矩形的性质与判定(一)

课题：1.2 矩形的性质和判定（1）一、学习目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能运用综合法证明矩形性质定理。

3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

二、学习重难点重点：掌握矩形的性质，并学会应用。

难点：应用矩形的性质定理解决问题。

三、教学过程（一）活动一1.预习成果检查及展示2.出示学习目标（1）掌握矩形的概念，并明确矩形的特殊性。

（2）证明并学会应用矩形的性质定理。

（二）活动二自主学习，质疑解难1.学习矩形的概念和对称性，说出矩形作为平行四边形所具有的性质。

2.学生自主证明矩形的性质定理1和矩形的性质定理2。

教师巡视学生自学情况。

（三）活动三检测自学情况- 1 -- 2 -1.小组长检查自学情况。

2.教师点名抽查学生自学完成情况。

（四）活动四 小组合作探究解难，汇报展示1.小组内讨论交流完成下列问题：问题1：（1） 矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？（2）在直角三角形ABC 中，你能找到它的一条特殊线段吗？（3）你能发现它有什么特殊的性质吗？（4）你能借助于矩形加以证明吗？问题2：如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120度，AB=2.5.求这个矩形对角线的长。

2.分小组汇报研讨结果。

3.小组间互相评价纠错，教师点拨提高。

（五）活动五 当堂训练基础训练：（1）已知△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线. ①若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝; ②若∠C=30°,AB ＝5㎝,则 AC ＝_____㎝,BD ＝_____㎝.（2）下列说法错误的是（ ）．A.矩形的对角线互相平分。

B.矩形的对角线相等。

C. 有一个角是直角的四边形是矩形。

D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

（3）矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的长和宽分别为_____ 。

矩形的性质与判定（⼀）矩形的性质与判定（⼀）双流县西航港⼆中杜安兴⼀、学情分析●学⽣已有知识和⽣活经验学⽣已经学习了平⾏四边形的性质和判定，也学习了⼀种特殊的平⾏四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有⼀定的学习经验和感受，同时学⽣在⽣活中接触过⼤量的与矩形有关的图案和物品，对矩形有较多的感性认识和实践经验，这将更有利于学⽣对本节课的学习.●学⽣起点能⼒分析通过初⼀阶段空间与图形的学习学⽣已经掌握了平⾯图形及其位置关系、平⾏线与相交线、三⾓形的相关知识，具有了⼀定的图形观察、分析、说理、探究的能⼒，并积累了初步的数学活动的经验，有⼀定的⾃主探究与合作交流的能⼒.⼆、教材分析《矩形的性质与判定（⼀）》是义务教育课程标准北师⼤版义务教科书九年级（上）第⼀章《特殊平⾏四边形》第2节.●教材内容结构本节课的内容⾸先是在平⾏四边形的基础上引⼊矩形的概念，然后利⽤平⾏四边形的不稳定性进⾏形状变化，探索变化过程中两条对⾓线间的关系，从⽽得出矩形性质，最后再加以对矩形的判定.●教材的地位和作⽤本节教材是继初⼀掌握简单平⾯图形、平⾏线、三⾓形及本章对平⾏四边形、菱形学习的基础上，通过类⽐的学习⽅法，探究，发现矩形的性质，判定，引导学⽣学会解决这类问题的⼀般⽅法，为后⾯学习正⽅形奠定基础.三、⽬标分析●知识与技能⽬标1.理解矩形的概念；2.掌握矩形的有关性质；3.掌握直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半.●过程与⽅法⽬标1.经历探索矩形性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学⽣初步合情推理能⼒，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本⽅法，培养学⽣⽤联系和发展的眼光去认识和研究事物.2.通过认真观察，⾃主探索与合作交流的数学活动，促进学⽣观察、分析、归纳、概括以及创新思维能⼒的发展.●情感与态度⽬标在矩形的学习活动中，通过联系矩形在⽣活实际中的应⽤和利⽤矩形的性质解决⼀些实际问题，从⽽感受数学知识的应⽤价值，激发学⽣学习的情感.四、教学重点、难点●教学重点矩形性质的理解运⽤．●教学难点矩形性质的综合应⽤．●解决重难点的⽅法与策略从古代名⼈经典名句引⼊课题，结合教具和多媒体直观演⽰，和通过学⽣动⼿操作，互动研讨,加深对矩形性质的理解,并配合由浅⼊深的练习，使学⽣掌握矩形的性质和判定.五、教法、学法●教法：本课采⽤“探究——发现”的教学模式进⾏教学为了实现本节课的教学⽬标,我在教法上⼒求从以下三个⽅⾯对学⽣进⾏引导:1. 从创设问题情景引⼊,通过动画展⽰,展开教学过程；2. 通过问题串引导学⽣探讨交流 ,由浅⼊深、递进探究、从⽽激活学⽣思维；3. 利⽤师⽣、⽣⽣互动交流、探究归纳,发现规律、培养学⽣良好的解题能⼒.●学法：本节课注重突出学⽣的主体作⽤，在学法上重点突出让学⽣动⼿操作、动脑思考和互动交流，在探究性学习中，通过师⽣、⽣⽣互动，达成对矩形性质和常⽤判别⽅法的理解和掌握，并在问题的研讨中提⾼对实际问题的解决能⼒.●课前准备教具: 教案、电脑、多媒体课件、平⾏四边形教具.学具: 笔记本、课堂练习本、作图⼯具．六、教学环节设计⼩组合作探讨交流七、教学过程●第⼀环节: 创设情景、引⼊课题教师：《战国策》记载了孟⼦的⼀句名⾔：不以规矩，不能成⽅圆。

矩形的性质及判定方法
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矩形的性质
1、从边看，标准矩形对边平行且相等。

2、从角看，标准矩形四个角都是直角。

3、从对角线看，标准矩形对角线互相平分且相等。

标准矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

4、具有不稳定性（易变形）。

矩形的常见判定方法如下：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形的面积公式
四个内角都是直角的四边形是矩形，矩形也叫长方形，面积公式为S=a×b，其中S为长方形面积，a为长方形的长，b为长方形的宽。

矩形与平行四边形的区别
矩形：
一、定义
在几何中，长方形（又称矩形）定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。

二、性质
是特殊的平行四边形；两组对边平行且相等；四个角都为90度；对角线互相平分。

平行四边形：
一、定义
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。

二、性质
两组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分；内角和为360度；相邻两边的夹角大于0度小于180度。

第一章特殊平行四边形2. 矩形的性质与判定（一）一、教学目标：1. 知识与技能:(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．二、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入新课；第二环节：分组讨论、探求新知；第三环节：层层递进，推理验证；第四环节：乘胜追击，完善性质；第五环节：建构新知，发展问题；第六环节：合作交流，解决问题；第七环节：反思交流，反馈提高。

第一环节：创设情景，导入新课活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。

在演示过程中让学生思考：（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形变：角的大小（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。

（矩形）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形AB C D AB CD 一个角变形成直角活动的注意事项：让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程，事实上是在学生已有的平行四边形相关认知的基础上建构，让他们认识到矩形是平行四边形,但却是角度特殊的平行四边形。

从而自然得到矩形定义需满足两个条件。

（1）平行四边形，（2）有一个角是直角。

定义是本节的关键点，因此观察过程不能省略。

第二环节：分组讨论，探究新知活动内容：1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？在同学回答的基础上进行归纳：性质类别边角对角线对称性矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。

下面我们来进一步研究矩形的其他性质。

教学设计备课日期： 2018 年4月 4 日课题矩形的性质和判定（一）1课时课型新授教材分析本节课学习矩形的性质和判定，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括问题的能力和审美意识的发展，进一步渗透了“转化、类比”等数学思想方法。

学情分析本节课本节课让学生在丰富的实践活动中，利用已有的知识解决问题，促使学生从感性认识向理性思维发展，从形象思维向抽象思维转型。

教学目标知识与技能目标：(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。

(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．过程与方法目标：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．情感与态度与价值观目标：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。

(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。

(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。

教学重难点重点：运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．难点：灵活运用矩形的性质解决有关问题教学策略1、对比教学2、建立知识结构图教学资源Ppt课件班班通课时安排1课时上课时间4月13号5、8.4；7、8.5教学过程一、创设情景，导入新课活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。

在演示过程中让学生思考：（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形变：角的大小（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。

1.2 矩形的性质与判定（1）学案第一环节：创设情景，导入新课活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？ 2、探究矩形的定义。

利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。

在演示过程中让学生思考：（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形变：角的大小（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。

（矩形）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形AB C D AB CD 一个角变形成直角第二环节：分组讨论，探究新知。

活动内容：1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？在同学回答的基础上进行归纳：2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。

下面我们来进一步研究矩形的其他性质。

（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；（2）根据测量的结果，猜想结论。

当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：矩形的性质定理1：矩形的性质定理2：第三环节：层层递进，推理论证活动内容：提问：怎样证明你的猜想？（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。

已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。

求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°(2) AC=BD第四环节：乘胜追击，完善性质活动内容：问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?结论：问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？归纳概括矩形的性质：从边来说，从角来说，从对角线来说，从对称性来说，问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分第五环节：建构新知，发展问题活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？（2）教师板书推论及推理语言：定理：（3）练一练已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.第六环节：合作交流，解决问题活动内容：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。

矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。

例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。