非稳态导热

传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题§3 — 3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。

如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。

若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。

一、无限大平板的分析解已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且>t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。

试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。

对于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0<x< , )定解条件：t(x,0)= t0(0 x )（边界条件）（边界条件）引入过余温度：则（0<x< , ）(3-9)(x,0)= (0 x ) （初始条件）（边界条件）（边界条件）对偏微分方程分离变量求解得：（3-10 ）其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。

其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。

由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2时，采用以下简化结果：（3-13 ）其中特征值之值与Bi 有关。

由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ）此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。

第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。

如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。

因此，应确定其内部的瞬时温度场。

钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。

首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。

如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。

由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。

§ 3-3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。

如何理解无 限大物体，女口：当一块平板的长度、 宽度 >> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散 热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时， 该平板就是一块 无限大”平板。

若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好, 则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。

、无限大平板的分析解已知：厚度2d 的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为 上9的流体中，而且上9 >（边界条件）E （边界条件）引入过余温度:(0<x< <5 , > 0)(3-9)3（x,0）=灵（0 -X - ^）（初始条件）传热学--第三章第三节维非稳态导热问题to,流体与板面间的表面传热系数为一常数 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

解：如图3-5所示，平板两面对称受热, 于x ±0的半块平板，其导热微分方程:定解条件：t （x,0）= t0（0 -x -占）所以其内温度分布以其中心截面为对称面。

—=说—7肮 即（0<x< 占，r>0）tan （氏&）= 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。

a 5%其中Bi 是以特征长度为日T液2的毕渥数。

与（ T ）各自均与 T 有关，但其比值则与 T 无关，而仅取决于几何位置（X/ 6 ）及边 界条件（Bi ）。

也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要（边界条件）朋(& T)dx（边界条件）3B 护日 —=a ------氏分离变量求解g Sb 等 外=君&0冲首+如（线6 g 貞（3-10由此可见：平板中的无量纲过余温度3/宀与三个无量纲数有关：以平板厚度一半 占为特征长度的傅立叶数、毕渥数及 %即:9E 畑g =畑、曲5(3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明, 用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于当1% , Fo>0.2 时，采因此，当 Fo>0.2Ct/时，采用以下简化结果：丸（3-13 ）其中特征值 之值与Bi 有关。

非稳态（准稳态）法测材料的导热性能实验一、实验目的一、本实验属于创新型实验，要求学生自己选择不同原料、依照不同配比进行加工出新型实验材料，并对该材料的热物性（密度、导热系数、比热容、导温系数）进行实验测量。

2．快速测量绝热材料（不良导体）的导热系数和比热，把握其测试原理和方式。

3、把握利用热电偶测量温差的方式。

二、实验测试原理本实验是依照第二类边界条件，无穷大平板的导热问题来设计的。

设平板厚度为2δ，初始温度为t 0，平板两面受恒定的热流密度q c 均匀加热（如以下图所示）。

依照导热微分方程式、初始条件和第二类边界条件，关于任一刹时沿平板厚度方向的温度散布t(x ，τ)可由下面方程组解得；方程组的解为：式中：τ——时刻；λ——平板的导热系数；α——平板的导温系数；t 0——初始温度； —傅立叶准那么；δβμn n = ，n=1，2，3…；q c ——沿X 方向从端面向平板加热的恒定热流密度。

0),0(0),()0,(),(),(022=∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂xt q x t t x t x x t a x t cτλτδτττ)1()]exp()cos(2)1(63[),(2211220o n n n n n c F x x q t x t μδμμδδδδατλτ--+--=-+∞=∑2δατ=F随着时刻τ的延长，F 0数变大，式（1）中级数和项愈小。

当F 0＞时，级数和项变得很小，能够忽略，式（1）变成（2）由此可见，当F 0＞后，平板遍地温度和时刻成线性关系，温度随时刻转变的速度是常数，而且处处相同。

这种状态即为准稳态。

在准稳态时，平板中心面X=0处的温度为：平板加热面X=δ处为：此两面的温差为： （3） 已知q c 和δ，再测出△t ，就能够够由式（3）求出导热系数：（4）事实上，无穷大平板是无法实现的，实验老是用有限尺寸的试件，一样能够为，试件的横向尺寸为厚度的6倍以上时，双侧散热对试件中心的温度阻碍能够忽略不计。

第三章 非稳态热传导一、名词解释非稳态导热：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。

数Bi ：Bi 数是物体内部导热热阻λδ与表面上换热热阻h 1之比的相对值，即：λδh Bi =o F 数：傅里叶准则数2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。

二、解答题和分析题1、数Bi 、o F 数、时间常数c τ的公式及物理意义。

答：数Bi ：λδh Bi =，表示固体内部导热热阻与界面上换热热阻之比。

2τl a Fo =，非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。

hA cVc ρτ=， c τ数值上等于过余温度为初始过余温度的36.8%时所经历的时间。

2、0→Bi 和∞→Bi 各代表什么样的换热条件？有人认为0→Bi 代表了绝热工况，是否正确，为什么？答：1）0→Bi 时，物体表面的换热热阻远大于物体内部导热热阻。

说明换热热阻主要在边界，物 体内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻物体内部的温度分布趋于均匀，并随时间的推移整体地下降。

可以用集总参数法进行分析求解。

2）∞→Bi 时，物体表面的换热热阻远小于物体内部导热热阻。

在这种情况下，非稳态导热过程刚开始进行的一瞬间，物体的表面温度就等于周围介质的温度。

但是，因为物体内部导热热阻较大，所以物体内部各处的温度相差较大，随着时间的推移，物体内部各点的温度逐渐下降。

在这种情况下，物体的冷却或加热过程的强度只决定于物体的性质和几何尺寸。

3）认为0→Bi 代表绝热工况是不正确的，0→Bi 的工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。

3、厚度为δ2，导热系数为λ，初始温度均匀并为0t 的无限大平板，两侧突然暴露在温度为∞t ，表面换热系数为h 的流体中。

试从热阻的角度分析0→Bi 、∞→Bi 平板内部温度如何变化，并定性画出此时平板内部的温度随时间的变化示意曲线。

答：1）0→Bi 时，平板表面的换热热阻远大于其内部导热热阻。

一、实验目的1. 理解非稳态导热的基本原理和过程；2. 掌握非稳态导热实验的基本方法；3. 学会使用实验仪器和数据采集设备；4. 提高对导热系数、热传导率等物理量的测量能力；5. 培养分析问题和解决问题的能力。

二、实验原理非稳态导热是指物体内部或表面温度随时间变化而变化的导热过程。

在非稳态导热过程中，物体内部的温度分布和热流密度都随时间而变化。

本实验通过测量物体表面温度随时间的变化，研究非稳态导热的规律。

三、实验仪器与材料1. 非稳态导热实验装置；2. 温度传感器；3. 数据采集器；4. 计算机；5. 加热器；6. 实验材料（如铜块、水等）。

四、实验步骤1. 准备实验装置，确保连接正确；2. 将实验材料放置在实验装置中，确保材料表面平整；3. 将温度传感器放置在实验材料表面，确保传感器与材料紧密接触；4. 打开加热器，开始加热实验材料；5. 利用数据采集器实时记录温度传感器采集的温度数据；6. 根据实验需求，调整加热器功率，观察温度变化；7. 实验结束后，关闭加热器，整理实验装置。

五、实验数据及处理1. 实验数据：记录实验过程中温度传感器采集的温度数据；2. 数据处理：将实验数据导入计算机，进行曲线拟合、导热系数计算等处理。

六、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，得到了物体表面温度随时间变化的曲线；2. 分析：（1）根据温度变化曲线，可以分析出物体表面温度达到稳定所需的时间；（2）通过计算导热系数，可以验证实验装置的准确性；（3）分析实验过程中可能出现的误差，并提出改进措施。

七、实验总结1. 通过本次实验，掌握了非稳态导热实验的基本方法和步骤；2. 提高了数据采集和处理能力；3. 增强了对导热系数、热传导率等物理量的认识；4. 学会了分析问题和解决问题的方法。

八、实验注意事项1. 实验过程中，确保实验装置连接正确，防止发生短路等事故；2. 实验材料表面应平整，避免影响实验结果；3. 温度传感器与实验材料应紧密接触，确保数据采集准确；4. 实验结束后，及时关闭加热器，整理实验装置。

方程是传热学领域中的重要概念之一，它描述了热量在物体内部传递的过程。

在传热学中，我们经常遇到的一个基本概念就是三维非稳态导热微分方程。

本文将从浅入深地探讨这一概念，以便读者能够全面理解它的含义和应用。

一、导热微分方程的基本概念传热学是研究热量在物体内部传递的过程。

在实际工程和科学研究中，我们常常需要对物体内部的温度分布进行分析和预测。

而导热微分方程就是用来描述物体内部温度分布随时间和空间的变化规律的数学工具。

导热微分方程的基本形式是：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，u表示温度分布，t表示时间，x、y、z分别表示空间中的三个坐标轴，α表示热传导率。

这个方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律，是传热学中的重要工具之一。

二、三维非稳态导热微分方程的意义三维非稳态导热微分方程是导热微分方程的一种特殊情况，它描述了物体内部温度分布随时间和空间的变化规律。

与稳态情况不同，非稳态导热过程中，物体内部的温度分布会随着时间的推移而发生变化，这在实际工程和科学研究中具有重要意义。

三、三维非稳态导热微分方程的应用三维非稳态导热微分方程在工程和科学研究中有着广泛的应用。

例如在材料加工过程中，我们需要对工件表面的温度分布进行分析，以预测加工过程中的温度变化规律，保证加工质量。

又如在地热能利用中，我们需要对地热储层中的温度分布进行分析，以指导地热能的开发利用。

三维非稳态导热微分方程在这些应用中发挥着重要作用。

四、个人观点和理解作为传热学领域的一名研究人员，我认为对三维非稳态导热微分方程的深入理解对于实际工程和科学研究具有重要意义。

只有深刻理解了这一概念，我们才能更好地应用它来解决实际问题，推动传热学领域的发展。

总结回顾通过本文的阐述，我们对三维非稳态导热微分方程有了更深入的理解。

我们了解了它的基本概念、意义和应用，并对个人观点进行了探讨。

希望读者通过本文的阅读，能够对这一重要概念有更全面、深刻和灵活的理解。

传热学基本概念三维非稳态导热微分方程导热微分方程的基本形式是:\[\rho c \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \nabla \cdot (k \nabla T) + q\]其中，\(\rho\) 是介质的密度，\(c\) 是比热容，\(T\) 是温度，\(t\) 是时间，\(k\) 是导热系数，\(q\) 是单位体积内的热源。

这个方程描述了物质内部温度分布随时间的变化，以及热量在空间中的传递和变化。

对于三维非稳态导热问题，方程中的温度 \(T\)、密度\(\rho\)、比热容 \(c\)、导热系数 \(k\) 都可能是空间坐标 \(x\)、\(y\)、 \(z\) 和时间 \(t\) 的函数。

方程的实质是一个偏微分方程，描述了三维空间中温度分布随时间的变化规律。

在实际问题中，要解决三维非稳态导热问题的方程，需要满足一定的边界条件和初始条件。

边界条件指定了物体表面的温度、热流量或对流换热系数，初始条件指定了系统在初始时刻的温度分布和热能分布。

通过这些条件，可以得到方程的解析解或数值解，从而揭示物体内部温度变化的规律。

除了基本的三维非稳态导热微分方程外，传热学还涉及了许多重要的概念和原理，如热传导、热对流、热辐射等。

这些概念和原理不仅在工程领域有着重要的应用，而且在生活中也随处可见。

总结起来，对于三维非稳态导热微分方程及其相关的传热学概念，我们需要深入理解其基本原理和数学模型，掌握其解决方法和工程应用。

通过学习和研究，我们可以更好地理解和应用传热学知识，为解决工程和生活中的热传递问题提供理论和技术支持。

传热学是研究物体内部温度分布随时间的变化规律以及热量在空间中的传递和变化的学科，其理论和方法在工程热学、地球科学、生物医学工程和环境科学等领域有着广泛的应用。

三维非稳态导热微分方程是传热学中的基本方程之一，描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。

在实际问题中，要解决三维非稳态导热问题需要满足一定的边界条件和初始条件，通过这些条件可以得到方程的解析解或数值解。