D，与双曲线下支交于点M，若MF2⊥MF1，则双曲线Γ的渐进线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置）11．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=．12．观察下列式子：，，，…，根据以上规律，第n个不等式是．13．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，则角B=．14．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有两个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确的命题为（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；（2）若方程在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．17．袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球．（Ⅰ）求所取取2个小球都是红球的概率；（Ⅱ）求所取的2个小球颜色不相同的概率．18．如图所示，梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，AB=2CD，四边形OBEF为矩形，M为线段AB上一点，AM=2MB．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；（Ⅱ）若EF⊥CF，求证AC⊥BD．=qS n+1，其19．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n+1中q＞0，n∈N*，又2a2，a3，a2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=2a n﹣λ（log2a n+1）2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．20．已知函数f（x）=+mx+mlnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜x22﹣x12成立，求实数m的最大值．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，又l与直线y=x分别交于A、B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．2017年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i．故选D．2．设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，若（∁U A）∩B=∅，则p应该满足的条件是（）A．p＞1 B．p≥1 C．p＜1 D．p≤1【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义，结合空集的定义，即可得出p满足的条件．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞p}，∴∁U A={x|x≤1}，又（∁U A）∩B=∅，∴p≥1．故选：B．3．已知命题p：“m=﹣1”，命题q：“直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直”，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用直线相互垂直与斜率之间的关系解出m，进而判断出结论．【解答】解：命题q：由直线x﹣y=0与直线x+m2y=0互相垂直，则﹣×=﹣1，解得：m=±1．∴命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．4．已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行的性质，结合面面位置关系即可判断A；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断B；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，即可判断C；由线面平行的性质和面面平行的性质，即可判断D．【解答】解：A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β=a，故A错；B．若α⊥β，l∥α，则l⊂β，或l∥β，或l⊥β，故B错；C．若l⊥α，l∥β，则过l作平面γ，设γ∩β=c，则l∥c，故c⊥α，c⊂β，故α⊥β，即C正确；D．若l∥α，α∥β，则l⊂β，或l∥β，故D错．故选：C．5．秦九昭是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九昭算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出y 的值为（）A．6 B．25 C．100 D．400【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=4，程序运行过程如下表所示：v=1i=2，v=1×4+2=6i=1，v=6×4+1=25i=0，v=25×4+0=100i=﹣1 跳出循环，输出v的值为100．故选：C．6．已知cos（x﹣）=，则cos（2x﹣）+sin2（﹣x）的值为（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos（x﹣）=cos（﹣x）=，∴cos（2x﹣）+sin2（﹣x）=2﹣1+[1﹣]=2•﹣1+1﹣=，故选：B．7．下列选项中，说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．向量（m∈R）共线的充要条件是m=0C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，因为函数y=在（0，+∞）是减函数；B，向量（m∈R）共线⇒1×（2m﹣1）=m×m⇒m=1；C，命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≤（n+2）•2n﹣1”；D，因为f（a）•f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点；【解答】解：对于A，因为函数y=在（0，+∞）是减函数，故错；对于B，向量（m∈R）共线⇒1×（2m﹣1）=m×m⇒m=1，故错；对于C，命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≤（n+2）•2n﹣1”，故错；对于D，命题“若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为：“f（x）在区间（a，b）内有一个零点“，则f（a）•f（b）＜0：因为f（a）•f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点，故正确；故选：D8．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用排除法，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=•cos（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数，排除A，B；x→0+，f（x）→+∞，排除D．故选C．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．B．[1，5]C． D．[0，5]【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（3，0），B（0，4），的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率．∵，∴的取值范围是[]．故选：C．10．已知双曲线Γ：的上焦点为F1（0，c）（c＞0），下焦点为F2（0，﹣c）（c＞0），过点F1作圆x2+y2﹣=0的切线与圆相切于点D，与双曲线下支交于点M，若MF2⊥MF1，则双曲线Γ的渐进线方程为（）A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．【解答】解：由x2+y2﹣=0，得x2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（x0，y0）（y0＞0），则x2+y2﹣=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，解得：x0=，y0=．∴D（，），由题意得D是MF1的中点，得M（2×，2×﹣c），代入双曲线Γ：整理得b=4a，∴双曲线Г的渐近线方程为x±4y=0．故选：B．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置）11．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=﹣．【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（﹣3）==，从而f[f（﹣3）]=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）==，f[f（﹣3）]=f（）====﹣．故答案为：．12．观察下列式子：，，，…，根据以上规律，第n个不等式是．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据所给不等式，即可得出结论．【解答】解：根据所给不等式可得．故答案为：．13．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，则角B=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据正弦定理和余弦定理即可求出．【解答】解：由正弦定理可得=，∴c2﹣b2=ac﹣a2，∴c2﹣b2+a2=ac，∴cosB==，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体由圆柱的和一个半圆锥组成，代入数据计算即可．【解答】解：由三视图可知结合体下方为圆柱的，上方为一个半圆锥，圆锥和圆柱的底面半径均为1，圆柱的高为2，圆锥的高为，∴几何体的体积V=+=．故答案为：．15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有两个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确的命题为①③④（把所有正确命题的序号都填上）．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④．故答案为①③④．三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；（2）若方程在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和差角公式化简f （x ），根据正弦函数的性质得出答案；（2）求出f （x ）的对称轴，得出x 1与x 2的关系，利用诱导公式化简即可得出答案．【解答】解：（1）f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x +=sin2x ﹣•+=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣），∴当2x ﹣=即x=+kπ，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值1．（2）由（I ）可知f （x ）的图象关于直线x=对称，且f （）=1，∴x 1+x 2=，即x 1=﹣x 2，∴cos （x 1﹣x 2）=cos （﹣2x 2）=cos （+﹣2x 2）=sin （2x 2﹣）=f （x 2）=．17．袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A 、B 的黑球，现从中任取2个小球． （Ⅰ）求所取取2个小球都是红球的概率； （Ⅱ）求所取的2个小球颜色不相同的概率．【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M 表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M 包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率．（Ⅱ）用N 表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N 包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，任取2个小球的基本事件有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，A }，{1，B }，{2，3}，{2，4}，{2，A }， {2，B }，{3，4}，{3，A }，{3，B }，{4，A }，{4，B }，{A ，B }，共15个， 用M 表示“所取取2个小球都是红球”， 则M 包含的基本事件有：{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，∴所取取2个小球都是红球的概率：P（M）==．（Ⅱ）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，则N包含的基本事件有：{1，A}，{1，B}，{2，A}，{2，B}，{3，A}，{3，B}，{4，A}，{4，B}，共8个，∴所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）=．18．如图所示，梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，AB=2CD，四边形OBEF为矩形，M为线段AB上一点，AM=2MB．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；（Ⅱ）若EF⊥CF，求证AC⊥BD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，FN，证明：EM∥NF，即可证明EM∥平面ADF；（Ⅱ）证明EF⊥平面ACF，EF⊥AC，即可证明AC⊥BD．【解答】（Ⅰ）证明：过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，FN，∵ON∥AB，AB=2CD，∴==，∵AM=2MB，∴ON=BM，∴OBMN是平行四边形，∵四边形OBEF为矩形，∴EMNF是平行四边形，∴EM∥NF，∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，∴EM∥平面ADF；（Ⅱ）∵四边形OBEF为矩形，∴EF⊥OF，∵EF⊥CF，OF∩CF=F，∴EF⊥平面ACF，∴EF⊥AC，∵EF∥BD，∴AC⊥BD．19．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*，又2a2，a3，a2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=2a n﹣λ（log2a n+1）2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．【考点】8H：数列递推式；82：数列的函数特性．【分析】（I）根据a n+1=S n+1﹣S n可得出{a n}是等比数列，根据等差中项的定义列方程可求出公比q，从而得出{a n}的通项公式；（II）求出b n，令b n+1﹣b n＞0可得λ＜恒成立，求出右侧数列的最小值即可得出λ的范围．【解答】解：（I）∵S n+1=qS n+1，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=qS n﹣qS n﹣1=qa n，又S2=qS1+1，a1=S1=1，∴a2=q=qa1，∴数列{a n}是首项为1，公比为1的等比数列，∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2a3=2a2+a2+2=3a2+2，即2q2=3q+2，解得q=2或q=﹣（舍）．∴a n=2n﹣1．（II）b n=2n﹣λn2，﹣b n=2n+1﹣λ（n+1）2﹣2n+λn2=2n﹣2nλ﹣λ，∴b n+1∵数列{b n}为递增数列，∴2n﹣2nλ﹣λ＞0恒成立，即λ＜恒成立，令c n=，则c n+1﹣c n=﹣=2n（）=2n＞0，∴{c n}是递增数列，∴c n≥c1=，∴λ＜．20．已知函数f（x）=+mx+mlnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜x22﹣x12成立，求实数m的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（Ⅱ）根据题意可得f（x2）﹣x22）＜f（x1）﹣x12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=+mx+mlnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=x+m+=，当m≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为△=m2﹣4m＞0，令f′（x）＞0，解得x＞，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，∴当m＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减，（Ⅱ）当m＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵[1，2]⊂（0，+∞），∴函数f（x）在[1，2]上单调递增，∵x1＜x2，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，由题意可得f（x2）﹣f（x1）＜x22﹣x12，整理可得f（x2）﹣x22）＜f（x1）﹣x12，令g（x）=f（x）﹣x2=﹣+mx+mlnx，则g（x）在[1，2]上单调递减，∴g′（x）=﹣x+m+=≤0恒成立，∴m≤，令h（x）=，则h′（x）==＞0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=，∴m≤21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，又l与直线y=x分别交于A、B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2（O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由题意可得：b=1，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2即可得出．（II）联立，解得A，联立，解得B．又点A在第一象限，点B在第二象限，可得，解得1﹣4k2＞0．利用两点之间的距离公式可得|AB|=．原点到直线l=××=2，可得m2=1﹣4k2，设M 的距离d=．S△OMN（x1，y1），N（x2，y2）．把直线l的方程代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．利用数量积运算性质可得=x1x2+y1y2．【解答】解：（I）由题意可得：b=1，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2．∴椭圆C的方程为： +y2=1．（II）联立，解得A，联立，解得B．又点A在第一象限，点B在第二象限，∴，化为：m2（1﹣4k2）＞0，而m2＞0，∴1﹣4k2＞0．又|AB|==．原点到直线l的距离d=，为△OMN的底边AB上的高．=××=2，∴m2=1﹣4k2，设M（x1，y1），N ∴S△OMN（x2，y2）．把直线l的方程代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴x1+x2=，x1•x2=．△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=48k2＞0，∴k≠0．∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴=x1x2+y1y2=+=﹣7．∵，∴（1+2k2）∈．∴∈．∴∈．2017年6月4日。

2017年高考理数真题试卷（山东卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.设函数y= √4−x2的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，2]C. （﹣2，1）D. [﹣2，1）2.已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+ √3i，z• z̅=4，则a=（）A. 1或﹣1B. √7或﹣√7C. ﹣√3D. √33.已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4.已知x，y满足约束条件{x−y+3≤03x+y+5≤0x+3≥0，则z=x+2y的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 65.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ŷ= b̂x+ â，已知∑10i=1x i=225，∑10i=1y i=1600，b̂=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A. 160B. 163C. 166D. 1706.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（）A. 0，0B. 1，1C. 0，1D. 1，0 7.若a ＞b ＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）A. a+ 1b ＜b 2a＜log 2（a+b ）） B. b 2a ＜log 2（a+b ）＜a+ 1bC. a+ 1b ＜log 2（a+b ）＜ b 2aD. log 2（a+b ））＜a+ 1b ＜b 2a8.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）A. 518 B. 49 C. 59 D. 799.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC ）=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是（ ）A. a=2bB. b=2aC. A=2BD. B=2A10.已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y= √x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A. （0，1]∪[2 √3 ，+∞）B. （0，1]∪[3，+∞）C. （0， √2 ）∪[2 √3 ，+∞）D. （0， √2 ]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知（1+3x ）n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=________．12.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，若√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．13.由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．14.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．15.若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．三、解答题（共6小题，满分75分）16.设函数f（x）=sin（ωx﹣π6）+sin（ωx﹣π2），其中0＜ω＜3，已知f（π6）=0．（12分）（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣π4，3π4]上的最小值．17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF̂的中点．（12分）（Ⅰ）设P是CÊ上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．19.已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．20.已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣√3交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，2，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M 且看k1k2=√24的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．答案解析部分一、<b >选择题：本大题共<b >10小题，每小题<b >5分，共<b >50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.【答案】D【考点】交集及其运算，函数的定义域及其求法，一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= √4−x2的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．2.【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：由z=a+ √3i，则z的共轭复数z̅=a﹣√3i，由z• z̅=（a+ √3i）（a﹣√3i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，故选A．【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．3.【答案】B【考点】复合命题的真假，对数函数的单调性与特殊点，不等式比较大小【解析】【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，由不等式的性质可知，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．4.【答案】C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：画出约束条件{x−y+3≤03x+y+5≤0x+3≥0表示的平面区域，如图所示；由{x+3=03x+y+5=0解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣12x+ 12z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由{x+3=03x+y+5=0解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．5.【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：由线性回归方程为ŷ=4x+ â，则x̅= 110∑10i=1x i=22.5，y̅= 110∑10i=1y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线经过样本中心点，则â= ŷ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为ŷ=4x+70，当x=24时，ŷ=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得â，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．6.【答案】D【考点】选择结构，循环结构，程序框图【解析】【解答】解：当输入的x值为7时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；当输入的x值为9时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，不满足b2＞x，但满足x能被b整数，故输出a=0故选：D【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．7.【答案】B【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= 12．则a+1b = 4 ，b2a=1222= 18，log2（a+b）= log2(2+12)= log252∈（1，2），∴b2a ＜log2（a+b）＜a+ 1b．故选：B．【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= 12．代入计算即可得出大小关系．8.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有C92=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有C51C41=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= 2036= 59，故选：C．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．9.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．10.【答案】B【考点】函数的值域，函数单调性的性质，函数的图象【解析】【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，1m）为减函数，（1m，+∞）为增函数，函数y= √x+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y= √x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有1m＜1，y=（mx﹣1）2在区间（0，1m ）为减函数，（1m，1）为增函数，函数y= √x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故选：B．【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，1m）为减函数，（1m ，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有1m≥1，②、当m＞1时，有1m＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．二、<b >填空题：本大题共<b >5小题，每小题<b >5分，共<b >25分11.【答案】4【考点】组合及组合数公式，二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1= ∁n r（3x）r=3r∁n r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴32∁n2=54，可得∁n2=6，∴n(n−1)2=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出．12.【答案】√33【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是互相垂直的单位向量，∴| e1⃗⃗⃗ |=| e2⃗⃗⃗ |=1，且e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ =0；又√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ 与e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，∴（√3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ ）•（e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ ）=| √3e1⃗⃗⃗ ﹣e2⃗⃗⃗ |×| e1⃗⃗⃗ +λ e2⃗⃗⃗ |×cos60°，即√3e1⃗⃗⃗ 2+（√3λ﹣1）e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ ﹣λ e2⃗⃗⃗ 2= √3e1⃗⃗⃗ 2−2√3e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2× √e1⃗⃗⃗ 2+2λe1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +λ2e2⃗⃗⃗ 2× 12，化简得√3﹣λ= √3+1× √1+λ2× 12，即√3﹣λ= √1+λ2，解得λ= √33．故答案为：√33．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．13.【答案】2+ π2【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= 14×π×12×1= π4，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ π2，故答案为：2+ π2．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的14，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．14.【答案】y=± √22x【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= 2pb2a2，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2× p2=4× p2，∴2pb2a2=p，∴ba = √22．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± √22x．故答案为：y=± √22x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．15.【答案】①④【考点】函数单调性的性质，指数函数的图象与性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）= e x⋅2−x=(e2)x为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）= e x⋅3−x=(e3)x为实数集上的减函数；对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x•x3，g′（x）=e x•x3+3e x•x2=e x（x3+3x2）=e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．【分析】把①②代入e x f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e x f（x），求导数判断．三、<b >解答题（共<b >6小题，满分<b >75分）16.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣π6）+sin（ωx﹣π2）=sinωxcos π6﹣cosωxsin π6﹣sin（π2﹣ωx）= √32sinωx﹣32cosωx= √3sin（ωx﹣π3），又f（π6）= √3sin（π6ω﹣π3）=0，∴π6ω﹣π3=kπ，k∈Z，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= √3sin（2x﹣π3），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= √3sin（x﹣π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y= √3sin（x+ π4﹣π3）的图象，∴函数y=g（x）= √3sin（x﹣π12）；当x∈[﹣π4，3π4]时，x﹣π12∈[﹣π3，2π3]，∴sin（x﹣π12）∈[﹣√32，1]，∴当x=﹣π4时，g（x）取得最小值是﹣√32× √3=﹣32．【考点】两角和与差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，运用诱导公式化简求值【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（π6）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣π4，3π4]时g（x）的最小值．17.【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取EĈ的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，∴AE=GE=AC=GC= √32+22=√13．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，又AM=1，∴EM=CM= √13−1=2√3 ． 在△BEC 中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC 2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ EC =2√3 ，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°．解法二、以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意得：A （0，0，3），E （2，0，0），G （1， √3 ，3），C （﹣1， √3 ，0）， 故 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，−3) ， AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3，0) ， CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0，3) ． 设 m ⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1) 为平面AEG 的一个法向量，由 {m ⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {2x 1−3z 1=0x 1+√3y 1=0 ，取z 1=2，得 m ⃗⃗ =(3，−√3，2) ；设 n ⃗ =(x 2，y 2，z 2) 为平面ACG 的一个法向量， 由 {n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，可得 {x 2+√3y 2=02x 2+3z 2=0 ，取z 2=﹣2，得 n ⃗ =(3，−√3，−2) ．∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=12 ． ∴二面角E ﹣AG ﹣C 的大小为60°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE ⊥平面ABP ，得到BE ⊥BP ，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取 EC ̂ 的中点H ，连接EH ，GH ，CH ，可得四边形BEGH 为菱形，取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ，得到EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，说明∠EMC 为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E ﹣AG ﹣C 的大小．法二、以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出A ，E ，G ，C 的坐标，进一步求出平面AEG 与平面ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E ﹣AG ﹣C 的大小．18.【答案】 解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，4（II ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P （X=0）= C 65C 105 = 142 ，P （X=1）= C 64C 41C 105 =521 ，P （X=2）= C 63C 42C 105 = 1021 ， P （X=3）= C 62C 43C 105 =521 ，P （X=4）=C 61C 44C 105 = 142 ．∴X 的分布列为X 的数学期望EX=0× 142 +1× 521+2× 1021 +3×521+4× 142 =2．【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 19.【答案】 解：（I ）设数列{x n }的公比为q ，则q ＞0，由题意得 {x 1+x 1q =3x 1q 2−x 1q =2， 两式相比得： 1+qq 2−q =32 ，解得q=2或q=﹣ 13 （舍）， ∴x 1=1， ∴x n =2n ﹣1 ．（II ）过P 1 ， P 2 ， P 3 ， …，P n 向x 轴作垂线，垂足为Q 1 ， Q 2 ， Q 3 ， …，Q n ， 即梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ， 则b n =n+n+12×2n−1 =（2n+1）×2n ﹣2 ，∴T n =3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n ﹣2 ， ① ∴2T n =3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n ﹣1 ， ② ①﹣②得：﹣T n = 32 +（2+22+…+2n ﹣1）﹣（2n+1）×2n ﹣1 = 32 + 2(1−2n−1)1−2﹣（2n+1）×2n ﹣1=﹣ 12 +（1﹣2n ）×2n ﹣1 ． ∴T n = (2n−1)×2n +12．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．20.【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（i）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．f′（x ）=2x ﹣2sinx ，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ），可得h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）．令u （x ）=x ﹣sinx ，则u′（x ）=1﹣cosx≥0，可得函数u （x ）在R 上单调递增．由u （0）=0，可得x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．对a 分类讨论：a≤0时，0＜a ＜1时，当a=1时，a ＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．21.【答案】 解：（Ⅰ）由题意知， {ca=√222c =2a 2=b 2+c 2，解得a= √2 ，b=1．∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1 ；（Ⅱ）设A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），联立 {x 22+y 2=1y =k 1x −√32 ，得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0 ．由题意得△= 64k 12+8 ＞0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1， x 1x 2=−12(2k12+1)．∴|AB|= √1+k 12|x 1−x 2|=√2⋅√1+k 12√1+8k121+2k 12 ．由题意可知圆M 的半径r 为 r= 23|AB|=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意设知， k 1k 2=√24，∴ k 2=√24k 1．因此直线OC 的方程为 y =√24k 1x ．联立 {x 22+y 2=1y =√24k 1x ，得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k12．因此，|OC|= √x 2+y 2=√1+8k121+4k1．由题意可知，sin∠SOT 2= rr+|OC|=11+|OC|r．而|OC|r=√1+8k 12122√23√1+k 1√1+8k 11+2k 12 = √24121212．1因此，|OC|r=2√2t2+t−1=2√2+t−t2= 2√−(1t−12)+94≥1．当且仅当1t =12，即t=2时等式成立，此时k1=±√22．∴sin∠SOT2≤12，因此∠SOT2≤π6．∴∠SOT的最大值为π3．综上所述：∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= 23|AB|=2√2 3√1+k12√1+8k121+2k12．由题意设知k2=√24k1．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin ∠SOT2=rr+|OC|=11+|OC|r．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．。

山东省数学高考二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设为虚数单位,则复数（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·衡水月考) 已知函数，对于实数，“”是“ ”的（）.A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2017·上饶模拟) 设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A .B .C .4. （2分）(2018·荆州模拟) 已知，若，则（）A . -5B . -20C . 15D . 355. （2分） (2019高二上·沈阳月考) 已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）A . 31B . 32C .D .6. （2分）(2012·天津理) 如图所示，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则离心率为（）A .B .D .7. （2分） (2017高一下·淮北期末) 已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在x= 处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A . 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B . 偶函数且它的图象关于点对称C . 奇函数且它的图象关于点对称D . 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称8. （2分）设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f （x））=2at2+at，则正实数a的最小值是（）A . 1B .C .D .9. （2分）已知：┓p且q为真，则下列命题中的假命题是：（）①p；②p或q；③p且q；④┓qA . ①④B . ①②③C . ①③④D . ②③④10. （2分） (2015高一上·娄底期末) 如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°二、填空题 (共7题；共8分)11. （1分） (2016高二上·上海期中) 定义集合运算：A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}．设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．12. （1分）(2013·广东理) 若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=________．13. （1分） (2017高二上·静海期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．14. （1分）设y=tx（t为参数）则圆x2+y2﹣4y=0的参数方程为________．15. （2分） (2019高二上·张家口月考) 将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是的概率为________，向上的点数之和不小于的概率为________.16. （1分） (2015高三上·连云期末) 已知| |=| |= ，且• =1，若点C满足| +|=1，则| |的取值范围是________．17. （1分）如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1﹣x2的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N．则△MON面积的最小值为________三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分）(2016·江西模拟) 已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且．（1）求角C的值；（2）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．19. （5分）(2017·四川模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．20. （10分） (2018高三上·长春期中) 已知函数（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值.（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.21. （10分）(2017·赣州模拟) 设离心率为的椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1 ，F2 ，点P是E上一点，PF1⊥PF2 ，△PF1F2内切圆的半径为﹣1．（1）求E的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．22. （10分） (2018高二下·驻马店期末) 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

高三自评试题 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，则 A. B. C. 或 D. 2．复数满足，则复数的实部与虚部之和为 A. B. C. D. 3．“”是“”为真命题的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中①处可以填入 A. B. C. D. 5．下列函数中，与函数定义域相同的函数为 A． B. C. D. 6．若，且，则 A． B． C． D． 7．已知函数，为了得到函数的图象，只需要将的图象 A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 8．已知、分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上的一点， ，且，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 9．定义：，在区域内任取一点，则、 满足的概率为 A. B. C. D. 10．已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是 A. B. C. D. 11．某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是 A. B. C. D. 12．设函数在内有定义,对于给定的实数,定义函数，设函数=,若对任意的恒有,则A. 的最大值为B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知两条直线和互相平行，则等于 . 14．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：根据该表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为年的维修费用大约为 万元． 15．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列五个命题： ①若，且，则；②若，且，则； ③若，且，则；④若，且，则； ⑤若，，，则．则所有正确命题的序号是 . 16．一同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和点是边上的一动点，设则．请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是 ． 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ）求函数在上的单调递增区间； （Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值． 18．（本小题满分12分）如图，在长方形中，，，为的中点， 为的中点.现在沿将三角形向上折起，在折起的图形中解答下列两问： （Ⅰ）在线段上是否存在一点，使∥面？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）若面面，求二面角的余弦值. 19．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙、丙做对的概率分别为和(＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： (Ⅰ) 求，的值； （Ⅱ) 记事件{函数在区间上不单调}，求； （Ⅲ）令，试计算的值. 20．（本小题满分12分） 已知数列满足，（且）． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，记数列的前项和为， 若恒为一个与无关的常数，试求常数和. 21．（本小题满分13分）已知点为椭圆的右焦点，过点、的直线与圆相切. （Ⅰ）求椭圆的方程； (Ⅱ) 过点的直线交椭圆于、两点，求证：为定值. 22．（本小题满分13分）已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围； （Ⅲ）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点. 高三自评试题 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．A DB BC AD B DC D A 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 或 14. 15. ①②⑤ 16． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） ……………………………………………3分 由得： 所以，在上的单调递增区间为，………………………………6分 （Ⅱ），则 ，，，………………………8分 向量与向量共线，， 由正弦定理得， …………………………………………………………………10分 由余弦定理得，，即 ………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）线段上存在一点，且当时，∥面 ………………………………1分 证明如下： 设为的中点，连结，则∥ 又因为，为的中点 所以∥，所以∥，………………4分 面，面，∥面…………………………………5分 （Ⅱ）为的中点，, 为的中点，. ， ，面面，面 由此可以分别为轴，建立坐标系如图………………………………7分 因为面，所以，又，， 面，则为面的一个法向量. 因为，，所以，……………………………9分 又可得：，，所以， 设面的法向量为 由，即，令，则…11分 所以，故二面角的余弦值为………12分 19．（本小题满分12分） 解：设事件={甲做对}，事件={乙做对}，事件={丙做对}，由题意知，. （Ⅰ） 由题意知， ， 整理得：，. 由，解得，. ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知 ， …………………………5分 函数在区间上不单调， 对称轴，或…………………………7分 ……………………………………………8分 （Ⅲ）=， ∴ ……………10分 故 ………………………………………………12分 20．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题……① ……② 由①②得：，即…………………………………………3分 当时，，，, 所以，数列是首项为，公比为的等比数列 故（）………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）， ， 是以为首项，以为公差的等差数列，…………………8分 ……………………………………………10分 恒为一个与无关的常数， 解之得：， ………………………………………………………………12分 21．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为为椭圆的右焦点，所以……① ……………………1分 的直线方程为，即 所以，化简得……② …………………………3分 由①②得：， 所以椭圆的方程为 …………………………………………………………4分 (Ⅱ) 设、 当直线的斜率不存在时，，则，解得 所以，则………………………………………………6分 当直线的斜率存在时，设，联立 化简得 …………………………………………………………8分 同理 不妨设，则 所以为定值 ………………………………………………………………13分 22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ），， 二次函数， …………………………………………………1分 关于的不等式的解集为， 也就是不等式的解集为， ∴和是方程的两个根. 由韦达定理得： ∴ …………………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ， 存在一条与轴垂直的直线和的图象相切，且切点的横坐标为， …………………………………………4分 ， ………………………………………………………………5分 令，则 当时，， 在上为增函数 从而， …………………………………………7分 （Ⅲ）的定义域为. ∴. 方程（*）的判别式 . ①若时，，方程（*）的两个实根为 或 则时，；时，. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 此时函数存在极小值，极小值点为，可取任意实数. ………………………9分 ②若时，当，即时，恒成立，，在上为增函数， 此时在上没有极值 …………………………………………………………10分 下面只需考虑的情况 由,得或， 当，则 故时，， ∴函数在上单调递增. ∴函数没有极值. …………………………………………………………………11分 当时， 则时，；时，；时，. ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 此时函数存在极大值和极小值，极小值点，有极大值点. 综上所述, 若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为； 若时，当 时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为 （其中, ）………………13分 ① 是 输出 结束 开始 否。