1.2.3矩形的性质与判定的综合应用

O
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
BF
C
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝245cm．
∴OE ＝245cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. （教材P19习题1.6第5题）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
矩形的判定 定理
直角三角形 斜边上中线
的性质
状元成才路
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
N 分别为 BC，AD 中点， ∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD , ∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
D N
C M
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
A
B
即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
2. （教材P18习题1.6第1题）如图，在矩形 ABCD 中，对角
线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形
A
D
A
D
O
O
B
C
B
C
新知探究
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线
AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED =
3BE. 求 AE 的长.
A
D
O
E
B
C
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，

C D
C
判定： (1) 定义:有一个角是 直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.
推论(直角三角形性质):直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半.
A D
B
当堂训练（15分钟）
完成课本第18-19页知识技能1,2,3题。
（选做题）
完成课本第19页知识技能4,5题。
学生自学，老师巡视：
（8分钟后回答）
自学检测：（12分钟） C
2.
B
D
B
A 1
5.
B 2
C 3
D 4
D
6.课本P18随堂练习：
（3分钟）
矩形具有_______ 平行 四边形的一切性质
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等.
A
D
B 性质： 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. A 矩形也是中心对称图形，对称中心是 两对角线的交点. B
2. 矩形的性质和判定（3）
九年级数学组 主备人 ：
议课组：
议课日期：2014年8月25日 上课时间：2014年9月6日
一、学习目标：1分钟
1.掌握矩形的性质及其判定的综合应用.
自学指导：（1分钟）
阅读P16—P17内容，回答：
1.认真阅看课本例题3和例题4，理解例题中用到了哪些 性质定理，请同学把证题思路复述一遍。 2.思考并证明例题4的变式“想一想”。
1.解：在矩形ABCD中，有 AC=BD=4，∠ABC=90° ∵∠ACB=30°
∴AB= AC=2 在Rt△ABC中， BC² xBC=2x
=
.
2.证明：∵∠EAD=3∠BAE，∠BAD=90° ∴∠BAE=22.5° ∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=67.5° ∵AE⊥BD 即∠AED=90° ∴∠ADE=180-∠AED-∠EAO=22.5° ∵矩形的对角线互相平分 ∴AO=DO ∴∠OAD=∠ODA=22.5° ∴∠EAO=∠BAD-∠BAE-∠OAD=45°

第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。

第一章特殊平行四边形1.2 《矩形的性质与判定》第3课时教学设计【设计理念】根据新课程标准要求，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。

学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。

结合九年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几点：1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。

2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。

4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．【教材分析】1．在教材中的地位与作用生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。

前面两节学习了矩形的性质与判定，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。

2．对教材的处理本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。

转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深、由易到难的练习题。

教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。

3．教学目标知识与技能：通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。

通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。

过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。

情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

4.教学重点与难点重点：理解矩形判定定理的应用.难点：矩形判定定理的应用.【教学方法与教学手段】1．教学方法探究发现、合作学习的方法.2．教学手段采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.【教学过程】环节一：回顾交流，温故知新通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题1、矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？（通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。