排队论公式1

) S! S nS
(n S
n S
1
S1 ( / )n ( / )S
P0
Cn
1/[
n0
n!
( )]
S! nS S
S1 ( / )n ( / )S
1
1/[
]
n0 n!
S! 1 ( / S)
再来的顾客必须等待的概率为:
ns
Pn
(
/ )S
S!
1
1 ( /
S )
P0
←Erlang等待公式
( / )n
解：
M/M/3 ρ λ= 3×0.3=0.9 μ=0.4 ρ= λ/ μ=2.25
P0
S1 (λ / μ )n (λ / μ )S
1
P0 1 /[
n0
n!
S!
1 (λ / Sμ )]
31 (0.9 / 0.4)n (0.9 / 0.4)3
1
1/[
]
n0
n!
3! 1 (0.9 / 1.2)
1 / 1
• 则对每个顾客的平均服务时间为1/μ；
负指数分布的性质-2
• 当服务设施对顾客的服务时间t为参数μ的 负指数分布时，则有
① 在[t，t+Δt]内没有顾客离去的概率为 1-
μΔt
② 在[t，t+Δt]内恰好有一个顾客离去的概率
为μΔt；
③ 如果Δt足够小的话，在[t，t+Δt]内有多于
两个以上顾客离去的概率为
s
nPn
n0
s
ns
Pn
Wq
Lq
WS Wq 1/
例：某修理店只有1个修理工人。顾客到达服从最简 单流，平均每小时4人。修理时间服从负指数分布， 平均6分钟。求：1、空闲概率；2、店内有3顾客概 率；3、店内至少一顾客概率；4、系统运行指标。

排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。

目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。

解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。

B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
课件
13
M /M /1/ / /FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。
课件
14
四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期
排队论（Queueing Theory）
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离 开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达
队列
服务台
服务完成后离去
记
,
并设
1,
n 则：Cn
n1,2,
pnnp0
n1,2,
课件
22
其中：
p0
1
1
n
1
n
n0
1
n1
因此： p n(1)n
n0 ,1 ,
课件
23
②几个主要数量指标
平均队长：
Ln 0nnp n 0n (1)n1
平均排队长：
Lq (n1)pn L(1p0)L n1
2 2 1 ()
课件
24
关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
的负指数分布，P T t e ( ) t
t 0
因此，平均逗留时间W为：
WE(T) 1
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：

（4）服务强度ρ。每个服务台单位时间内平均服务 时间。
其中Ls、Lq、ws和wq通常称之为重要的运行指标 。它们取值越小，说明系统队长越短，顾客等候时 间越少，因此系统的性能就越好。
我们在稳态下，讨论单服务台排队系统和多服务台 排队系统。
9.2单服务台排队系统分析
本节讨论输入过程为泊松流，服务时间 服从负指数分布的单服务台的排队系统。 其中有：
9.1排队论的基本概念
排队论是通过对服务对象到来及服务时 间的统计研究，得出这些数量指标（等 待时间、排队长度、忙期长短等）的统 计规律，然后根据这些规律来改进服务 系统的结构或重新组织被服务对象，使 得服务系统既能满足服务对象的需要， 又能使服务机构的费用最经济或某些指 标最优。
9.1.1排队过程的一般表示
第9章 排队论
南京航空航天大学
排队是我们在日常生活中经常遇到的现象，例如 病人到医院看病、客户到银行汇款、城市拥堵 路段的汽车排队、电话占线等。排队现象产生 的原因之一是要求服务的数量超过了服务机构 的容量，也就是有部分的服务对象不能立即得 到服务；原因之二是系统服务对象到达和服务 时间均存在随机性。前者可以通过增加服务机 构的容量来解决排队现象，但无休止地增加服 务机构的容量会导致追加投资并可能发生系统 资源长时间闲置。后者，也就是系统服务对象 到达和服务时间均存在随机性，致使无法准确 预测估算排队拥堵的具体情况。所以，在服务 系统中的排队现象几乎不可避免。
标准的M/M/1/∞/∞系统； 有限等待空间系统M/M/1/N/∞； 顾客为有限源系统M/M/1/∞/m。
9.2.1 标准的M/M/1/∞/∞系统
M/M/1系统状态转移图:
系统状态从0转移到l的转移率为λP0， 而系统状态从1转移到0的转移率为μP1。