矩形的性质和判定

矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。

矩形的性质与判定知识点矩形是我们日常生活中最常见的几何形状之一，因为它有很多明显的性质和特点，所以在数学、物理等领域中也被广泛应用。

本文旨在介绍矩形的性质与判定知识点，以帮助读者更好地理解和应用矩形。

一、矩形的基本定义和性质在几何学中，矩形是一个四边形，其中对角线相等，且所有内角均为直角。

它的两条对边平行且长度相等，两条相邻边的内角均为90度。

由此可以得到矩形的以下基本性质：1. 对角线相等设矩形的两条对角线为AC和BD，则AC=BD，即对角线相等。

2. 边角关系设矩形的边长为a和b，则它的周长为C=2a+2b，面积为S=ab。

3. 内角和由于矩形的内角均为90度，因此它的任意两个内角的和均为180度。

4. 三角函数关系设矩形的一条边长为a，另一条边长为b，则其对角线长为D=sqrt(a^2+b^2)。

根据三角函数关系，可得矩形各角的正切值和余切值：tanA=a/b，tanB=b/a，cotA=b/a，cotB=a/b。

二、矩形的性质扩展除了以上基本性质外，矩形还有一些特殊的性质，它们在具体的数学问题中往往会有实际的应用。

下面介绍一些常见的扩展性质。

1. 中线定理设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，线段AB与线段CD交于点E，线段AD与线段BC交于点F。

则OE、OF为矩形的中线，且OE=OF=1/2AC。

证明：由于AC=BD，因此OC=OD。

又由于AB∥CD，因此∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠OCB。

因此三角形OAB和OCD，三角形OBA和OCB均为全等三角形，故OA=OC，OB=OD。

又因为OE是线段AB上的中线，OF是线段AD上的中线，因此OE=1/2AB=1/2CD，OF=1/2AD=1/2BC。

因此OE=OF=1/2AC。

2. 对称性质设矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。

由此可知，点O是矩形的对称中心。

证明：因为AC=BD，所以OC=OD，且三角形AOC和COD的第一边、第三边、第五边相等，因此它们一定全等。

初中数学矩形的性质与判定
矩形是平面几何中最基本的图形之一，它是一个由四条直线构成的平行四边形，两个对角
线相等，对角线分别叫做矩形的两个直角边。

由以上定义可知，矩形是一种特殊的平行四
边形，所以，矩形的性质有如下一些：
一、矩形的四边相等
矩形的四条边是相等的，不管你横向测量，还是纵向测量，都得到相同的长度。

二、矩形的两个对角线相等
即矩形对角线是相等的，并且垂直于矩形的四边。

三、矩形有四个顶点
矩形有四个定点，分布在矩形的每个角，两个对角上。

判定矩形：
我们可以根据以上性质来判定一个图形是否是矩形：
1、检查四边，如果四边相等，则可以推断它可能是矩形；
2、测量对角线的长度，如果两条对角线长度相等，且垂直于矩形的四边，则可以确认它
是矩形；
3、查看顶点，如果有四个顶点，则它就是矩形。

综上所述，矩形是一种平行四边形，有四边相等，两个对角线相等，且垂直于矩形的四边，有四个顶点的特殊图形。

我们可以根据矩形的性质和判定规则，很容易判断出一个平行四
边形是否是矩形。

〖知识梳理〗知识点1：矩形的概念与性质1.概念：有一个角是的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质（1）矩形是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形的一切性质（2）矩形性质定理1：矩形的四个角都是。

（3）矩形性质定理2：矩形的对角线。

(如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．)3.矩形的性质也可以从边、角、线及对称性来分析（如右图分析）边：角：线：对称性：【例1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．【例2】已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．学习目标1、掌握矩形的概念与性质，应用矩形的性质计算和证明。

2、理解矩形的判定定理，能够有理有据地推理证明及精准的书写表达．知识点2：矩形的判定1、（定义）矩形判定定理1：有一个角是直角的平行四边形式矩形。

2、矩形判定定理2：有三个角是的四边形是矩形。

3、矩形判定定理3：对角线的平行四边形是矩形。

【例3】已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．【例4】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形【例5】如图，在ABCD中，DE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证（1）△ADE≌△CBF（2）四边形BFDE为矩形【例6】1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．（选择）（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对〖课堂练习〗一、选择题1．若矩形ABCD的邻边长分别是1，2，则BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( ) A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法不正确的是( )A．矩形的四个内角都是直角B．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形D．矩形的对角线互相垂直4．如图5所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( ) A．4 B．3 C．2 D．1图 65．2019·海口如图6，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于( ) A．5 B．4 C．3.5 D．3二、填空题6.如图2，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB＝2，则C′D的长为________．27.如图7所示，已知矩形ABCD的周长为56，O为对角线的交点，△BOC与△AOB的周长之差为4，则AB＝________，BC＝________．78.如图8，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为________．8三、解答题9．如图，四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，F是BC的中点．求证：△ABF≌△CDE.10．如图，在矩形ABCD中，BF＝CE.求证：AE＝DF.11．如图，在ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.（1）求证：四边形ABCD是矩形.（2）求BD的长.12.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△ADC，△BDC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别平分∠BAC和∠BAF，BE⊥AE，垂足为E.求证：(1)DA⊥AE；(2)四边形ADBE是矩形．。

矩形定义、性质、判定
•矩形:
是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

•矩形的性质：
1．矩形的4个内角都是直角；
2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。

对称中心是对角线的交点。

5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
•矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。

•黄金矩形:
宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。

世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。

如希腊的巴特农神庙等。

小学数学知识归纳矩形的性质与判定矩形是小学数学中常见的几何形状之一，它具有特定的性质和判定方法。

本文将详细介绍矩形的性质与判定，旨在帮助小学生全面了解和掌握矩形的知识。

一、矩形的性质1. 边与角矩形的四条边两两平行，两组对边相等。

矩形的四个角都是直角，即每个角都是90度。

2. 对角线矩形的对角线互相垂直且相等。

对角线是由矩形的两个非邻边所组成的线段，它们相交于矩形的中心点。

3. 对边的关系矩形的两条邻边相等，两条对边相等但不相交。

这意味着，如果一边的长度确定了，那么对边的长度也就确定了。

4. 周长和面积矩形的周长等于其所有边的长度之和，即P=2(a+b)，其中a和b分别表示矩形的两条邻边的长度。

矩形的面积等于邻边的长度之积，即S=a*b。

二、矩形的判定方法1. 边长判定判定一个四边形是否为矩形，可以先检查其四条边是否两两平行。

如果四边互相平行且相邻边长度相等，则可以确定该四边形是矩形。

2. 直角判定对于四边形的角度判定，可以使用直角定理。

直角定理指出，如果一个四边形的四个角都为直角（90度），那么该四边形就是矩形。

三、矩形的应用举例1. 长方形长方形是一种特殊的矩形，其中两对对边相等且所有角均为直角。

在日常生活中，许多物体的形状可以近似看作长方形，例如书桌、门窗等。

2. 正方形正方形也是一种特殊的矩形，它的四个角都是直角且四条边相等。

正方形具有较为均匀的分布和轻便的特点，常见于方形小盒子、棋盘等物体。

四、总结矩形作为小学数学中的重要内容，其性质和判定方法需要小学生们仔细学习和理解。

矩形具有特定的边与角、对角线、对边关系、周长与面积等性质，使用边长判定和直角判定方法可以快速判断矩形。

长方形和正方形是矩形的特殊情况，它们在日常生活中的应用广泛。

通过学习矩形的性质与判定，小学生们可以更好地应用数学知识解决实际问题，培养逻辑思维和几何思维能力。

同时，深入理解矩形的知识有助于打下数学基础，为后续学习其他几何形状奠定坚实的基础。

6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。

A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。

8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。

设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。

矩形的性质与判定知识点矩形是我们在数学中常见的一种几何图形，它具有许多独特的性质和判定方法。

下面让我们来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。

首先，矩形的定义是：至少有三个内角都是直角的四边形是矩形。

矩形的性质有很多：1、矩形的四个角都是直角。

这是矩形最显著的特征之一。

因为直角的度数是 90 度，所以矩形的四个内角相加为 360 度。

2、矩形的对边平行且相等。

这意味着矩形的两组对边分别平行，并且长度相等。

3、矩形的对角线相等且互相平分。

两条对角线将矩形分成了四个全等的三角形。

4、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形。

其对称中心是两条对角线的交点，对称轴有两条，分别是通过对边中点的直线。

接下来，我们来看看矩形的判定方法。

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。

如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形邻角互补的性质，可以得出其他三个角也都是直角，从而这个平行四边形就是矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

因为平行四边形的对角线互相平分，当两条对角线相等时，根据三角形全等可以证明其四个角都是直角，所以这个平行四边形就是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

如果一个四边形中有三个角都是直角，那么根据四边形内角和为360 度，第四个角也必然是直角，从而这个四边形就是矩形。

在实际应用中，矩形的性质和判定方法有着广泛的用途。

例如，在建筑设计中，房间的形状常常接近矩形。

设计师需要利用矩形的性质来计算房间的面积、周长等，以合理规划空间和安排材料。

矩形的四个角都是直角的性质，使得建筑物的结构更加稳定，施工更加方便。

在数学解题中，如果已知一个图形是矩形，我们就可以利用矩形的性质来解决与角度、边长、对角线等相关的问题。

反之，如果要证明一个图形是矩形，就可以根据矩形的判定方法来进行推理和证明。

再比如，在制作家具时，很多桌面、柜体的表面都是矩形。

了解矩形的性质可以帮助工匠们准确地测量和切割材料，确保制作出符合要求的家具。

矩形的性质及判定（修改）1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

（1）角：四个角都是 。

（2）对角线： 且 。

(3)矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。

(4)直角三角形斜边上的中线性质根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的 。

（2）对角线 的平行四边形。

（3）有三个角是 的四边形。

4.矩形与平行四边形的区别与联系？ 说理题：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )【经典例题:】1如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、125B 、135C 、52D 、2例2、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。

变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC=________.3、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2845、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。

【知识要点】1、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）。

2、矩形的特有性质：（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的对角线相等。

小结：●矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）（1）对边平行且相等；（2）每个角都是直角；（3）对角线相等且互相平分。

●矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

3、矩形的判定方法（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

(也可以表述成“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)。

4、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角。

已知：在△ABC中，点D为BC中点，且AD=BD=DC求证：△ABC为直角三角形。

证明：∵AD=BD，AD=CD∴∠1=∠B，∠2=∠C∵∠1+∠2+∠B+∠C=180°∴∠1+∠2=90°即∠BAC=90°∴△ABC为直角三角形【典型例题】●矩形的性质例1、如图，矩形ABCD中，∠AOD=120°，，则下列结论：①∠2=30°；②AB=3cm；③AC=6cm；④；⑤△AOB是等边三角形，其中正确的有________。

分析：∵在矩形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠AOD=120°∴∠1=∠2=30°∵在Rt△ABC中，∠2=30°，∴AB=3cm，AC=6cm∴∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB∴△AOB为等边三角形∴①②③④⑤都是正确的。

例2、如图，在矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，若DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．解：∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠2+∠3=90°∵EF⊥CE∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵在△AEF和△DCE中∴△AEF≌△DCE（AAS）∴AE=CD设AE=x 则CD=x，AD=x+2 ∵矩形的周长为16 ∴2(AD+CD)=16即2(x+2+x)=16∴x=3 ∴AE的长为3●矩形的判定例3、己知：如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若BE=DE，则四边形ADBG是什么特殊四边形？并证明你的结论解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAE=∠C，AD=BC，AB=CD∵E、F分别是AB、CD的中点∴，∴AE=CF∴△ADE≌△CBF（SAS）（2）四边形ADBG是矩形，证明如下：法1．∵ABCD中，AD∥BC ∴AD∥BG∵AG∥DB ∴四边形ADBG是平行四边形∵BE=AE=DE∴∠ADB=90°∴ADBG是矩形。

矩形的性质与判定知识点矩形是初中数学中非常重要的一个几何图形，具有独特的性质和判定方法。

下面我们就来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。

一、矩形的定义矩形是一种特殊的平行四边形，其中四个内角都是直角。

二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角因为矩形是平行四边形，平行四边形的对角相等且邻角互补。

而矩形的四个角都是直角，即 90 度。

2、矩形的对角线相等矩形的两条对角线将矩形分成了四个三角形。

通过全等三角形的证明可以得出矩形的对角线相等。

3、矩形的对边平行且相等这一性质继承自平行四边形。

矩形的对边相互平行，且长度相等。

4、矩形是轴对称图形矩形有两条对称轴，分别是通过对边中点的直线。

5、矩形的面积等于长乘以宽假设矩形的长为 a，宽为 b，那么其面积 S ＝ a×b。

6、矩形的周长等于 2×（长＋宽）即 C ＝ 2×（a ＋ b) 。

三、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形判定的最基本方法。

如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形的性质，它的对角相等，邻角互补，所以其他三个角也都是直角，从而该平行四边形就是矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形在平行四边形中，如果对角线相等，通过全等三角形的证明可以得出相邻的两个角相等，而平行四边形的邻角互补，所以这两个角都是直角，从而该平行四边形为矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形如果一个四边形中有三个角是直角，那么根据四边形的内角和为360 度，第四个角也必然是直角，所以该四边形是矩形。

四、矩形性质与判定的应用矩形的性质和判定在实际生活和数学解题中都有广泛的应用。

在实际生活中，比如建筑设计、家具制作等领域，都需要用到矩形的性质和判定。

例如，在建造房屋时，要确保房间的形状是矩形，就需要通过测量角度和对角线的长度来判断。

在数学解题中，矩形的性质和判定可以帮助我们解决与几何图形相关的问题。

比如，已知一个四边形是矩形，我们就可以利用其对角线相等、四个角都是直角等性质来求解相关的边长、角度或面积等问题。

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．一、矩形的判定【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA矩形的性质 及判定【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA321FE D CB A【例11】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．【例12】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。