高二数学《导数与函数的单调性》教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计【课题】导数与函数的单调性【课时】1课时【教材分析】导数与函数的单调性是人教版选修2-2第三章第一节的内容。

函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。

在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势,是高一需要了解的知识点；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢，是高二需要掌握的知识内容。

在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。

函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。

以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学情分析】课堂学生为高二年级的的学生，学生基础一般，高一阶段对于单调性概念的理解不够准确且现在早已忘记；同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。

在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。

本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。

【教学目标】知识与能力：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。

过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

情感态度与价值观：（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。

2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。

数学《函数单调性与导数》教案教学目标：1. 知道函数单调性的定义，掌握判断单调性的方法。

2. 知道导数的定义，掌握求导的方法。

3. 熟练掌握函数单调性与导数的关系，能够应用相关知识解决实际问题。

教学重点：1. 函数单调性与导数的概念及其关系。

2. 求导数的方法和技巧。

3. 应用函数单调性和导数解决实际问题。

教学难点：1. 求高阶导数，各种复杂函数的单调性判断。

2. 应用函数单调性与导数解决实际问题。

教学方法：1. 讲授法：讲解相关知识点，示范演示，点拨解释。

2. 实验法：以具体例子演示如何判断函数的单调性。

3. 问题解决法：提供丰富的例题及作业，引导学生自主思考，解决问题。

教学过程设计：Part 1：函数单调性的引入1. 通过一个具体的例子引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。

2. 介绍单调递增和单调递减的概念，以及如何判断一个函数的单调性。

3. 引导学生思考，研究不同类型函数单调性的特点和判断方法。

Part 2：导数的定义和求导方法1. 导数的概念：定义导数，解释导数的几何意义和物理意义。

2. 求导方法：讲解求导过程，引导学生掌握基本的求导技巧。

3. 常用函数的导数：讲解常用函数的导数公式，让学生记忆。

Part 3：函数单调性与导数1. 函数单调性与导数的关系：引导学生研究函数单调性与导数之间的关系。

2. 求解函数单调性：利用导数判断函数单调性，让学生掌握方法。

3. 应用导数求解实际问题：让学生通过实际问题应用导数，求解函数单调性问题。

Part 4：案例分析1. 给出一些实际问题，让学生通过函数单调性和导数的方法求解。

2. 分组讨论，展示各自的解题思路和方法，互相学习。

Part 5：练习与总结1. 提供一些例题给学生练习，巩固所学知识。

2. 学生自己整理笔记，总结函数单调性与导数的概念及其应用教具准备：1. 教师演示用的白板或黑板、彩色粉笔或白板笔。

2. 学生实验用的计算器。

3. 相关练习题和例题。

§1 函数的单调性与极值 第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。

2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。

二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1 （2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x=+-+，所以．当'()0f x>，即时，函数2()23f x x x=--；当'()0f x<，即时，函数2()23f x x x=--；函数32()23241f x x x x=+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()() 1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4、求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()() '22661262612 y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x∈-即21x-<<时，'0y<，所以函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x在(),a b内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x；（2）判断()'f x在(),a b内的符号；（3）做出结论：()'0f x>为增函数，()'0f x<为减函数．（四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x=单调区间；（3）证明可导函数()f x在(),a b内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A组1、2 五、教后反思：。

教学设计设计理念：人的认识具有反复性，这就决定了人们对一个事物的正确认识往往要经过从实践到认识，再从认识到实践的多次反复才能完成，但并不代表它是一种圆圈式的循环运动，相反，它是一种波浪式的前进或螺旋式的上升，每个人的知识的积累都会经历一个由不知到知、由知之不多、到知之较多的过程，对事物的认识也都有一个由浅入深的过程.新的课程改革理念下，中学数学教材的编写也都本着让学生在知识、技能、思维和情感上实现螺旋式上升的目标.所以本节课在设计上，几种有关导数与函数的单调性的类型难度从低到高，每一类型相应的例题和练习的难度也由低到高，努力为学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等活动创造机会、空间和平台.而练习例题的设计，也采取学生先练习，教师再讲例题（例题也由学生先思考，并动手做，老师再讲），然后学生再练的方式迂回进行.体现学生的动手做、动脑思为主，教师的适当诱导为辅的诱思教学探究论的教学思想.在教学媒体的设计上，本节课利用powerpoint软件制作课件，主要用于投影例题和练习，并使用实物投影仪辅助教学，主要是适时投影学生的答案，利于评讲、及时反馈学生的学习情况.教学流程：一、(课件投影)知识梳理，温故知新：【知识梳理】1.如何利用导数的正负判断函数的单调性？在某个区间(,)a b上，如果，则()a b上单调递增；f x在区间(,)如果 ，则()f x 在区间(,)a b 上单调递减.2.在区间(,)a b 上()0f x '>是函数单调递增的充要条件吗？函数()f x 在区间(,)a b 上单调递增⇒ 在区间(,)a b 上恒成立.函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减⇒ 在区间(,)a b 上恒成立.3.归纳求单调区间的一般步骤(1)(2)(3)(4)注意：单调区间一定要写成 的形式，不能写成集合或不等式；如果有多个单调区间，中间用逗号或者“和”来连接，不能用“”连接.【设计意图】让学生回忆起如何利用导数的正负判断函数的单调性，并归纳求单调区间的一般步骤等基础知识点，为后续学习打好基础.【课前热身】【1】设函数()ln(2)f x x x =-+，则()f x 的单调减区间为 .【感悟提升】求导之后分子是 ，可以直接解不等式()0f x '>,不等式的解集与 取交集从而得到单调区间.【2】已知函数ln 1()ex x f x +=(e 是自然对数的底数), 求()f x 的单调区间. 【3】已知函数2()1(2)x f x e x e x =---- ，当0x >时， 求()f x 的单调区间.【感悟提升】对于求导之后不能直接解不等式()0f x '>的，我们可以有哪些处理方法？【设计意图】让学生通过简单的三个知识点的综合应用，初步感知综合题型的解题方法，引入例题1.二、(课件投影)典例探索，实践提高：题型一 讨论函数的单调性【例1】设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中R a ∈.试讨论函数()f x 的单调性.【感悟提升】求导之后分子是含参数的 ，分类讨论时应该从哪些方面考虑？【设计意图】这是利用导数性质判断函数单调性的简单应用，引入参数，难度比前三个练习高，让学生探索通过讨论参数在函数单调性中的应用，领会导数是函数单调性问题的通法.题型二 已知单调性，求参数范围【例2】 设函数23()().eR x x ax f x a +=∈若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围.【感悟提升】已知函数在某个区间上单调，可以转化为不等式的 问题.【设计意图】这是导数与函数单调性的应用，但也是高考中，函数问题的常见题型，求参数得取值范围实际上是通过分离参数，引导学生把参数取值范围问题转化为求不等式恒成立问题来解决，让学生体会复杂问题简单化的转化思想，是数学常用的解题思想.【跟踪练习】 已知函数3211()2132f x x ax x =-++在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围 ．【感悟提升】已知函数在某个区间上存在单调区间，可以转化为不等式 问题.【设计意图】让学生通过简单的含参数函数单调性问题的应用，初步感知分离参数题型的解题方法，更加深入理解例题2.三、深化认识，总结规律：【课堂小结】(课件投影)课堂小结：(老师提问)本节课学了哪些知识？哪些方法？【设计意图】由学生自己总结，既是体现课堂上学生自主学习的主体地位，也是培养学生归纳升华例题的结论，总结学习到的解题方法的能力的一种重要手段，锻炼学生自主构建完整的数学知识体系的能力的重要方法.由学生在独立思考中不断深化感性认识，总结规律，有利于学生对本节课的学习从感性上升到理性，更利于后续学习中的知识的迁移.学生总结后，老师在课件中投影：1. 求含参数的函数单调区间（或讨论单调性）的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导，并进行整理；（3）确定分类讨论的标准；（4）在每一类中，结合图像判断导数的符号，从而确定函数的单调性，写出单调区间；（5）综合上述讨论的情形，完整的写出函数的单调区间.2. 已知函数单调性，求参数范围：(1)已知函数在某个区间上单调，可以转化为不等式的恒成立问题；(2)已知函数在某个区间上存在单调区间，可以转化为不等式能成立问. 【课后反思】“教贵善诱，学贵善思，以诱达思，启智悟道”这十六个字精确归纳出用诱思探究理论去指导数学的教学工作的精粹，相信能领会、精通这十六个字的妙意，则老师的教与学生的学都是成功的.我在朝这个方向走下去，但要做到这十六个字，我还有待努力.对于本节课而言反思如下：1. 导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法，对学生要强调对后续学习有着重要地位，是基础中的重点.2.本节课注重例题的逐步深化，对学生的要求逐步提高.应多引导学生多分析、培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心.3.数学思想方法对解题的指导意义的认识：数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法.4.学生两极分化，注重基础.让学生都有所收获，有所提高.。