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§ 3-3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。
如何理解无 限大物体，女口：当一块平板的长度、 宽度 >> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散 热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时， 该平板就是一块 无限大”平板。
若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好, 则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。
、无限大平板的分析解已知：厚度2d 的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为 上9的流体中，而且上9 >（边界条件）E （边界条件）引入过余温度:(0<x< <5 , > 0)(3-9)3（x,0）=灵（0 -X - ^）（初始条件）传热学--第三章第三节维非稳态导热问题to,流体与板面间的表面传热系数为一常数 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
解：如图3-5所示，平板两面对称受热, 于x ±0的半块平板，其导热微分方程:定解条件：t （x,0）= t0（0 -x -占）所以其内温度分布以其中心截面为对称面。
—=说—7肮 即（0<x< 占，r>0）tan （氏&）= 其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。
a 5%其中Bi 是以特征长度为日T液2的毕渥数。
与（ T ）各自均与 T 有关，但其比值则与 T 无关，而仅取决于几何位置（X/ 6 ）及边 界条件（Bi ）。
也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要（边界条件）朋(& T)dx（边界条件）3B 护日 —=a ------氏分离变量求解g Sb 等 外=君&0冲首+如（线6 g 貞（3-10由此可见：平板中的无量纲过余温度3/宀与三个无量纲数有关：以平板厚度一半 占为特征长度的傅立叶数、毕渥数及 %即:9E 畑g =畑、曲5(3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明, 用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于当1% , Fo>0.2 时，采因此，当 Fo>0.2Ct/时，采用以下简化结果：丸（3-13 ）其中特征值 之值与Bi 有关。
非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。
其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。
本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。
一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
在一维情况下，我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。
非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度随空间和时间的变化，α是导热系数。
二、一维非稳态导热问题在一维情况下，我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。
根据非稳态导热微分方程，我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。
具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。
例如，我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。
初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知，杆的两端分别与两个恒温热源接触。
边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2，其中T1、T2为两个恒温热源的温度。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。
三、二维非稳态导热问题在二维情况下，物体的温度分布与空间变量x和y都有关。
同样地，我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。
二维非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如，我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。
初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知，板的边界上的温度分布也已知。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。
结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。
通过分析边界条件和初始条件，可以求解一维和二维非稳态导热问题，并得到随时间变化的温度分布。
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT ke w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeEe e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6） 2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
一维非稳态导热CRANK-NICOLSON解法题目：数值计算一维非稳态导热，长度1米的不锈钢棒原来温度都是0度，一端温度突然变为300度，并保存不变，采用CRANK-NICOLSON 方法数值计算不锈钢内温度分布随时间的变化。
解法：一维导热微分方程边界条件为u（0，t）=0；u（a0，t）=300初值u（x，0）=0；主程序clcclearuX=1; %不锈钢长1米uT=2000; %时长2000秒M=10; %空间轴等分区间数N=1000; %时间轴等分区间数rou=8030; %不锈钢密度cp=502.48; %不锈钢热容kk=16.27; %不锈钢导热率D=kk/rou/cp; %扩散系数phi=inline('0'); %初值psi1=inline('0'); %左边界psi2=inline('300'); %右边界%计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx;r=D*dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2Diag(i)=1+r;Low(i)=-r/2;Up(i)=-r/2;endDiag(M-1)=1+r;%计算初值和边值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i));endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j));U(M+1,j)=psi2(t(j));endB=zeros(M-1,M-1);for i=1:M-2B(i,i)=1-r;B(i,i+1)=r/2;B(i+1,i)=r/2;endB(M-1,M-1)=1-r;%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）for j=1:Nb1=zeros(M-1,1);b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;b=B*U(2:M,j)+b1;U(2:M,j+1)=zhuiganfa(Low,Diag,Up,b);endU=U';%作出图形xlabel('空间变量x')ylabel('时间变量t')shading interp程序用到了追赶法子程序，代码如下function x=zhuiganfa(L,D,U,b)%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b%检查参数的输入是否正确n=length(D);m=length(b);n1=length(L);n2=length(U);if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= mdisp('输入参数有误！')x=' ';return;end%追的过程for i=2:nL(i-1)=L(i-1)/D(i-1);D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);endx=zeros(n,1);x(1)=b(1);for i=2:nx(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);end%赶的过程x(n)=x(n)/D(n);for i=n-1:-1:1x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);endreturn;运行主程序，最终得到如图所示结果。
matlab一维非稳态导热-回复Matlab是一种常用的科学计算软件，广泛应用于工程、物理、数学等领域。
在热传导研究中，非稳态导热问题是一个重要课题。
本文将以Matlab 为工具，介绍一维非稳态导热问题的求解方法。
首先，我们需要了解非稳态导热问题的基本概念。
非稳态导热问题是指热传导过程中温度场随时间的变化，即瞬态问题。
一维非稳态导热问题可以用下面的热传导方程描述：∂T/∂t = α∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
为了求解上面的偏微分方程，我们需要确定边界条件和初始条件。
假设热导体的两端为x=0和x=L，边界条件可以是温度固定、热流固定或边界绝热（无热量流入或流出）。
初始条件是指在t=0时刻的温度场分布。
首先，我们需要定义问题的参数，包括热扩散系数α、热导体的长度L、时间范围tspan等等。
在Matlab中，可以使用类似下面的语句进行定义：alpha = 0.1; 热扩散系数L = 1; 热导体长度tspan = [0 10]; 时间范围接下来，我们需要定义初始条件和边界条件。
假设在t=0时刻，热导体的温度分布是一个高斯函数，可以使用下面的语句定义初始条件：x = linspace(0, L, 100); 在空间范围内生成100个均匀分布的点T0 = exp(-(x-L/2).^2); 初始温度分布对于边界条件，我们可以选择温度固定的情况，即热导体的两端温度为固定值T1和T2。
可以使用下面的语句定义边界条件：T1 = 1; 左端温度T2 = 0; 右端温度然后，我们可以使用Matlab的pdepe函数来求解一维非稳态导热问题。
pdepe函数是用于求解偏微分方程组的函数，其中包含了默认的边界条件和初始条件设置。
可以使用下面的语句进行求解：sol = pdepe(0,pdefun,icfun,bcfun,x,tspan);在上面的语句中，pdefun是一个用于计算偏微分方程右端项的函数句柄，icfun是一个用于计算初始条件的函数句柄，bcfun是一个用于计算边界条件的函数句柄。
