传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析

高等传热学导热理论第四讲 非稳态导热描述非稳态导热问题的微分方程：pC t a t ρτΦ+∇=∂∂ 2共有四维，不好解。

最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热），它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐标，所以又是0维问题。

1．薄壁问题（P 40-45）即集总参数系统适用条件 薄壁理论：如果系统内部无温度差，由热力学第一定律可得：MCdt d A d q =∙Ωτ1－4－1当热流密度与边界相互垂直时，有：VCdt qAd ρτ= 1－4－2如边界上的热流密度为)(t t h q f -=VCdt d t t hA f ρτ=-)( 1－4－300t t ==τ实际情况 t 不可能相同。

什么条件下可用薄壁公式呢？ 工程界用得最多的判据是：1.0≤Bi 1－4－4对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于()()(,)(0,)/(0,)5%t r t t t τττ∞--≤，即实际判据为：()()(,)(0,)/(0,)t r t t t τττε∞--≤，即某时刻平壁内最大温差与该时刻平壁和环境间的最大温差之比小于给定小量。

有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半无限大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念不符。

判据1－4－4的缺点是没有F o 的影响。

R o s e n o w 提出另一个判据，()()(,)(0,)/(,)(,0)t r t t t ττδτδε--≤，物理意义是在某时刻平壁内最大温差与该时间段内平壁最大温度变化之比小于给定小量。

该判据含F o ，但存在B i 越小，薄壁区越小的缺点，与判据1－4－4不相容。

俞佐平提出了含F o 的新判据，()()()()(,)(,0)(,)/1//(,0)t t t t t t Bi h t t δτδδτεδλδ∞∞∞∞---=≤-该判据规律与1－4－4相似。

本人从理论上证明了判据1－4－4的合理性，发现异议者的误区在于但B i 很小时，无论时间如何短，与该薄壁相应的半无限大体中的最大温差也不会超过我们限定的温差。

4. 非稳态导热4.1 知识结构1. 非稳态导热的特点；2. （恒温介质、第三类边界条件）一维分析解求解方法（分离变量，特解叠加）及解的形式（无穷级数求和）；3. 解的准则方程形式，各准则（无量纲过余温度、无量纲尺度、傅里叶准则、毕渥准则）的定义式及其物理涵义； 4. 查诺谟图求解方法；5. 多维问题的解(几个一维问题解（无量纲过余温度）的乘积)；6. 集总参数法应用的条件和解的形式；7. 半无限大物体的非稳态导热。

4.2 重点内容剖析4.2.1 概述在设备启动、停车、或间歇运行等过程中，温度场随时间发生变化，热流也随时间发生变化，这样的过程称为非稳态导热。

一．过程特点分类1. 周期性非稳态导热（比较复杂，本书不做研究） 如地球表面受日照的情况 （周期为24小时）对于内燃机气缸壁受燃气冲刷的情况，周期为几分之一秒，温度波动只在很浅的表层，一般作为稳态处理。

2. 非周期性非稳态导热：（趋于稳态的过程，非稳态 稳态） 例子：如图4-1，一个无限大平板，初始温度均匀，某一时刻左壁面突然受到一恒温热源的加热，分析平壁内非稳态温度场的变化过程： (1) 存在两个阶段初始阶段：温度变化到达右壁面之前（如曲线A-C-D ），右侧不参与换热，此时物体内分为两个区间，非稳态导热规律控制区A-C 和初始温度区C-D 。

正规状况阶段：温度变化到达右壁面之后，右侧参与换热，初始温度分布的tx1t 0t ABCDEF图4-1 非稳态导热过程的温度变化影响逐渐消失。

(2) 热流方向上热流量处处不等因为物体各处温度随时间变化而引起内能的变化，在热量传递路径中，一部分热量要用于（或来源于）这些内能，所以热流方向上的热流量处处不等。

二. 研究任务1. 确定物体内部某点达到预定温度所需时间以及该期间所需供给或取走的热量，以便合理拟定加热和冷却的工艺条件，正确选择传热工质；2. 计算某一时刻物体内的温度场及温度场随时间和空间的变化率，以便校核部件所承受的热应力，并根据它制定热工设备的快速启动与安全操作规程。

非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。

其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。

本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。

一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。

在一维情况下，我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。

非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度随空间和时间的变化，α是导热系数。

二、一维非稳态导热问题在一维情况下，我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。

根据非稳态导热微分方程，我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。

具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。

例如，我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。

初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知，杆的两端分别与两个恒温热源接触。

边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2，其中T1、T2为两个恒温热源的温度。

通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。

三、二维非稳态导热问题在二维情况下，物体的温度分布与空间变量x和y都有关。

同样地，我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。

二维非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如，我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。

初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知，板的边界上的温度分布也已知。

通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。

结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。

通过分析边界条件和初始条件，可以求解一维和二维非稳态导热问题，并得到随时间变化的温度分布。

非稳态导热实验报告课程名称：传热学基础实验名称：非稳态导热实验指导教师：钱扬顺实验目的：1 了解材料加热及冷却过程中表面与中心温度的变化；2 加深不同传热系数冷却介质对冷却温度场的影响;3 掌握实验原理、实验装置结构，学会使用实验仪器设备；4 掌握对实验结果数据进行处理和误差分析的方法。

实验仪器:有1温度自动控制系统的SX2-8-10电阻炉2 ZJ16A多点温度测试仪3 直径2mm的K型热电偶4 45刚试样直径50mmx100mm 中心钻孔r=1.5 深30mm实验原理：材料在加热和冷却过程的温度场分布不仅取决于材料的性能（密度、导温系数、比热容）.而且与材料和周围环境的热交换密切相关。

本实验通过对试样在炉中德加热及在不同介质中的冷却，采用一组热电偶的热端固定于试样的表面的不同位置，利用多点温度记录仪测量和记录任意时刻试样各点的温度-时间曲线，根据温度时间曲线，可以计算该位置的冷却速度，观测和分析不同冷却介质对试样冷却结果的影响，并计对算结果进行比较。

实验步骤：1 将热电偶分别安装在式样的表面和中心的钻孔中，兵、并将热电偶和温度记录仪联接好；2 关上炉门，并将温度控制仪的温度读数调整到-200-C ，并将炉子加热开关打开，同时打开温度记录仪的开关，将记录仪调整到记录状态；3 炉温升到-200-C 并保温5分钟让炉温均匀、恒定，在开启温度记录仪的开关；4 当温度加热到200C将试样拿出并在空气中冷却20分钟；关闭记录仪开关；5 分别将记录的数据填到下表中每分钟一次）6 绘出加热和冷却曲线;7 对试样按着无量纲准则进行加热冷却计算，确定在4分钟是中心和表面温度。

并且和试样实验数据自己填，曲线自己画，自己分析。

思考题：1 试样冷却过程中有相变时的冷却曲线特点？2 试样在空气或者水剑的热换系数的选择及注意事项？3 当试样温度较高时，试样在水中的冷却特点/。

传热学基本概念三维非稳态导热微分方程导热微分方程的基本形式是:\[\rho c \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \nabla \cdot (k \nabla T) + q\]其中，\(\rho\) 是介质的密度，\(c\) 是比热容，\(T\) 是温度，\(t\) 是时间，\(k\) 是导热系数，\(q\) 是单位体积内的热源。

这个方程描述了物质内部温度分布随时间的变化，以及热量在空间中的传递和变化。

对于三维非稳态导热问题，方程中的温度 \(T\)、密度\(\rho\)、比热容 \(c\)、导热系数 \(k\) 都可能是空间坐标 \(x\)、\(y\)、 \(z\) 和时间 \(t\) 的函数。

方程的实质是一个偏微分方程，描述了三维空间中温度分布随时间的变化规律。

在实际问题中，要解决三维非稳态导热问题的方程，需要满足一定的边界条件和初始条件。

边界条件指定了物体表面的温度、热流量或对流换热系数，初始条件指定了系统在初始时刻的温度分布和热能分布。

通过这些条件，可以得到方程的解析解或数值解，从而揭示物体内部温度变化的规律。

除了基本的三维非稳态导热微分方程外，传热学还涉及了许多重要的概念和原理，如热传导、热对流、热辐射等。

这些概念和原理不仅在工程领域有着重要的应用，而且在生活中也随处可见。

总结起来，对于三维非稳态导热微分方程及其相关的传热学概念，我们需要深入理解其基本原理和数学模型，掌握其解决方法和工程应用。

通过学习和研究，我们可以更好地理解和应用传热学知识，为解决工程和生活中的热传递问题提供理论和技术支持。

传热学是研究物体内部温度分布随时间的变化规律以及热量在空间中的传递和变化的学科，其理论和方法在工程热学、地球科学、生物医学工程和环境科学等领域有着广泛的应用。

三维非稳态导热微分方程是传热学中的基本方程之一，描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。

在实际问题中，要解决三维非稳态导热问题需要满足一定的边界条件和初始条件，通过这些条件可以得到方程的解析解或数值解。

第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。

2、掌握内容：数值解法的实质。

3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。

但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。

随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。

如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。

分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。

2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。

§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。

该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。

由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。